北京市汇文中学教育集团2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市汇文中学教育集团2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．设命题，则的否定为（

）A． B．C． D．3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数的定义域是（

）A． B．C． D．5．已知，则（

）A． B． C．1 D．76．“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．7．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．8．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值等于()A．2 B．C．4 D．9．已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（

）A． B． C． D．10．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．11．定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列错误的是（

）A． B．C．为奇函数 D．为偶函数12．已知函数，若方程有三个不相等的实根，则下列选项错误的是（

）A．B．C．D．方程有三个不相等的实数根二、填空题13．已知幂函数在上单调递增，则.14．.15．函数的值域为.16．设函数，．已知点，，若的图象与线段有公共点，且对满足条件的每一个，总存在实数，使得不等式成立，则实数的最大值为．17．波恩哈德・黎曼(1826~1866)是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为:，下列关于黎曼函数的说法正确的是.①；②关于的不等式的解集为；③；④.三、解答题18．已知全集，集合，集合(1)求(2)若集合，且满足，求实数m的取值范围.19．已知函数.(1)当时，求的值域;(2)若的最小值为，求的值.20．已知函数满足对任意的恒有，当时，，又.(1)判断并证明函数的奇偶性;(2)求函数的单调区间;(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.21．某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）．(1)求利润的函数解析式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？22．已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数.（1）若，求集合和，以及的值；（2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合①求证：；②求的最小值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《北京市汇文中学教育集团2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题》参考答案题号12345678910答案DDACBCBADA题号1112答案CB1．D【分析】根据常见数集，结合交集运算，可得答案.【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以．故选：D.2．D【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即得.【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，所以命题的否定为“”.故选：D.3．A【分析】解出不等式，利用集合包含关系可判断充要关系.【详解】由，解得：或，所以“”是“”的充分不必要条件；故选：A4．C【分析】根据根式和分式的性质即可求解.【详解】定义域需满足：所以定义域为.故选：C5．B【分析】利用配凑法求函数解析式，再代入求解即可.【详解】由题意，得，则，故.故选：B.6．C【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可.【详解】解：∵“不等式在R上恒成立”，显然不满足题意，∴，解得，对于A，是充要条件，故A错误；对于B，因为推不出，故B错误；对于C，因为，反之不能推出，故C正确；对于D，因为推不出，故D错误．故选：C．7．B【分析】根据偶函数的单调性，结合分类讨论即可求解.【详解】偶函数在单调递减，则在单调递增.由和偶函数性质得.由可得以下两种情况：①时：②时：不等式的解集为.故选：B8．A【详解】lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×＝2.故选A点睛：本题考查对数的运算性质，求解的关键是熟练掌握对数的运算性质，以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练应用是关键.9．D【分析】当时，，由奇函数的性质得出，即可得解.【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，，所以，，此时，.故选：D.10．A【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.11．C【分析】根据，且为奇函数，利用周期性和奇偶性的定义判断.【详解】因为，且为奇函数，所以，，且，则，，故A正确；，故B正确；由，得，又，所以结合，得，所以为偶函数，故C错误，D正确；故选：C.12．B【分析】根据方程有三个不相等的实根计算判断各个选项即可.【详解】由函数，作出图象：若方程有三个不相等的实根，，，因为，所以，所以，所以，所以，所以当时方程有一个实根，则，又因为关于对称，所以，且，则，因为时，，因此可以取到1，所以B错误；则，所以C正确；又因为，所以，所以，，知，所以A正确；当方程有三个不相等的实根时，，则，所以D正确.故选：B.13．8【分析】由题意可得，且，则可求出的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求出.【详解】因为为幂函数，所以，得，，解得或，因为幂函数在上单调递增，所以，得，所以，所以，所以.故答案为：814．/【分析】根据指数幂的运算性质化简计算即可.【详解】因为，，，，所以原式.故答案为：.15．【分析】方法一：先利用分母令进行换元，将函数等价转化成函数，再利用均值不等式和函数单调性求出函数最值即可求值域；方法二：利用导数判断函数的单调性即可求值域.【详解】方法一：由，令，，则，因为，当且仅当即时等号成立，所以，由于在是单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，，则此时的最大值为，所以函数的值域为，即原函数的值域为；方法二：由，求导得，令，在内解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，而所以的值域为，故答案为：.16．1【分析】设，则，由题意当时，，记所有的中，最小的为，则，先考察函数，，然后分别研究将向左（或向右）、向上平移，和将向左（或向右）、向下平移，求得，即可得解．【详解】由题意知，，设，则．“存在实数，使得不等式成立”的充要条件为“当时，．因为对每个该结论都成立，所以随着，的变化（在符合条件的范围内），每一个函数都满足，记所有的中，最小的为，则．为了求出，先考察函数，的图象如答图15-20，此时，，从而．

随着，的变化，的图象可由平移得到．若将向左（或向右）、向上平移，得到的满足；若将向左（或向右）、向下平移，因为，从而总有或，所以．所以当，时，取得最小值，从而，即的最大值为1．故答案为：117．①②④【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个说法逐一分析判断，即可求出结果.【详解】对①：当时，，当时，，而，当时，，若是无理数，则是无理数，有，若是有理数，则是有理数，当（、为正整数，为最简真分数），则（、为正整数，为最简真分数），此时，综上，时，故①正确；对②：若或或内的无理数，此时，显然不成立，当（、为正整数，为最简真分数），由，得到，整理得到，又、为正整数，为最简真分数，所以或均满足，所以，关于的不等式的解集为，故②正确；对③：取，，则，而，故③错误；对④：若或，则，因为，所以不等式成立；若且，当，（、、、是正整数，、是最简真分数）时，，，故，当，时，，有，当，时，，，有，当为无理数，时，，有，综上，故④正确.故答案为：①②④.18．(1)(2)【分析】（1）解不等式得到A，B，再求交集即可.（2）由，可得，利用含参集合间的关系求解即可.【详解】（1）由题，，，等价于，解得，故，所以（2）由可得，，①当，即，即时，满足条件；②当时，有，解得，综上，，故实数m的取值范围为19．(1)(2)【分析】（1）当时，得到函数并用配方法化简，由的值域，得到函数的值域；（2）整理函数解析式，并令换元后利用配方法整理函数解析式，分析二次函数的对称轴的位置，得到函数的最值，然后列方程解得的值.【详解】（1）当时，，因为，所以，故.值域为.（2），令，则，当时，即当时，函数取最小值，∴,即,解得，∴.当时，函数没有最小值，∴.20．(1)奇函数，证明见解析；(2)递减区间为；无增区间(3).【分析】(1)利用赋值可证明奇函数；(2)利用赋值也可证明单调性；(3)利用单调性可求最值，再解一元二次不等式即可.【详解】（1）令得：,令得：，所以是奇函数.（2）设，则，由题意，又由可得，所以，则函数在上单调递减,即函数的递减区间是；（3）因为函数在上单调递减，所以由不等式恒成立可得：解得.21．(1)(2)当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元【分析】（1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可；（2）当时，由基本不等式求解；当时，由二次函数的性质求解，综合可得答案.【详解】（1）由题意，，即；（2）当时，，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，取得最大值52；当时，，所以当时，取得最大值，最大值为，所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元．22．（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①见解析；②【分析】（1）直接根据定义求解即可；（2）①分若A∪B中含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可，当，且时，可通过得证；②结合①知，讨论若，或，得，若，且，设，