实际问题与二次函数（第1课时）（导学案）（原卷版）数学人教版九年级上册

22.3实际问题与二次函数（第1课时）（导学案）（原卷版）1.教学目标（1）能根据实际问题构造二次函数模型。能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题。（2）通过对“长方形面积”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想。（3）体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识。重点：用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题。难点：理解二次函数当确定函数值求自变量，可以看作解一元二次方程的过程。如何从实际问题中抽象出二次函数关系.第一环节自主学习温故知新：【学法指导】自研课本P4346页内容图形的最值问题（1）这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的什么点?当t取什么值,这个函数有最小还是最大值?(3)小球的运动时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？二次函数解决实际问题的一般路径：“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题”问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长的变化而变化.当是多少时，场地的面积S最大？(1)矩形面积公式是什么？如何用表示另一边？面积S的函数关系式是什么？(2)当是多少时，场地的面积S最大？总结归纳：利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：1.根据面积公式、周长公式等建立函数关系式；2.确定自变量的取值范围；3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.【自研自探】例1.用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（1）本例题与上面的问题有什么不同？当设面积为S，如何设自变量？面积S的函数关系式是什么？（2）如何确定自变量的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？

（3）如何求最值？(2)若平行于墙的一边长不小于20米，这个矩形花园有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．例3.用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米．（铝合金型材宽度不计）(1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)求x为多少时S取得最大值，并求S的最大值．第二环节合作探究2.讨论二次函数解决实际问题的一般路径？3.讨论利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点。4.合作探究提升：综合与实践在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动．

观察发现探究迁移①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；②求y的最大值．习题22.3第1题.1．(2025•浙江)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2)．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点．下列选项正确的是()A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点(15，85)在该函数图象上(1)若围成的矩形菜园的面积为400平方米，求所利用旧墙的长；也就是说，当时，二次函数有最小（大）值.2.二次函数解决实际问题的一般路径：“实际问题转化成——利用解决问题——利用问题”3.利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：（1）根据面积公式、周长公式等；（2）确定