探索与表达规律（第2课时）（导学案）（原卷版）数学北师大版2024七年级上册

3.3探索与表达规律（第2课时）（导学案）（原卷版）1.教学目标（1）经历由特殊到一般和由一般到特殊的思考过程，体会代数推理的特点和作用，发展代数推理能力。（2）能用代数式表示并借助运算解释、论证某些一般规律或现象。（3）能设计一些蕴含规律的游戏或问题。重点：能用代数式表示并借助代数式运算解释某些一般规律或现象。难点：对解决问题的思路和方法的分析与选择，设计数字游戏。第一环节自主学习温故知新：①解决规律问题的一般思维路径：“———”。②通常用表示规律，并借助一些数量关系的正确性。新知自研：自研课本第9697页的内容【学法指导】自研课本P9697页内容，思考：(一)数字游戏的规律表达玩数字游戏老师：你在心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数字乘2，然后加3，再将所得的和乘5，最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。（1）你发现游戏中有什么规律?你能用语言描述发现的规律吗?（2）这个规律对于任何一个两位数都成立吗?（3）如果请你解释这个规律，你会借助什么方法?哪种方法更好?（4）请用适当的方法完成对上述规律的解释。（二）设计数字游戏设计一个类似上面的数字游戏，解释其中的道理，并与同伴进行交流。①请你设计一个含有一定规律的数字游戏。②设计好后，与同伴做游戏。③请同伴说出你设计的游戏中的规律，并解释其中的道理。④跟同伴说一说你是怎样设计的。⑤与同伴互换角色，继续进行活动。（三）数字整除规律表达问题1：一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗?问题2：一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律?请说明理由。（四）回顾反思回顾反思回顾本章的学习，在用字母表达数量关系和运算方面你积累了哪些经验?【自研自探】自研课本9697页例题内容，回答问题：例1．小明，小刚，小颖三人玩游戏，每人一张写有已化为最简代数式的卡片，游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．小明，小刚，小颖的卡片如下，其中小颖的卡片有一部分看不见了．(1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式，请你判断此操作能否使游戏成功；(2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功，你能否帮小颖求出她的代数式．例2．将10枚硬币背面朝上放在桌子上，依次编号为①，②，③…⑩，记正面朝上为“+”，背面朝上为“”，某兴趣小组同学依次按照如下规则进行翻硬币游戏：第1次把所有编号能被1整除的硬币翻一次，第2次把所有编号能被2整除的硬币翻一次，第3次把所有编号能被3整除的硬币翻一次……第次把所有编号能被整除的硬币翻一次，游戏结束．(1)将下列表格补充完整：编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩翻次12232444结果++(2)若有20枚硬币，在游戏结束时，所有正面朝上的硬币的编号为__________；(3)按照上述规则，若共有枚硬币在游戏结束时朝上，则硬币数量最多为_________枚（用含有的式子表示）．例3．如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一中数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”．(1)若由a、b(a、b均为19的正整数)组成的两位数、，与的和一定能被一个常数n整除(n为大于1的正整数)，则常数______；(2)现有一个四位数，若它是“完美数”，这个“完美数”一定能被一个常数m整除(m为大于1的正整数)，则常数______；请说明理由．例4．综合与实践．在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律．(1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要根火柴棍．(2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要根火柴棍．第二环节合作探究1.讨论游戏中有什么规律?你能用语言描述发现的规律吗?这个规律对于任何一个两位数都成立吗?如果请你解释这个规律，你会借助什么方法?哪种方法更好？请用适当的方法完成对上述规律的解释。2.讨论设计一个类似上面的数字游戏，解释其中的道理，并与同伴进行交流。3.讨论一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗?一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律?请说明理由。4.讨论回顾本章的学习，在用字母表达数量关系和运算方面你积累了哪些经验?(3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为；课本课堂练习：1.有三堆棋子，数目相等，每堆至少有4枚。从左堆中取出3枚放入中堆，从右堆中取出4枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少?请做一做，并解释其中的道理。1．（2025.六安金安期中）课堂上，老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有代数式（已化简）的卡片，若两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙的卡片有一部分看不清楚了（图中阴影所示）．甲

乙

丙(1)计算甲的代数式减乙的代数式的结果，并判断该运算能否使游戏成功；(2)小明发现丙的代数式减甲的代数式可以使游戏成功，请求出丙的代数式．2.（2025.安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m=n3；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为；（2）若对正整数n进行