福建省福州市四校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页福建省福州市四校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．外切 C．相交 D．内切3．设，，向量，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44．过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（

）A． B． C． D．5．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（

）A．，， B．，，C．，， D．，，6．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．7．圆锥的底面半径为，高为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．二、多选题9．已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（

）A． B． C． D．10．已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（

）A．B．点在圆的外部C．圆与圆外切D．当直线平分圆的周长时，11．在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则（

）A．PN与为异面直线B．与MN析成的角为C．平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形D．，则点轨迹长度为三、填空题12．已知点和直线，则点P到l的距离为.13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影是.（用坐标表示）14．设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为．四、解答题15．在平行四边形中，．(1)求直线的方程；(2)求四边形的面积．16．在平行六面体中，，，令，，，以，，为基底，解决下列问题：(1)求证：直线平面；(2)求直线和夹角的余弦值.17．已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上.(1)求圆的方程：(2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程.18．在四棱锥中，已知，是等边三角形，点在棱上.(1)当时，求证：平面；(2)求点到底面的距离；(3)当时，求平面与平面所成角的余弦值.19．设，，，圆Q过A，B，D三个点.(1)求圆Q的方程；(2)设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围；(3)设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点.《福建省福州市四校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题》参考答案题号12345678910答案DBCAAABAACABC题号11答案ABD1．D【分析】将直线方程一般式化成斜截式方程，根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可.【详解】，所以该直线的斜率为，因此该直线的倾斜角为，故选：D2．B【分析】根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系.【详解】对于圆，圆心为，半径；对于圆，圆心为，半径.两圆圆心距，又，所以，所以两圆外切.故选：B3．C【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可.【详解】设、，向量，且，，解得，又因为，所以，解得，所以，故选：．4．A【分析】先通过直线方程联立求出交点坐标，再根据平行待定系数设直线方程，最后代入点坐标求解.【详解】由，得，∴交点坐标为．设与直线平行的直线方程为，把点的坐标代入，得，解得，∴所求直线方程为，故选：A.5．A【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可.【详解】构成空间的一组基底，则不共线，假设共面，则存在不全为零的实数，使，即，则，则，与不共线矛盾，故不共面；，故共面；，故共面；，故共面.故选：.6．A【分析】分别求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可求出.【详解】因，，，则斜率，，如图所示，

直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点，从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时；从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，所以此时，综上可得直线的斜率的取值范围为.故选：A.7．B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案.【详解】设是圆锥底面圆心，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，设直线与所成角为，则.故选：B.8．A【分析】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值.【详解】圆的圆心坐标为，半径，因为点为线段的中点，，则，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，点在直线上，可得圆心到直线的距离，所以的最小值为.故选：A

9．AC【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的性质，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系判定.【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出；反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确；对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误；对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反，因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确；对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误.故选：AC.10．ABC【分析】由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D.【详解】根据题意得，解得，A正确．由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确．圆的圆心为，半径为8，因为，所以圆与圆外切，C正确．若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误．故选：ABC．11．ABD【分析】根据异面直线定义可判断A正确，作与平行的直线，作出异面直线的平面角并由勾股定理可判断B正确，作出截面形状可知平面截该正方体所得截面形状为正六边形，可得C错误，利用向量共线定理可找出点轨迹为线段，求出其长度可得结果，即D正确.【详解】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确；对于B，取中点为，连，，如下图所示：由正方体性质可知，又，所以，因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角，易知，，，满足，即，所以，因此与所成的角为，即B正确；对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如上图所示：易知，，，即可知，，，，，在同一平面内，所以平面截该正方体所得截面即为六边形，又，所以截面形状为正六边形，即C错误；对于D，因为为的中点，所以，由可知，即，因此可知，共线，所以点轨迹为过点且与平行的线段，取的中点为，连接，取的中点，连接，如下图所示：由正方体性质易知，，又为的中位线，所以，；因此点轨迹即为线段，且，所以点轨迹长度为，可得正确.故选：ABD12．3【分析】代入点到直线距离公式计算可得结果.【详解】易知点P到l的距离为.故答案为：313．【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答.【详解】空间向量，，所以，，所以向量在向量上的投影向量是，所以向量在向量上的投影向量的坐标是.故答案为：.14．【分析】由题可求点关于轴的对称点，关于的对称点，然后利用数形结合即得.【详解】因为点，则关于轴的对称点为，设关于的对称点为，则，解得，即，所以，，所以的周长为，则当共线时，的周长的值最小，此时三角形周长为.故答案为：．15．(1)(2)【分析】（1）利用平行四边形对边平行，得，再用点斜式即可求直线的方程.（2）先求出直线的方程，再用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后用两点间距离公式求出的长度，最后根据平行四边形面积公式求四边形的面积.【详解】（1）根据已知作图如下，得，则，所以直线的方程为，化简得.

（2）由（1）得，则，所以点到直线的距离为，又，所以，即四边形的面积为.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用向量的数量积可证，，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直.（2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦.【详解】（1）由题意，.又，，.所以，所以，，又，平面，，所以直线平面.（2）因为，且，所以；，所以；且，.所以.所以直线和夹角的余弦值为.17．(1)(2)或【分析】（1）先求线段垂直平分线的方程，与直线联立，得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的标准方程.（2）分所求直线的斜率存在和不存在，利用弦长和点到直线的距离公式求直线方程.【详解】（1）的中点为的垂直平分线方程为，即，将联立可得，即圆的圆心坐标为.圆的半径为，所以圆的标准方程为.（2）设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故.若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意.若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，所以，解得，则直线的方程为.故直线的方程为或.18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）连接AC与BD交于点E，连接ME，证明即可.（2）取的中点，连接，可证底面，计算求得长即可；（3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知求得，进而得出的坐标，求平面与平面的法向量，用空间向量公式即可求解.【详解】（1）连接交于点，连接，因为，，所以，所以．因为，所以，所以，则在中，，又因为平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连接，因为是等边三角形，所以，因为，所以面，且面，所以面底面，侧面底面，所以底面，则点到底面的距离为，，则，.所以到底面的距离为.（3）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，所以，所以，所以，则，则.则，设平面的一个法向量为，则，令，则，则平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，则平面的一个法向量为，设平面与平面所成角为，.19．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程；（2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可；（3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程