高等代数一期中试卷

高等代数(1)期中试卷

一、选择题(共10题，每题2分，共20分)

1.设A为n阶方阵，若A的所有特征值都是正实数，则A一定为正定矩阵。

()

A.正确

B.错误

2.设A是n阶方阵，若A是可逆矩阵，则A的伴随矩阵一定是非零矩阵。

()

A.正确

B.错误

3.若A是n阶方阵，且满足/C2-4A+31=0,则A的特征值是____,

A.1和3

B.2和2

C.-1和-3

D.1和-3

4.设A是n阶方阵，若存在非零向量x使得A〉:=0,则A一定是奇异矩区。

()

A.正确

B.错误

5.设A和B都是n阶方阵，且满足AB=BA,则A和B一定有相同的特征值。

()

A.正确

B.错误

6.设A是n阶方阵，若A的任意两行（列）线性无关，则A一定是可逆矩阵。

（）

A.正确

B.错误

7.设A是n阶方阵，若A的特征值都是正实数，则A一定是正定矩阵。（）

A.正确

B.错误

8.若A是n阶方阵，且所有特征值都是0,则A一定是零矩阵。（）

A.正确

B.错误

9.若A是n阶方阵，且存在非零向量x使得A〉:=0,则A一定是奇异矩区。

（）

A.正确

B.错误

10.若A是n阶方阵，且满足A〃2=A,则A一定是对称矩阵。（）

A.正确

B.错误

二、填空题（共5题，每题4分，共20分）

1.设A是3阶方阵，若|A|=2,则13Al=______o

2.设A是3阶方阵，若A的特征值为1,2,3,则|A|=。

3.设A是n阶方阵，若=0,则A一定是矩阵。

4.设A是n阶方阵，若A的行列式为0,则A一定是矩阵。

5.设A是n阶方阵，若A的特征值为入1,X2,入n,则|A|=,

三、简答题（共3题，每题10分，共30分）

1.什么是特征值和特征向量？

2.什么是可逆矩阵？如何判断一个矩阵是否可逆？

3.什么是对角化？如何判断一个方阵是否可对角化？

四、计算题（共2题，每题15分，共30分）

1.设A=|123|,求A的伴随矩阵。

1456|

|7891

2.己知A二|123|,B二|456|,求AB和BA的秩。

五、分析题（共1题，20分）

已知A是n阶方阵，且满足U2=A,证明A一定是对称矩阵。

六、证明题（共1题，20分）

证明若A是n阶方阵，且存在非零向量x使得Ax=0,则A一定是奇异矩

阵。

答案：

一、选择题

1.B

2.B

3.A

4.A

5.B

6.B

7.A

8.A

9.A

10.A

二、填空题

1.24

2.6

3.奇异

4.奇异

5.X1XX2XXAn

三、简答题

1.特征值和特征向量是矩阵的重要性质。对于方阵A,若存在数X和非零向

量x,使得Ax=Ax,贝IJX称为A的特征值，x称为对应于X的特征向

量。

2.可逆矩阵指的是存在逆矩阵的矩阵。对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B,

使得AB=BA=I,其中I为单位矩阵，则A为可逆矩阵。判断一个矩阵是

否可逆可以通过计算其行列式是否为零来进行判断。

3.对角化是指将一个方阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。对于n阶方阵

A,若存在可逆矩阵P,使得P'{T}AP=D,其中D为府角矩阵，则A可对

角化。判断一个方阵是否可对角化可以通过判断其是否有n个线性无关的特

征向量来进行判断。

四、计算题

1.A的伴随矩阵为/「*二|-36-3|o

I6-126

1-36-3|

2.AB的秩为2,BA的秩为3。

五、分析题

已知A是n阶方阵，且满足A°2=Ao设X和y分别是A的特征向量对应丁特

征值人和“。则有Ax=xX,Ay=uy。对限2〉：=Ax,我们有A(Ax)=Ax,即

A(Xx)=Xx,进一步得到A"2x=入"2x<>由于A"2=A,所以入"2x=Ax=

入x,即入八2二Xo同理，我们可以得到U八2二uo由于人和U是A的特征

值，所以它们满足A的特征方程。因此，X和u只能是0或1。由于特征值对应

的特征向量是非零向量，所以人和口不能同时为0。如果人为0,则对应的特征

向量x满足Ax-0,即A是奇异矩阵。如果入为1,则对应的特征向量x满足Ax

=x,即A是对称矩阵。综上所述，A一定是对称矩阵。

六、证明题

设A是n阶方阵，且存在非零向量x使得Ax=0。假设A是可逆矩阵，则存

在逆矩阵B,使得AB=BA=I