浙江省杭州市公益中学2025-2026学年九年级上册数学期中考试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页浙江省杭州市公益中学2025-2026学年九年级上册数学期中考试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（

）A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件2．抛物线的对称轴是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线3．如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（

）A．不变 B．缩小为原来的倍C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍4．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（

）A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.805．如图，在中，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC． D．7．凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（

）A． B． C． D．8．已知二次函数中自变量和函数的部分对应值如下表：则方程的一个解的取值范围下列可能的是（）A． B．C． D．9．如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（

）A． B． C． D．10．已知点均在二次函数图像上，若则（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则二、填空题11．一个不透明的袋子里装有4个红球、3个黄球和1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从袋中任意摸出一个小球为红球的概率是．12．将二次函数的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为．13．已知点P是线段的黄金分割点，，若，则．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=．15．已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为．16．如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则．若，则．三、解答题17．（1）计算：；（2）已知，求的值．18．数学文化哥德巴赫猜想哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．(1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为．(2)小组成员从中随机抽取2张卡片，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．19．已知二次函数经过和．(1)求该二次函数的表达式和对称轴．(2)当时，求该二次函数的最大值和最小值．20．在如图所示的12个小正方形组成的网格中，的三个顶点都在小正方形的格点上．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．(1)在图1网格中找格点D，作射线，使得；(2)在图2网格中找格点E，作直线交AC于点Q，使得．21．如图，已知：四边形是平行四边形，点E在边的延长线上，交于点F，(1)求证：；(2)若，求的值．22．某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：已知每瓶进价为元，每瓶利润销售单价进价单价元销售量瓶(1)求关于的函数表达式．(2)该新型饮料每月的总利润为元，求关于的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？(3)由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，求的最小值．23．在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；(2)点在抛物线上，其中．①若的最小值是，求的值；②若对于，都有，求t的取值范围．24．如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点（点不与点、重合）过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、．(1)求证：；(2)当点在边上时，如果，，求的正切值；(3)当点在边延长线上时，设线段，求关于的函数解析式．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《浙江省杭州市公益中学2025-2026学年九年级上册数学期中考试卷》参考答案题号12345678910答案CCABBDACCB1．C【分析】本题主要考查了随机事件，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．根据确定事件和随机事件的定义来判断即可．【详解】“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是随机事件故选：C．2．C【分析】根据二次函数的顶点式的解析式，可得二次函数的顶点坐标，从而得出其对称轴，可得答案.【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（-1，0），∴抛物线的对称轴是直线x=-1.故答案为：C.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，根据二次函数顶点式的解析式可直接得出其对称轴，若二次函数的解析式为一般式，可利用对称轴公式来求解.3．A【分析】本题考查了锐角三角函数的相关知识，明确正弦等于对边比斜边是解题的关键．求出扩大前后的值即可求解．【详解】解：∵在中，，∴．如果把的各边都扩大为原来的4倍，∴，∴的值不变．故选：A．4．B【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，即可得解．【详解】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90.故选：B．5．B【分析】由，得，进而即可求解．【详解】解：∵在中，，，，，∴，即：，∴AE=4，故选B．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键．6．D【详解】解：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C．当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．7．A【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．【详解】解：∵，，，∴四边形为矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，即∴物体被缩小到原来的．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键．8．C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先根据表格数值可得二次函数的对称轴为直线，又由表可知，当时，随的增大而增大，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：∵或时，，∴二次函数的对称轴为直线，又由表可知，当时，随的增大而增大，∴当时，其中一个解，故选：．9．C【分析】由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，推出，设，，则，，，证明，得出，证明，得出，推出，，从而得出，，求出得到，即可得出答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴设，，则，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴，即，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确表示出三角形之间的面积关系是解此题的关键．10．B【分析】依据题意，由二次函数为，从而对称轴是直线x1，又在二次函数上，且，故，则为二次函数的顶点，进而结合二次函数的性质逐个判断可以得解．【详解】解：由题意，∵二次函数为，∴对称轴是直线，又∵在二次函数上，且，∴．∴为二次函数的顶点．∴当时，点到顶点的距离比到顶点的距离小，则若时，则；若时，则，故选项A错误，不符合题意；若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项B正确，符合题意当时，点到顶点的距离比到顶点的距离大，则若时，则；若时，则，故选项C错误，不符合题意；若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项D错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．11．/【分析】本题主要考查概率计算公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为，掌握概率计算公式是解答本题的关键．【详解】解：有4个红球、3个黄球和1个黑球，袋中任意摸出一个球是红球的概率，故答案为：．12．【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．【详解】解：由题意得：平移后的二次函数解析式为：，即：，故答案为：13．/【分析】本题考查黄金分割的概念．根据黄金分割的定义，得到，求出的长，进而求出的长，即可．【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且，∴．∵，∴．∴．故答案为：．14．【详解】∵在Rt△ABC中，BC=6，sinA=∴AB=10∴．∵D是AB的中点，∴AD=AB=5．∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A∴△ADE∽△ACB，∴即解得：DE=．15．【分析】本题主要考查二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得到，，由二次函数得到，即可得到答案．【详解】解：点，都在二次函数．的图象上，是方程，，点，纵坐标相等，，即，点，都在二次函数．的图象上，，即，．故答案为：．16．【分析】由折叠的性质可得垂直平分线段，，即，由题意可得，推出，进而可得，由中位线定理可得，设，则，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解．【详解】解：∵将沿直线翻折得到，∴垂直平分线段，∴，∵为上的中线，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，设，则，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴设，则，，∴，∴，∴，故答案为：，．【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．17．（1）2；（2）【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，分式的性质．（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）利用分式的性质化简，求出值即可．【详解】解：（1）；（2）由得，，解得，∴．18．(1)(2)【分析】本题考查了随机事件的概率，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键．（1）利用概率公式计算概率即可；（2）根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可．【详解】（1）解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为，故答案为：；（2）解：根据题意，画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种，∴这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为．19．(1)表达式为；对称轴为直线(2)最小值为，最大值为【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．（1）先将和，分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可；（2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可．【详解】（1）解：∵经过和，∴，解得，∴二次函数的表达式为；∴对称轴为直线；（2）解：由（1）可知的开口向上，∵二次函数的对称轴为直线在内，∴当时，有最小值；∵直线距直线最远，∴当时，有最大值．20．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）找出格点D，利用等腰直角三角形的性质得到即可；（2）找出格点E，利用相似三角形的判定和性质求得，即可．【详解】（1）解：如图，格点D，射线即为所作，；（2）解：格点E，直线即为所作，∵，，，，，∴，∴，即，∴，，∴．【点睛】本题考查格点作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．21．(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质：（1）由四边形是平行四边形、可得，为公共角可得；（2）由可得，进而有，根据得，即：，可得答案．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，即，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴．22．(1)(2)，单价为元时利润最大，最大利润是元(3)【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求解析式即可求解．（2）根据每一瓶的利润乘以销量，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解；（3）根据题意得，根据销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，结合二次函数的性质即可求解．【详解】（1）设关于的函数表达式为由题意得：解得：关于的函数表达式为．（2）由题意得：，当时，有最大值元．∴w关于x的函数表达式为w=-10x2+240x-800，单价为元时利润最大，最大利润是元．（3）由题意得：二次函数的对称轴为：，当销售单价不超过元时，利润随着的增大而增大，的最小值为．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．23．(1)(2)①7

②或【分析】（1）