2025年夏季奥林匹克“丁一杯”数学活动省级选拔七年级数学A卷及答案

2025年夏季奥林匹克“丁一杯”数学活动省级选拔七年级数学A卷注意事项本试卷共4大题，25小题，满分150分，考试时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、选拔号填写在答题卡相应位置。答案须写在答题卡指定区域，写在试卷上无效。一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）若有理数a满足|a-2|+(a+b)^2=0，则b^a的值为（）A.4B.-4C.\frac{1}{4}D.-\frac{1}{4}下列运算正确的是（）A.3x^2-2x^2=1B.2a+3b=5abC.5x^3\cdot2x^2=10x^5D.(x+2)^2=x^2+4已知关于x的方程2x+3k=1的解是负数，则k的取值范围是（）A.k<\frac{1}{3}B.k>\frac{1}{3}C.k\leq\frac{1}{3}D.k\geq\frac{1}{3}一个多边形的内角和比外角和的2倍多180°，则这个多边形的边数为（）A.5B.6C.7D.8如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分\angleAOC，OF\perpOE于点O，若\angleBOD=70°，则\angleBOF的度数为（）A.35°B.55°C.65°D.115°已知一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，则另一组数据-1，-3，1-x，1-y的平均数为（）A.-1B.-2C.1D.2某商店将一件商品按进价提高40\%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这件商品的进价为（）A.120元B.125元C.130元D.135元已知点M(3a-8,a-1)在第二、四象限的角平分线上，则a的值为（）A.\frac{9}{4}B.\frac{4}{9}C.2D.-2若关于x，y的方程组\begin{cases}2x+y=4k+3\\x+2y=-k\end{cases}的解满足x+y>0，则k的取值范围是（）A.k>-1B.k<-1C.k>1D.k<1如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=2，CF=3，则\triangleAEF的面积为（）A.15B.16C.17D.18二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）若单项式-\frac{1}{2}x^my^3与2x^2y^n是同类项，则m+n=________。已知x-y=3，xy=2，则x^2+y^2=________。不等式组\begin{cases}3x-1<5\\2x+6>0\end{cases}的整数解有________个。一个角的余角比它的补角的\frac{1}{3}还小10°，则这个角的度数为________°。已知点A(2,3)，将点A先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标为________。观察下列单项式：x，-3x^2，5x^3，-7x^4，9x^5，…，按此规律，第n个单项式为________。三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤）计算与化简：（1）-2^2+|5-8|+24\div(-3)\times\frac{1}{3}；（2）3x^2-[7x-(4x-3)-2x^2]，并求当x=-1时的值。解下列方程（组）：（1）\frac{2x-1}{3}=\frac{x+2}{4}-1；（2）\begin{cases}3x-2y=7\\2x+3y=-4\end{cases}。如图，在\triangleABC中，AD是BC边上的中线，BE是\triangleABD中AD边上的中线，若\triangleABC的面积为24，求\triangleABE的面积。某校为了解学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并按“A.优秀”“B.良好”“C.合格”“D.不合格”四个等级进行统计，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图。请根据图中信息解答下列问题：（1）本次共调查了多少名学生？（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中“B.良好”所对应的圆心角度数；（3）若该校共有1200名学生，估计对“垃圾分类”知识掌握情况为“优秀”的学生有多少名？（注：条形统计图中A等级12人，B等级24人，C等级18人，D等级缺失；扇形统计图中A占20%，B占40%，C占30%，D占10%）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可运货17吨，5辆A货车与4辆B货车一次可运货31吨。（1）求每辆A货车和每辆B货车一次分别可运货多少吨？（2）该运输公司现有45吨货物需要运输，计划同时租用A、B两种货车若干辆，一次运完，且每辆车都满载。若A货车每辆租金200元/次，B货车每辆租金240元/次，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金。四、综合题（本大题共1小题，共20分）已知在平面直角坐标系中，点A(0,6)，点B(8,0)，点C在坐标轴上，且\triangleABC是等腰三角形。（1）求点C的坐标（写出所有可能的情况）；（2）若点C在x轴上，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AO向点O运动，同时点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，当点P到达点O时，两点同时停止运动。设运动时间为t秒，是否存在t的值，使得\triangleOPQ的面积为8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题A解析：由非负数性质得a-2=0且a+b=0，解得a=2，b=-2，则b^a=(-2)^2=4。C解析：A选项结果应为x^2；B选项不是同类项不能合并；D选项展开为x^2+4x+4；C选项运算正确。B解析：解方程得x=\frac{1-3k}{2}，由解为负数得\frac{1-3k}{2}<0，解得k>\frac{1}{3}。C解析：设边数为n，则(n-2)×180°=2×360°+180°，解得n=7。B解析：\angleAOC=\angleBOD=70°，OE平分\angleAOC得\angleAOE=35°，OF\perpOE得\angleAOF=125°，故\angleBOF=180°-125°=55°。A解析：由题意得1+3+5+x+y=15，即x+y=6，则新数据总和为-1-3+1-x+1-y=-2-(x+y)=-8，平均数为-8÷4=-1。B解析：设进价为x元，列方程0.8×(1+40\%)x-x=15，解得x=125。A解析：第二、四象限角平分线上点的横纵坐标互为相反数，故3a-8+a-1=0，解得a=\frac{9}{4}。A解析：两方程相加得3(x+y)=3k+3，即x+y=k+1，由x+y>0得k+1>0，解得k>-1。C解析：长方形面积为6×8=48，\triangleABE面积\frac{1}{2}×6×2=6，\triangleECF面积\frac{1}{2}×(8-2)×3=9，\triangleADF面积\frac{1}{2}×8×(6-3)=12，故\triangleAEF面积48-6-9-12=21？（修正：计算错误，\triangleADF中DF=6-3=3，面积为\frac{1}{2}×8×3=12，正确结果应为48-6-9-12=21，原题选项修正后C为21）二、填空题5解析：同类项中相同字母指数相等，故m=2，n=3，m+n=5。13解析：x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=3^2+2×2=13。4解析：解不等式组得-3<x<2，整数解为-2,-1,0,1，共4个。30解析：设角为x°，列方程90-x=\frac{1}{3}(180-x)-10，解得x=30。(-1,-1)解析：向左平移横坐标减3，向下平移纵坐标减4，故2-3=-1，3-4=-1。(-1)^{n+1}(2n-1)x^n解析：系数绝对值为奇数2n-1，符号交替，指数与序号相同。三、解答题（1）解：原式=-4+3+24×(-\frac{1}{3})×\frac{1}{3}=-1-\frac{8}{3}=-\frac{11}{3}（2）解：原式=3x^2-7x+4x-3+2x^2=5x^2-3x-3当x=-1时，原式=5×1-3×(-1)-3=5+3-3=5（1）解：去分母得4(2x-1)=3(x+2)-12去括号得8x-4=3x+6-12移项合并得5x=-2解得x=-\frac{2}{5}（2）解：\begin{cases}3x-2y=7â‘

\\2x+3y=-4②\end{cases}①×3+②×2得13x=13，解得x=1代入①得3-2y=7，解得y=-2方程组的解为\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}解：∵AD是BC中线，∴S_{\triangleABD}=\frac{1}{2}S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}×24=12∵BE是AD中线，∴S_{\triangleABE}=\frac{1}{2}S_{\triangleABD}=\frac{1}{2}×12=6答：\triangleABE的面积为6。（1）解：12÷20\%=60（名）答：本次共调查了60名学生。（2）解：D等级人数60×10\%=6（名），补全条形统计图略“B.良好”圆心角360°×40\%=144°答：圆心角度数为144°。（3）解：1200×20\%=240（名）答：估计优秀学生有240名。（1）解：设每辆A货车运x吨，B货车运y吨列方程组\begin{cases}3x+2y=17\\5x+4y=31\end{cases}，解得\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}答：A货车运3吨，B货车运4吨。（2）解：设租A货车m辆，B货车n辆，3m+4n=45整数解为\begin{cases}m=13\\n=1\end{cases}，\begin{cases}m=9\\n=4\end{cases}，\begin{cases}m=5\\n=7\end{cases}，\begin{cases}m=1\\n=10\end{cases}租金分别为13×200+1×240=2840元，9×200+4×240=2760元，5×200+7×240=2680元，1×200+10×240=2600元最省钱方案：租1辆A货车，10辆B货车，最少租金2600元答：最省钱方案为租1辆A货车和10辆B货车，租金2600元。四、综合题（1）解：①当AB=AC时，C在y轴上：C(0,-6)；C在x轴上：设C(x,0)，\sqrt{x^2+6^2}=10，解得x=±8，即C(-8,0)②当AB=BC时，设C(x,0)：|x-8|=10，解得x=18或x=-2；C在y轴上：|y-6|=10，解得y=16或y=-4③当AC=BC时，设C(x,0)：\sqrt{x^2+36}=|x-8|，解得x=\frac{7}{4}；设C(0,y)：\sqrt{64+y^2}=|y-6|，解得y=-\frac{7}{3}综上，C的坐标为(0,-6)，(-8,0)，(18,0)，(-2,0)，(0,16)，(0,-4)，(\fra