2025高考数学大一轮复习讲义第十章 §107 概率与统计的综合问题

§10.7概率与统计的综合问题

题型一频率分布直方图与分布列的综合问题

例1（2023•上饶模拟）为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了100名学生进行调查下

面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平

均运动时间不低于40分钟的学生称为“运动族”.

⑴用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于20分钟，求该学生是“运动族”

的概率；

（2）从样本里的“运动族”学生中随机选取两位同学，用随机变量X表示每天平均运动时间在

40~50分钟之间的学生数，求X的分布列及期望.

思维升华高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率

分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.概率问题以计算为主，往往和实

际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的^率计算对应起来.

跟踪训练1（2023.呼和浩特模拟）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，

为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，收

集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.

(I)应收集多少个女生样本数据？

⑵根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，

其中样本数据分组的区间为。2)/2,4),[4,6),[6,8)J8J0),[10,⑵.请估计该校学生每

周平均体育运动时间不低于4个小时的概率；

⑶视样本数据的频率为概率，现从全校随机抽取4名学生，记X为这4名学生中运动时间不

彳氐于4个小时的人数，求X的分布列以及数学期望.

题型二回归模型与分布列的综合问题

例2(2023・韶关模拟)研究表明，如果温差大，且人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒

刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范.某中学数学

建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生新增感冒就诊人数之间的关系，他们记录了

某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：

日期第』第二天第三天第四天第五天第六天

昼夜温差x(℃)47891412

新增感冒就诊人数M位)>'1>2)'4)'6

⑴已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生，从第一天新增感冒就诊的学生中随机抽取

2位，其中男生人数记为X,若抽取的2人中至少有一位女生的概率为焉,求随机变量X的分

布列和数学期望；

⑵已知两个变量X与>'之间的样本相关系数r=相，请用最小二乘法求出），关于A-的经验回

归方程；=£+：,并据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增感冒就诊的学生人数.

65一

参考数据：2*=3463,E0L_y）2=289.

跟踪训练2（2023・武汉模拟）某企业计划新购买100台设备,并将购买的设备分配给100名年

龄不同（视为技术水平不同）的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，

故产生的经济效益也不同.若用变量x表示不同技工的年龄，变量），为相应的效益值（元）,

根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，旦y关于上的经验回归方程为;，:1.2x

+406

⑴试预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益；

⑵试根据样本相关系数r的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关

程度（若0.75曷/1WI,则认为），与x的线性相关程度很强；若“<0.75,则认为），与x的线性

相关程度不强）；

⑶若这批设备有4方两道独立运行的生产工序且两道工序出现故障的概率依次是0.02,0.03.

若两道工序都没有出现故障,则生产成本不增加；若A工序出现故障，则生产成本增加2万

元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若4,B两道工序都出现故障,则生产成

本增加5万元.求这批设备增加的生产成本的期望.

100_1(X)_

参考数据：£(为一X)2=121,X(jj—y)2=225;

»=i/=i

参考公式：经验回归直线），=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为〃二

题型三独立性检验与分布列的综合问题

例3（2023.聊城模拟）某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和历史这两个科目中

选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四人科目中任选两个科目.选科工作完

成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的选科情况

统计后得到下表：

思想政治地理化学生物

物理类100120200180

历史类1201406080

（1）利用上述样本数据填写下列2X2列联表，并依据小概率值。=0.001的独立性检验，分析

以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异；

生物学科选法

科类合计

选不选

物理类

历史类

合计

⑵假设该校高一所有学生中有］的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且在物

理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为］而在历史类的学生中其余两科选择的

是地理和化学的概率为=若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，用X表示这100名

学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值凤X).

---------n(gd-bc)2---------

丁・丁(〃+力)(c+G(a+c)3+dy

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

跟踪训练3(2024.沈阳模拟)随着科技的进步和人民生活水平的提高,电脑已经走进了千家万

户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑(俗称“笔记本”)也非常流行.某

公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，在街头随机抽取了50

人做调查研究，调查数据如下表所示.

男性女性合计

喜欢“台式机”20525

喜欢“笔记本”101525

302050

⑴依据小概率值a=0.01的独立性检验，分析喜欢哪种机型与性别是否有关？

(2)该公司针对男性客户做了调查,某季度男性客户中有青年324人，中年216人，老年108

人，用按比例分配的分层随机抽样的方法选出12人，又随机抽出3人进行答谢，这3人中的

青年人数设为随机变量X,求X的分布列与数学期望.

附"=(〃+〃)(％)(篇3+4其中〃=〃+"c+”

a0.100.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

§10.7概率与统计的综合问题答案

例1解(1)由频率分布直方图可知，

10X(0.01+0.018+0.022+0.025+0.020+。)=1,

解得a=0.005.

设“该学生每天平均运动时间不低于20分钟”为事件A,“该学生是‘运动族'”为事件'

则P(A)=0.72,尸(48)=0.25,

所以在该学生每天平均运动时间不低于20分钟的条件下是“运动族”的概率为P(B\A)=

P(A3)_O25_25

P(A)=0?72=72-

(2)由题意可知，样本中共有“运动族”学生25人，运动时间在40〜50分钟之间的学生有20

人，

所以X=0,l,2.

P(X=0)=恁』,

„__£iC4o_l

产r(Xx—n1)-c，5一3，

P(X2)一国一30,

X的分布列为

X012

1119

p

30330

I98

-

F(X)=0X^+lx1+2X3o-5

跟踪训练1解(1)因为该校共有15000人，其中女生有4500人，

3

所以女生占总人数的比例为行.

又因为采用按比例分配的分层随机抽样的方法收集300位学生的样本数据，

所以女生样本数据应收集需X300=90(个).

(2)由频率分布直方图可知，

学生每周平均体肓运动时间不低于4个小时的频率为(0.15+0.125+0.075+0.025)X2=0.75,

故估计该校学生每周平均体育运动时间不低于4个小时的概率为0.75.

⑶由(2)可知，运动时间不低于4个小时的概率为土，则X〜B(4,券

所以P(x=o)=cSx(w)'xQ)°=K^，

。3=1)=①&勖磊,

。叱=2)=卅&2义倒2=急

P(X=3)=GXQ〉X勖磊，

P(X=4)=Cixg)xg)=^,

则X的分布列为

X01234

13272781

p

2566412864256

3

E(X)=4X1=3.

例2解⑴因为1一C温磊5

4X3

所以

AG'LI)

所以y。1-1)=4X3X6=968,解得yi=9,

即第一天新增感冒就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位,

则随机变量X的所有可能表值为0,1,2,且X服从超几何分布，其中N=9,M=4,n=2,

C?5

P(X=0)=^=jg,

5

--

P(x-1)一首9

P(X=2)=胃=不，

X的分布列为

X012

551

p

7896

<s1Q

X的数学期望E(X)=OX—4-1Xg+2Xj=g.

(2)因为£r=54,所以x=9,

i=l

所以Z(%j—X)2=64,

6

E(即一x)GLy)

116

8X17-17'

所以Z(XLx)GLy)=8X16,

i=]

6__

z(X/-x)Gi-y)

所以♦=j------------二w二2,

ZC.V/-T)2

i二1

66_6_6_6__

因为EK=3463,£(j7—y)2=2y£y,+6y2=-6)，？=289,解得y=23,

i=lr=lr=l；=1pl

A____A

所以a=-7—力；=23—2X9=5,

所以y=2x+5,

A

当x=15时，y=30+5=35,

据此估计昼夜温差为15。(2时，该校新增感冒就诊的学生人数为35.

跟踪训练2解⑴当x=52时，.y=1.2X52+40.6=103.

所以预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益为103元.

100一一

z(X,—X)(37—y)

=

Arl

(2)由题意得6==1.2,

100_

E(XLX)2

i=l

100__

Z（即一x）（V,-y）

i-l

所以=1.2,

100__

所以2（为一x）（＞7-y）R21X1.2,

121X1.2121X1.2

=VT2TxV225=_H^ir=°-88,

因为0.75<0.88<1,所以)，与x的线性相关程度很强.

所以使用该批设备的技工人员所产生的效益与技丁年龄的相关程度很强.

(3)设增加的生产成本为久万元)，

则。的可能取值为023,5.

^=0)=(1-0.02)X(l-0.03)

=0.9506,

P(c=2)=0.02X(l-0.03)=0.0194,

PG=3)=(1-0.02)X0.03=0.0294,

?仁=5)=0.02X0.03=0.00)6.

所以E(^)=0X0.9506+2X0.0194+3X0.0294+5X0.0006=0.13,

所以这批设备增加的生产成本的期望为0.13万元.

例3解(1)由题意可得选择物理类的总人数为300,其中选择生物学科的人数为180,不选

择生物学科的人数为120；选择历史类的总人数为200,其中选择生物学科的人数为80,不

选择生物学科的人数为120,据此完善2义2列联表如下：

科类~~生物学科选法~~合计

选不选

物理类180120300

历史类80120200

合计260240500

零假设为”0：两类学生对生物学科的选法没有差异.

由表中数据可得

,500X(180X120-120X80)2250

-300X200X260X240-19231>1O-828=^ooh

根据小概率值。=0.00