2025年上学期高一数学平面向量的坐标表示与运算试题

2025年上学期高一数学平面向量的坐标表示与运算试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在平面直角坐标系中，已知点A(3,-2)，B(-1,4)，则向量$\overrightarrow{AB}$的坐标为（）A.(4,-6)B.(-4,6)C.(2,2)D.(-2,-2)已知向量$\vec{a}=(2,m)$，$\vec{b}=(m,8)$，若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则实数m的值为（）A.4B.-4C.±4D.16已知点P为线段MN的三等分点，M(1,2)，N(7,5)，则点P的坐标不可能是（）A.(3,3)B.(5,4)C.(4,3.5)D.(9,6)向量$\vec{a}=(1,-2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$2\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$的坐标为（）A.$(-0.5,-6)$B.$(0.5,6)$C.$(-0.5,6)$D.$(0.5,-6)$已知向量$\vec{a}=(x,1)$，$\vec{b}=(1,-2)$，若$\vec{a}\perp\vec{b}$，则$|\vec{a}|$的值为（）A.$\sqrt{5}$B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$C.5D.$\frac{5}{4}$点A(2,3)关于向量$\vec{m}=(-1,2)$平移后的对应点A'的坐标为（）A.(1,5)B.(3,1)C.(-1,5)D.(1,-1)已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(k,-1)$，若$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为钝角，则k的取值范围是（）A.$k<2$B.$k<2$且$k\neq-\frac{1}{2}$C.$k>2$D.$k>2$且$k\neq\frac{1}{2}$在正方形ABCD中，AB=2，以A为原点，AB、AD所在直线为坐标轴建立坐标系，则向量$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$的坐标为（）A.(4,4)B.(0,0)C.(2,2)D.(4,0)已知$\vec{a}=(3,4)$，$\vec{b}=(t,6)$，且$\vec{a}$与$\vec{b}$的模相等，则t的值为（）A.±3B.±4C.±5D.±6向量$\vec{a}=(1,2)$绕原点逆时针旋转90°后得到的向量坐标为（）A.(-2,1)B.(2,-1)C.(-1,-2)D.(1,-2)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）已知$\vec{a}=(2,-3)$，$\vec{b}=(-1,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$，$|\vec{a}+\vec{b}|=$。若点P(x,y)满足$\overrightarrow{OP}=2\vec{i}-5\vec{j}$（其中$\vec{i},\vec{j}$为单位向量），则点P的坐标为__________。已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=$，向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$夹角的余弦值为。已知$\vec{a}=(m,3)$，$\vec{b}=(2,-1)$，若$\vec{a}-\vec{b}$与$\vec{b}$垂直，则m的值为__________。在平面直角坐标系中，已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,1)$，若$\vec{a}+2\vec{b}$与$2\vec{a}-\vec{b}$平行，则x的值为__________。三、解答题（本大题共5小题，共75分）（12分）已知点A(-1,2)，B(3,4)，C(2,0)，D为线段BC的中点，求：（1）向量$\overrightarrow{AD}$的坐标；（2）$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$的值；（3）若向量$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}$，且点E在x轴上，求k的值。（15分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-3,4)$，$\vec{c}=(2,1)$，回答下列问题：（1）求$3\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}$的坐标；（2）若$\vec{d}=\vec{a}+\lambda\vec{b}$，且$\vec{d}\perp\vec{c}$，求λ的值；（3）求$\vec{a}$与$\vec{b}$夹角的正弦值。（15分）在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$（t∈R）。（1）求点P的坐标（用含t的式子表示）；（2）当t为何值时，点P在x轴上？在y轴上？（3）若点P落在第二象限，求t的取值范围。（18分）已知$\vec{a}=(m,n)$，$\vec{b}=(p,q)$，定义向量的“★”运算：$\vec{a}★\vec{b}=(mp-nq,mq+np)$。（1）求$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$时，$\vec{a}★\vec{b}$的坐标；（2）证明：$\vec{a}★\vec{b}$的模等于$\vec{a}$与$\vec{b}$的模的乘积；（3）若$\vec{a}=(1,1)$，$\vec{b}=(1,0)$，求$\vec{a}★(\vec{a}★\vec{b})$的坐标。（15分）在△ABC中，已知A(2,3)，B(5,7)，C(-3,-1)，D为BC的中点。（1）求AD的长；（2）求证：AB⊥AC；（3）若点E满足$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，求AE的中点坐标。参考答案及评分标准一、选择题B2.C3.D4.A5.A6.A7.B8.B9.C10.A二、填空题-14；$\sqrt{26}$(2,-5)9；$\frac{3\sqrt{10}}{10}$5$\frac{1}{2}$三、解答题（1）D(2.5,2)，$\overrightarrow{AD}=(3.5,0)$（4分）（2）$\overrightarrow{AB}=(4,2)$，$\overrightarrow{AC}=(3,-2)$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12-4=8$（4分）（3）E(2+3k,2-2k)，令2-2k=0，得k=1（4分）（1）$3\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}=(3+6+2,6-8+1)=(11,-1)$（5分）（2）$\vec{d}=(1-3\lambda,2+4\lambda)$，由$\vec{d}\cdot\vec{c}=0$得$2(1-3\lambda)+(2+4\lambda)=0$，解得λ=2（5分）（3）$\cos\theta=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sin\theta=\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5分）（1）$\overrightarrow{AB}=(3,3)$，P(1+3t,2+3t)（5分）（2）x轴：t=$-\frac{2}{3}$；y轴：t=$-\frac{1}{3}$（5分）（3）$-1<t<-\frac{1}{3}$（5分）（1）$\vec{a}★\vec{b}=(1×3-2×4,1×4+2×3)=(-5,10)$（6分）（2）$|\vec{a}★\vec{b}|=\sqrt{(mp-nq)^2+(mq+np)^2}=\sqrt{(m^2+n^2)(p^2+q^2)}=|\vec{a}||\vec{b}|$（6分）（3）$\vec{a}★\vec{b}=(1×1-1×0,1×0+1×1)=(1,1)$，$\vec{a}★(\vec{a}★\vec{b})=(0,2)$（6分）（1）D(1,3)，AD=1（5分）（2）$\overrightarrow{AB}=(3,4)$，$\overrightarrow{AC}=(-5,-4)$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-15-16=-31≠0$，修正：$\overrightarrow{AC}=(-5,-4)$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3×(-5)+4×(-4)=-15-16=-31≠0$，原结论错误，应为AB