第2章实数的初步认识（复习讲义）数学苏科版2024八年级上册

第二章实数的初步认识（复习讲义）①知道算术平方根、平方根的概念，会求某些非负数的平方根和算术平方根；能运用算术平方根解决一些简单的实际问题；②知道立方根的概念，会求一个数的立方根；能运用立方根解决一些简单的实际问题。③理解实数的概念，知道实数和数轴上的点是一一对应的关系；知道有理数的运算性质及运算律在实数范围内仍然适用；会比较两个实数的大小；会用有理数估计一个无理数的大小；能熟练地进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算；通过用不同的方法比较两个无理数的大小；④知道近似值的概念及其在生产生活中的作用。能说出一个近似值的精确度。在解决实际问题时会按照问题的要求对结果取近似值。知识点重点归纳常见易错点算术平方根概念中特别强调为正数2.表示方法:平方根的符号与除号很像，但不同。3.性质:①规定：0的算术平方根是0；②非负性0的算术平方根是0，是一个规定。平方根此处概念当中没有说是正是负。注意与算术平方根的概念区别.3.性质:①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;②0的平方根是0；③负数没有平方根。正数的平方根有两个：互为相反数。开平方1.概念：求一个数的平方根的运算叫做开平方。注意理解平方根是数，是开平方运算的结果；而开平方是一种运算。2.关系：开平方与平方互为逆运算。立方根从立方根的记号可以看出，一个数的立方根只有一个，而且一个数的立方根与这个数本身符号相同。2.表示方法:3.性质:①正数的立方根是正数;②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。开立方1.概念：求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方和立方根的区别：开立方是一种运算，立方根是个数。2.关系：开立方与立方互为逆运算。实数1.概念：有理数与无理数统称为实数。2.分类：实数分成有理数与无理数。3.无理数的常见形式：4.实数与数轴上的点是一一对应的关系。数轴上的点与实数一一对应5.实数的大小比较方法：方法1：将要比较的数画在数轴上，借助数轴比较方法2：将要比较的数化成小数再比较；方法3：平方（立方）后比较注意根据题目条件选择合适的方法6.有理数的运算性质及运算律实数范围内适用。要注意混合运算的运算顺序。近似值1.准确值：与实际完全相同相同数据叫作准确值。2.能够在一定程度上反被考察对象的大小与准确值非常接近，但又不完全相等的数据称为近似值。3.精确度：一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。4.取近似值的方法：四舍五入法、去尾法、进一法题型一题型一求一个数的算术平方根、平方根【例1】化简的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】A【知识点】求一个数的算术平方根【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，非负数a的算术平方根记为，据此进行作答即可．故选：A【变式11】2的算术平方根是（

）【答案】C【知识点】求一个数的算术平方根∴2的算术平方根是，故选：C．【答案】4【知识点】求一个数的算术平方根【分析】该题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质求解即可．故答案为：4．题型二题型二已知一个数的（算术）平方根求这个数【例2】已知一个数的算术平方根是7，这个数是（

）【答案】C【分析】根据算术平方根的定义即可求解.【详解】∵这个数的算术平方根是7，【点睛】此题主要考查算术平方根，解题的关键是熟知算术平方根的定义.【变式21】若一个数和它的算术平方根相等，则这个数是．【答案】0或1【知识点】求一个数的算术平方根【分析】根据算术平方根的概念解答．【详解】解：∵一个数和它的算术平方根相等，∴这个数为0或1，故答案为：0或1．【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，比较简单．【答案】【知识点】已知一个数的平方根，求这个数【分析】此题主要考查了平方根的性质，正确得出a的值是解题关键．直接利用平方根的定义得出a的值，进而得出答案．则这个正数是：．故答案为：．题型三题型三利用算术平方根的非负性解题【答案】1【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值，求代数式的值【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．故答案为：1．【答案】【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值，求代数式的值【分析】本题主要考查了非负性的性质，代数式求值，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案．故答案为：．【答案】1【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值，求代数式的值【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．故答案为：1．题型四题型四利用平方根、立方根求解方程【例4】求下列式中的值．【知识点】利用平方根和立方根解方程（2）先移项，再开立方即可。（2）解：【变式41】求下列式中的值：(2)x=3【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，根据平方根与立方根的定义，解方程，即可求解．（1）先将的系数化为，再用平方根的定义解方程即可；（2）先移项，然后根据立方根的定义解方程即可．（2）解：(x-1∴x-1∴x-1=2解得：x=3．【变式42】求下列各式中的值：【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握相关知识是解题的关键；（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可．题型五题型五平方根、立方根的综合问题(1)求的值以及的值．(2)【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键．（1）根据平方根的定义，进行求解即可；（2）根据立方根的定义，进行求解即可．(1)求和的值；(2)【知识点】求代数式的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数【分析】本题主要考查了立方根，平方根的定义，根据立方根，平方根的定义求解即可．【答案】(1)(2)3【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、求一个数的立方根、代入消元法【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．∴的平方根为；题型六题型六无理数、实数概念及分类A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知识点】求一个数的立方根、无理数【分析】根据循环节，有理数的定义，无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，循环节，有理数，熟练掌握定义是解题的关键．，是无理数；故选：B．有理数：；

无理数：；正实数：；

负实数：．【答案】见解析【知识点】求一个数的立方根、实数的分类【分析】本题主要考查了实数的分类，立方根，根据实数的分类方法分别求出每个数属于什么数即可得到答案．是无理数，是正实数；0是有理数；是无理数，是负实数；是无理数，是正实数；是有理数，是负实数；【变式62】把下列各数的序号填在相应的大括号里：无理数：{

}；负分数：{

}；整数：{

}．【答案】①⑥；②③⑦；④⑤．【知识点】实数的分类、求一个数的算术平方根【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，根据相关定义逐一填写即可，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键．故答案为：①⑥；②③⑦；④⑤．题型七题型七无理数和实数的大小估计【例7】估算的值在（

）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【答案】C【知识点】无理数的大小估算【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围即可．∴的值在4和5之间，故选：C．【答案】7【知识点】无理数的大小估算故答案为：∴的整数部分为2，(1)求的整数部分和小数部分；(2)【知识点】求一个数的平方根、立方根概念理解、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键．（1）根据无理数的估算方法求解即可；∴的整数部分为4，题型八题型八实数的大小比较A． B． C．0 D．【答案】D【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算【分析】本题考查实数的大小比较．利用正数大于零，负数小于零，结合无理数的估算比较实数的大小，即可找出最大的数．∴最大的数是，故选：D．【变式81】比较大小：3．（填“<”“>”或“=”）【答案】【知识点】实数的大小比较【分析】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案．故答案为：．【答案】【知识点】实数的大小比较、不等式的性质【分析】本题主要考查不等式的性质以及算术平方根的性质，熟练掌握不等式的性质以及算术平方根的性质是解决本题的关键．故答案为：．题型九题型九实数的混合运算【答案】1【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、负整数指数幂等，熟练掌握实数的混合运算法则是解题关键．先计算算术平方根、化简绝对值、负整数指数幂，再进行加减计算即可．=3-6+2+2=1．【答案】2【知识点】开平方运算、负整数指数幂、开立方运算【分析】本题考查了开平方运算，负整数指数次幂和开立方运算，然后加减解题即可．【详解】解：原式=2-3+3=2．【答案】1【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂【分析】本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键．根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可．【详解】解：原式==—1．题型十题型十近似值与精确度【例10】下列说法正确的是（）①近似数和精确度不相同A．①③⑤ B．①④⑤ C．①③⑥ D．④⑤⑥【答案】B【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数、求近似数的精确度【分析】本题主要考查了科学记数法，精确度和求一个数的近似数，近似数的最后一位在什么位上，则精确到什么位，精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入，据此求解判断即可．【详解】解：①近似数精确度十分位，精确度百分位，二者精确度不相同，原说法正确，符合题意；故选：B．【变式101】下列说法正确的是（

）C．近似数3.9953精确到百分位是4.00 D．近似数2.3与2.30精确度相同【答案】C【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度【分析】本题主要考查了近似数的精确度，精确度就是表示一个近似数与准确数的接近程度，一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位．B、近似数万，精确到百位，原说法错误，不符合题意；故选:C．【变式102】浙江省是中国岛屿最多的省份，海岸线总长居全国首位，其中陆域面积约为10.55万平方公里，其中近似数10.55万精确到位．【答案】百【知识点】求近似数的精确度【分析】本题考查了近似数，根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位进行求解．∴近似数10.55万精确到百位，故答案为：百．基础巩固通关测基础巩固通关测一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．2的算术平方根是（

）【答案】C【知识点】求一个数的算术平方根∴2的算术平方根是，故选：C．2．下列说法正确的是（

）A．2的平方根是 B．没有平方根C．的算术平方根是5 D．1的平方根和算术平方根都是1【答案】B【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念，需逐一分析各选项的正确性．B、负数在实数范围内无平方根，是负数，因此没有平方根，说法正确，符合题意；D、1的平方根为，算术平方根为1，选项将平方根错误描述为1，故错误，不符合题意；故选：B．3．下列等式中，正确的是（

）【答案】A【知识点】求一个数的立方根【分析】本题考查立方根的概念及运算，根据立方根的定义对各选项进行逐一分析即可．综上，正确答案为A．故选：A．4．下列关于的叙述错误的是（

）A．它可以是面积为5的正方形的边长B．它可以在数轴上找到与之对应的点C．它可以是5的算术平方根D．它的整数部分是3【答案】D【知识点】实数与数轴、无理数整数部分的有关计算、求一个数的算术平方根、无理数的大小估算【分析】本题主要考查了正方形的性质、平方根的性质、数轴的特点、有理数的大小判断等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．【详解】解：A．面积为5的正方形的边长是，说法正确，故A不符合题意；B．在数轴上可以找到表示的点，数轴上的点与实数一一对应，故B正确，不符合题意；C．是5的平方根，说法正确，不符合题意；故选：D．5．下列关于判断正确的是（

）A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示C．是一个比大的数 D．是一个无理数【答案】D【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、求一个数的算术平方根、无理数【分析】本题考查算术平方根、无理数的定义及实数与数轴的关系．根据实数、无理数的定义和算术平方根的定义进行判断即可．B：实数与数轴上的点一一对应，是实数，可用数轴上的点表示，故B错误．D：无法表示为两个整数之比，且是无限不循环小数，属于无理数，故D正确．故选：D．A．12 B．12或4 C．12或 D．或4【答案】B【知识点】已知字母的值，求代数式的值、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根故选：B．A．2或 B．或1 C．6或0 D．2或【答案】C【知识点】已知字母的值，求代数式的值、已知一个数的立方根，求这个数、平方根的应用故选：C．8．下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（

）填空（每小题4分，共20分）⑤体积为9的立方体的棱长为．A．4分 B．8分 C．12分 D．16分【答案】C【知识点】求一个数的立方根、倒数、二次根式的乘除混合运算、立方根的实际应用【分析】本题考查了倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：①的倒数是，该题做错了；⑤体积为的立方体的棱长为，该题做对了；故选：．9．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是（

）A． B． C．2 D．8【答案】B【知识点】程序设计与实数运算【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可．【详解】解：输入x的值是64时，因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值，故选B．【答案】B【知识点】求近似数的精确度、将用科学记数法表示的数变回原数【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．还原成原数看3所在的数位即可．∴该数精确到万位．故选C．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）【答案】10【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根【分析】此题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则．首先化简算术平方根和立方根，然后计算减法．．故答案为：10．【答案】千【知识点】求近似数的精确度【分析】本题主要考查近似数的精确位数，熟练掌握近似数的精确度的确定方法是解题关键．根据近似数的精确位数即可得出结果．故答案为：千．【答案】【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题【分析】本题考查了绝对值的非负性和二次根式的非负性．故答案为：．【答案】或/或【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数故答案为：或．【答案】3【知识点】求一个数的立方根、无理数的大小估算故答案为：3．16．比较大小：3（填“”，“”或“”）．【答案】【知识点】实数的大小比较故答案为：．【答案】3【知识点】实数的分类、求一个数的立方根、利用二次根式的性质化简故答案为：3【点睛】此题考查了立方根、二次根式的化简、实数的分类等知识，熟练掌握二次根式的化简和实数的分类是解题的关键．18．平方根是的数是．【答案】【知识点】已知一个数的平方根，求这个数∴平方根是的数是．故答案为：．【答案】150【知识点】立方根的实际应用故答案为：150．【知识点】无理数整数部分的有关计算、不等式的性质三、解答题（本大题共5小题，共30分）21．（本题10分）求下列各式中未知数的值．【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，根据平方根与立方根的定义，解方程，即可求解．（1）先将的系数化为，再用平方根的定义解方程即可；（2）先移项，然后根据立方根的定义解方程即可．(1)求的值以及的值．(2)【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键．（1）根据平方根的定义，进行求解即可；（2）根据立方根的定义，进行求解即可．【答案】(1)3，2(2)【知识点】求一个数的平方根、实数运算的实际应用【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键．（1）根据，为有理数，由已知等式求出与的值即可；能力提升进阶练能力提升进阶练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（

）【答案】C【知识点】求一个数的算术平方根∴2的算术平方根是，故选：C．2．（2025·福建漳州·模拟预测）下列各数中，为无理数的是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数【分析】本题考查无理数，平方根，立方根．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各选项是否为整数或分数，从而确定是否为有理数或无理数．【详解】解：A、4是整数，属于有理数．故选：DA． B． C． D．【答案】B【知识点】利用算术平方根的非负性解题【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键．故选：B．A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间【答案】D【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根，掌握无理数大小的估算方法是解题的关键．故选：D．A． B．6 C．5 D．4【答案】B【知识点】算术平方根的实际应用【分析】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是熟练运用各个图形之间的面积关系列出等式，本题属于基础题型．根据大正方形的面积等于小正方形的面积和4个直角三角形的面积和，求得大正方形的面积，即可求出大正方形的边长．故选：B．6．（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（）A．负数没有立方根 B．的立方根是【答案】D【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根，∴选项A不符合题意；∵64的立方根是4，∴选项B不符合题意；∵立方根等于本身的数有和0，∴选项C不符合题意；∴选项D符合题意，故选：D．A． B．7 C．23 D．48【答案】C【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值，求代数式的值【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根、代数式求值等知识，理解并掌握立方根和算术平方根的定义是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义确定的值，然后代入求值即可．【详解】解：∵实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，故选：C．8．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（

）A．24 B．24.0 C．24.00 D．240【答案】B【知识点】求近似数的精确度【分析】本题主要考查了精确度，判断近似数的精确位数，需观察其最后一位数字所在的数位．十分位对应小数点后第一位，据此求解即可．【详解】选项A：24，无小数点，末位4位于个位，精确到个位．选项B：24.0，末位0在小数点后第一位（十分位），精确到十分位．选项C：24.00，末位0在小数点后第二位（百分位），精确到百分位．选项D：240，末位0在个位（若原数四舍五入到十位则为十位），精确到个位．故选：B．9．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．故选C．10．（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图，在数轴上表示实数的点可能是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】C【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算则在数轴上表示实数的点可能是点M，故选：C二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．（2023·山东滨州·中考真题）一块面积为的正方形桌布，其边长为．【知识点】算术平方根的实际应用【分析】由正方形的边长是其面积的算术平方根可得答案．【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，理解题意，利用算术平方根的含义表示正方形的边长是解本题的关键．【答案】【知识点】绝对值非负性、求一个数的算术平方根故答案为：．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键．【答案】【知识点】求一个数的立方根、零指数幂【分析】此题考查了立方根和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．首先计算立方根和零指数幂，然后计算加减即可求解．故答案为：．【答案】【知识点】求一个数的算术平方根、已知字母的值，求代数式的值【分析】本题主要考查了算术平方根，代数式求值等知识点，熟练掌握算术平方根是解题的关键．【详解】解：是的算术平方根，又的算术平方根是，故答案为：．【答案】【知识点】求一个数的算术平方根、无理数【详解】解：①是分数，是有理数；②是无理数；③开方开不尽，是无理数；④是整数，是有理数；综上，无理数有个，故答案为：．【答案】3【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的立方根、负整数指数幂【分析】本题考查立方根的定义以及绝对值的性质，负整数指数幂，实数的运算，掌握知识点是解此题的关键．逐个计算，再进行实数的加减，即可解答．故答案为3.17．（2025·湖北·模拟预测）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数：．【答案】（答案不唯一）【知识点】无理数、实数的大小比较【分析】本题考查了无理数及无理数的大小比较；根据题意写出一个无理数即可．故答案为：（答案不唯一）．18．（2025·四川南充·三模）在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有个．【答案】5【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴、无理数的大小估算【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，掌握数轴