2025年广东省广州市中考数学试卷

第45页（共45页）2025年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个边只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）（2025•广州）下列四个选项中，负无理数的是（）A．-2 B．﹣1 C．0 D．2．（3分）（2025•广州）如图，将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025•广州）下列运算正确的是（）A．a3•a5＝a15 B．（﹣2ab）3＝8a3b3 C．a-b=a-b（a≥b≥0） D．4．（3分）（2025•广州）关于x的方程x2﹣x+k2+2＝0根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根5．（3分）（2025•广州）某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（）星期一二三四五六日最高气温℃25252830333029A． B． C． D．6．（3分）（2025•广州）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），点B（﹣1，1），若将直线y＝x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则d的取值范围是（）A．﹣3≤d≤﹣1 B．1≤d≤3 C．﹣4≤d≤﹣2 D．2≤d≤47．（3分）（2025•广州）若|k|＝﹣k（k≠0），则反比例函数y=kx的A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限8．（3分）（2025•广州）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（）A．52 B．5 C．4 D．9．（3分）（2025•广州）如图，⊙O的直径AB＝4，C为AB中点，点D在BC上，BD=13BC，点P是ABA．2+7 B．2+23 C．3+7 D．10．（3分）（2025•广州）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（）A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）（2025•广州）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝36°，则∠2的度数为°．12．（3分）（2025•广州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若DEBC=13，则S△13．（3分）（2025•广州）要使代数式x+1x-3有意义，则x的取值范围是14．（3分）（2025•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD=1213，AB＝26，则点B到AD的距离为15．（3分）（2025•广州）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为．16．（3分）（2025•广州）已知⊙O的半径为6，⊙O所在平面内有一动点P，过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．点P与圆心O的距离为d，则d的取值范围是；若过点O作OC∥PA交直线PB于点C（点C不与点B重合），线段OC与⊙O交于点D．设PA＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为．三、解答题（本大题共9.小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步级.）17．（4分）（2025•广州）解不等式组2x18．（4分）（2025•广州）如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD．求证：△ABC≌△EBD．19．（6分）（2025•广州）求代数式2m2+4mm20．（6分）（2025•广州）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示：选手内容能力效果甲988488乙888597（1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？（2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4：3：3的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．21．（8分）（2025•广州）如图，曲线G：y=2x（x＞0）经过点P（4，（1）求t的值；（2）直线l：y＝﹣x+b也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．22．（10分）（2025•广州）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．（1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）（2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍．求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．23．（10分）（2025•广州）宽与长的比是5-12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片ABCD，长AD=5+1．如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E（1）求AB的长；（2）求证：四边形CDEF是黄金矩形；（3）如图2，点G为AE的中点，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q．四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．24．（12分）（2025•广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．发现问题确定目标涉水线设置限高架设置数学抽象绘制图形隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图2所示．图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成．信息收集资料整理当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米．实地考察数据采集斜坡的坡角α为10°，并查得sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan10°≈0.176．隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．问题解决：（1）如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）；（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）．25．（12分）（2025•广州）如图1，AC＝4，O为AC中点，点B在AC上方，连接AB，BC．（1）尺规作图：作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接AD、DC，并证明四边形ABCD为平行四边形；（2）如图2，延长AC至点F，使得CF＝AC，当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的动点E，连接EA，EB，EC，EF，若∠AEC＝45°，且△ABC∽△FCE．①求证：△ABC∽△CBE；②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

2025年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ABDCCDCBBA一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个边只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）（2025•广州）下列四个选项中，负无理数的是（）A．-2 B．﹣1 C．0 D．【考点】无理数．【专题】实数；数感．【答案】A【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．【解答】解：-2﹣1，0，3是整数，它们不是无理数，故选：A．【点评】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键．2．（3分）（2025•广州）如图，将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（）A． B． C． D．【考点】点、线、面、体．【专题】投影与视图；空间观念．【答案】B【分析】根据“面动成体”进行判断即可．【解答】解：将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周所得到的立体图形是圆锥，故选：B．【点评】本题考查点、线、面、体，理解“面动成体”是正确解答的关键．3．（3分）（2025•广州）下列运算正确的是（）A．a3•a5＝a15 B．（﹣2ab）3＝8a3b3 C．a-b=a-b（a≥b≥0） D．【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；二次根式；运算能力．【答案】D【分析】利用二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可．【解答】解：a3•a5＝a8，则A不符合题意，（﹣2ab）3＝﹣8a3b3，则B不符合题意，a与b不一定是同类二次根式，无法合并，则C不符合题意，2a+5a=7a（a故选：D．【点评】本题考查二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．4．（3分）（2025•广州）关于x的方程x2﹣x+k2+2＝0根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．【解答】解：由题知，Δ＝（﹣1）2﹣4（k2+2）＝﹣4k2﹣7＜0，所以方程无实数根．故选：C．【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．5．（3分）（2025•广州）某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（）星期一二三四五六日最高气温℃25252830333029A． B． C． D．【考点】统计图的选择．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】C【分析】根据频数分布直方图、扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断即可．【解答】解：某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是折线统计图．故选：C．【点评】本题主要考查了统计图的选择，熟练掌握扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目是解决此题的关键．6．（3分）（2025•广州）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），点B（﹣1，1），若将直线y＝x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则d的取值范围是（）A．﹣3≤d≤﹣1 B．1≤d≤3 C．﹣4≤d≤﹣2 D．2≤d≤4【考点】一次函数图象与几何变换；正比例函数的性质．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】D【分析】求得平移后的解析式为y＝x+d，分别代入A、B的坐标，求得对应的d的值，根据题意得到2≤d≤4．【解答】解：把直线y＝x向上平移d个单位长度后得到y＝x+d，若直线过A（﹣3，1），则﹣3+d＝1，解得d＝4，若直线过B（﹣1，1），则﹣1+d＝1，解得d＝2，∴若将直线y＝x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则2≤d≤4，故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，根据题意列出关于d的不等式组是解题的关键．7．（3分）（2025•广州）若|k|＝﹣k（k≠0），则反比例函数y=kx的A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】C【分析】根据绝对值的性质得k＜0，再根据反比例函数的图象与k的关系即可得出答案．【解答】解：∵|k|＝﹣k（k≠0），∴k＜0，∴反比例函数y=kx的故选：C．【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．8．（3分）（2025•广州）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（）A．52 B．5 C．4 D．【考点】中点四边形；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】B【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质、面积公式得到AC⊥BD，12AC•BD＝10，根据三角形中位线定理得到EF∥AC，EF=12AC【解答】解：如图，连接AC、BD，∵四边形ABCD为菱形，且面积为10，∴AC⊥BD，12AC•BD＝10∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=12同理可得：GH∥AC，GH=12AC，FG∥BD，FG=∴EF∥GH，EF＝GH，EF⊥FG，∴四边形EFGH为矩形，∴S四边形EFGH＝EF•FG=12AC•12BD=12×故选：B．【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．9．（3分）（2025•广州）如图，⊙O的直径AB＝4，C为AB中点，点D在BC上，BD=13BC，点P是ABA．2+7 B．2+23 C．3+7 D．【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】作直径CC′，连接DC′交AB于P，连接PC，OD，判定C的对称点是C′，得到此时△PCD的周长最小，判定△COD是等边三角形，由勾股定理求出CD＝23，由C和C′关于AB对称，得到PC′＝PC，因此△PCD周长的最小值＝CD+DC′＝2+23．【解答】解：作直径CC′，连接DC′交AB于P，连接PC，OD，∵C为AB中点，∴CC′⊥AB，∴C的对称点是C′，∴此时△PCD的周长最小，∵BD=∴∠COD＝90°×（1-13）＝∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC=12AB=12∵CC′是圆的直径，∴∠CDC′＝90°，∴CD=CC'2∵C和C′关于AB对称，∴PC′＝PC，∴△PCD的周长＝CD+PC+PD＝CD+PC′+PD＝CD+DC′＝2+23，∴△PCD周长的最小值是2+23．故选：B．【点评】本题考查轴对称﹣路线最短问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，关键是作出C关于AB的对称点C′，从而得到使△PCD周长有最小值的点P．10．（3分）（2025•广州）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（）A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】A【分析】抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）开口向上，顶点为（1，﹣a），与x轴交于（0，0）和（2，0），分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax（a＞0），∴抛物线的开口向上，则对称轴为直线x=-把x＝1代入y＝ax2﹣2ax得y＝a﹣2a＝﹣a，∴顶点为（1，﹣a），∵两点A（x1，y1）．B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），∴当x1＜0目y1•y2＜0时，y1＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方），故y2＜0，此时0＜x2＜2，故A选项的结论正确；当x1＜x2＜1时，抛物线在x＜1时递减，故x2越大，y2越小，即y1＞y2，故C选项的结论错误；当x1＜0且y1•y2＞0时，y2＞0，此时x2应满足x2＜0或x2＞2，故B选项的结论错误；当x1＞x2＞1时，抛物线在x＞1时递增，故x1越大，y1越大，即y1＞y2，故D选项的结论错误；故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象性质，掌握二次函数的图象性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）（2025•广州）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝36°，则∠2的度数为144°．【考点】对顶角、邻补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．【答案】144．【分析】根据邻补角的定义进行计算即可．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，而∠1＝36°，∴∠2＝180°﹣36°＝144°，故答案为：144．【点评】本题考查对顶角、邻补角，理解邻补角的定义是正确解答的关键．12．（3分）（2025•广州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若DEBC=13，则S△【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】三角形；图形的相似．【答案】19【分析】根据题意证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△故答案为：19【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握其性质是解题的关键．13．（3分）（2025•广州）要使代数式x+1x-3有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】分式；二次根式；运算能力．【答案】x≥﹣1且x≠3．【分析】根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案．【解答】解：要使代数式x+1则x+1≥0且x﹣3≠0，解得：x≥﹣1且x≠3，故答案为：x≥﹣1且x≠3．【点评】本题考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．14．（3分）（2025•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD=1213，AB＝26，则点B到AD的距离为10【考点】解直角三角形；角平分线的性质．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】10．【分析】过点D作DH⊥AB于点H．可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k，证明DH＝CD＝5k，利用面积法求解．【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H．∵∠C＝90°，cos∠CAD=AC∴可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝5k，设点B到AD的距离为h，则有12×13k×h=1解得h＝10．故答案为：10．【点评】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．15．（3分）（2025•广州）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为1或-13【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】1或-1【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线y＝x+2中进行计算，即可解答．【解答】解：y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3＝x2﹣6mx+9m2﹣9m2+6m2+5m+3＝（x﹣3m）2﹣3m2+5m+3，∴抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点为（3m，﹣3m2+5m+3），把（3m，﹣3m2+5m+3）代入y＝x+2中得：﹣3m2+5m+3＝3m+2，整理得：3m2﹣2m﹣1＝0，解得：m1＝1，m2=-1故答案为：m的值为1或-1故答案为：1或-1【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．（3分）（2025•广州）已知⊙O的半径为6，⊙O所在平面内有一动点P，过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．点P与圆心O的距离为d，则d的取值范围是d＞6；若过点O作OC∥PA交直线PB于点C（点C不与点B重合），线段OC与⊙O交于点D．设PA＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为y=(x-【考点】切线的性质；函数关系式．【专题】函数及其图象；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】d＞6，y=(【分析】由题意知点P在⊙O外，得到d＞6，由平行线的性质和角平分线定义推出∠POC＝∠CPO，得到PC＝OC，由勾股定理得到（y+6）2＝（x﹣y﹣6）2+62，即可得到y关于x的函数关系式．【解答】解：∵过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，∴点P在⊙O外，∴d＞6；∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∴OP平分∠APB，∴∠APO＝∠BPO，∵OC∥PA，∴∠POC＝∠APO，∴∠POC＝∠CPO，∴PC＝OC，∵PA＝x，CD＝y，∴PC＝OC＝y+6，∴BC＝PB﹣PC＝x﹣（y+6）＝x﹣y﹣6，连接OB，∴半径OB⊥PB，∴∠OBC＝90°，∴OC2＝BC2+OB2，∴（y+6）2＝（x﹣y﹣6）2+62，∴y=(故答案为：d＞6，y=(【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，函数关系式，关键是由勾股定理列出关于x、y的等式．三、解答题（本大题共9.小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步级.）17．（4分）（2025•广州）解不等式组2x【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】0.5≤x＜4；数轴见解析．【分析】解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：解第一个不等式得：x≥0.5，解第二个不等式得：x＜4，故原不等式组的解集为0.5≤x＜4，在数轴上表示其解集如图所示：．【点评】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．18．（4分）（2025•广州）如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD．求证：△ABC≌△EBD．【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】证明见解析．【分析】由∠1＝∠2，得到∠ABC＝∠EBD，即可证明△ABC≌△EBD（SAS）．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EBC＝∠2+∠EBC，∴∠ABC＝∠EBD，在△ABC和△EBD中，AB=∴△ABC≌△EBD（SAS）．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS．19．（6分）（2025•广州）求代数式2m2+4mm【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】﹣43．【分析】将原式的分子，分母因式分解后进行约分，然后代入已知数值计算即可．【解答】解：原式=2m＝2（m+2）（m﹣2），当m=3-原式＝2（3-1+2）（3-1﹣＝2（3+1）（3-＝2（3﹣33+3＝﹣43．【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20．（6分）（2025•广州）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示：选手内容能力效果甲988488乙888597（1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？（2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4：3：3的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．【考点】加权平均数．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】（1）甲、乙两名选手的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次；（2）甲排第一，乙排第二；（3）将内容、能力和效果三项得分按3：4：3的比例确定各人的测试成绩，确定录用者，因为能力比内容更重要（答案不唯一）．【分析】（1）根据算术平均数计算即可；（2）根据加权平均数公式解答即可；（3）将内容、能力和效果三项得分按3：4：3的比例确定各人的测试成绩（答案不唯一）．【解答】解：（1）甲的平均成绩为：98+84+883=乙甲的平均成绩为：88+85+973=所以不能以此确定两人的名次；（2）甲的平均成绩为：98×4+84×3+88×34+3+3=乙甲的平均成绩为：88×4+85×3+97×34+3+3=∵90.8＞89.8，∴甲排第一，乙排第二；（3）将内容、能力和效果三项得分按3：4：3的比例确定各人的测试成绩，确定录用者，因为能力比内容更重要（答案不唯一）．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．21．（8分）（2025•广州）如图，曲线G：y=2x（x＞0）经过点P（4，（1）求t的值；（2）直线l：y＝﹣x+b也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】函数及其图象；一次函数及其应用；概率及其应用；模型思想．【答案】（1）12（2）l与y轴交点的坐标为（0，4.5），图中画出直线l见解答；（3）13【分析】（1）直接把（4，t）代入y=2x进行计算，得t（2）先得出P（4，12），再代入直线l：y＝﹣x+4.5，即可求出t与y轴交点的坐标，再由两点确定一直线画出直线l的函数图象（3）先得出格点共有6个，分别是（1，3），（1，2），（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），再分析所得格点（1，2），（2，1）在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后由概率公式解答即可．【解答】解：（1）曲线G：y=2x过点P（4，∴t=2（2）由（1）得t=1故P（4，12∵直线l：y＝﹣x+b也经过点P，∴把（4，12）代入y＝﹣x+b，得1解得b＝4.5，∴y＝﹣x+4.5，令x＝0，则y＝0+4.5＝4.5，∴l与y轴交点的坐标为（0，4.5），直线的函数图象，如图所示：（3）根据题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包括边界）的格点共有6个，分别是（1，3），（1，2），（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），∵曲线G：y=2x（x＞则1×3＝3≠2，1×2＝2，1×1≠2，2×1＝2，2×2＝4≠2，3×1＝3≠2，∴格点（1，2），（2，1）在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，∴该格点在曲线G上的概率=2【点评】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，掌握相关性质是解答本题的关键．22．（10分）（2025•广州）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．（1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）（2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍．求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．【考点】分式方程的应用；列代数式．【专题】整式；分式方程及应用；应用意识．【答案】（1）70%a元；（2）1000千克．【分析】（1）利用用智能机器人采摘的成本＝（1﹣30%）×用人工采摘的成本，可用含a的代数式表示出用智能机器人采摘的成本；（2）设一个工人每天可采摘该种水果x千克，则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果5x千克，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入5x中，即可求出结论．【解答】解：（1）根据题意得：用智能机器人采摘的成本是（1﹣30%）a＝70%a元；（2）设一个工人每天可采摘该种水果x千克，则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果5x千克，根据题意得：40004x解得：x＝200，经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意，∴5x＝5×200＝1000（千克）．答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出用智能机器人采摘的成本；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．23．（10分）（2025•广州）宽与长的比是5-12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片ABCD，长AD=5+1．如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E（1）求AB的长；（2）求证：四边形CDEF是黄金矩形；（3）如图2，点G为AE的中点，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q．四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题．【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）四边形BPQF是黄金矩形，证明见解析．【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：ABAD（2）先证明四边形ABFE是正方形；可得AB＝BF＝EF＝AE＝2，DE=CF=（3）先证四边形BPQF是矩形，然后求解FG=12+22=5，由对折可得：FH＝FB＝2，设BP＝x，则AP＝【解答】（1）解：∵AD=5+1∴ABAD∴AB=（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，∴AB＝AE，∠B＝∠AEF，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD=∴∠BAE＝∠B＝∠AEF＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∵AB＝AE，∴四边形ABFE是正方形，∴AB＝BF＝EF＝AE，由（1）可知，AB＝2，∴AB＝BF＝EF＝AE＝2，∴DE=∵∠C＝∠D＝∠DEF＝90°，∴四边形CFED是矩形，∴EF＝CD＝2，∴DEFE∴四边形CDEF是黄金矩形；（3）解：四边形BPQF是黄金矩形，证明如下：∵PQ⊥EF，四边形ABFE是正方形，∴∠B＝∠BFE＝∠PQF＝90°，∴四边形BFQP是矩形，由（2）可知，AB＝BF＝AE＝EF＝2，∵G为AE的中点，∴AG＝EG＝1，∴FG=如图，连接PG，由对折可得：FH＝FB＝2，BP＝PH，∠PHF＝∠B＝90°，设BP＝PH＝x，则AP＝2﹣x，∵S△APG+S△PBF+S△PGF＝S梯形ABFG∴12解得：x=∴BP=∴BPBF∴四边形BFQP是黄金矩形．【点评】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键．24．（12分）（2025•广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．发现问题确定目标涉水线设置限高架设置数学抽象绘制图形隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图2所示．图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成．信息收集资料整理当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米．实地考察数据采集斜坡的坡角α为10°，并查得sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan10°≈0.176．隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．问题解决：（1）如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）；（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）．【考点】二次函数的应用；线段的性质：两点之间线段最短；解直角三角形．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）1.55米；（2）y=-12125x（3）3.5米．【分析】（1）认真研读题干，过点M作MP⊥l，代入数值得sin10°=（2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线ACB的解析式为y＝ax2（a＜0），再把B（5，﹣2.4）代入进行计算，得y=-（3）认真研读题干，得出10÷5﹣1＝4，再算出当x＝4时，y＝﹣1.536，则OG＝1.536，GH＝CH﹣OG＝3.864，即可得出h＝GH﹣0.3＝3.564＝3.5（米），即可作答．【解答】解：（1）过点M作MP⊥l，∵斜坡的坡角α为10°，隧道内积水的水深为0.27米，∴∠MNP＝10°，MP＝0.27，∵MP⊥l，sin10°≈0.174，在Rt△MNP中，sin10°=MPMN∴MN=（2）以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线ACB的解析式为y＝ax2（a＜0），∵隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米，∴B（5，﹣2.4），把B（5，﹣2.4）代入y＝ax2，得﹣2.4＝25a，∴a=-12∴y=-12125x（3）车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米，∴10÷2﹣1＝4，∴当x＝4时，y=-则OG＝1.536，∴GH＝CH﹣OG＝5.4﹣1.536＝3.864，限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），∴h＝GH﹣0.3＝3.864﹣0.3＝3.564（米），∵涉及安全问题，∴h＝3.564≈3.5（米）．【点评】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．25．（12分）（2025•广州）如图1，AC＝4，O为AC中点，点B在AC上方，连接AB，BC．（1）尺规作图：作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接AD、DC，并证明四边形ABCD为平行四边形；（2）如图2，延长AC至点F，使得CF＝AC，当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的动点E，连接EA，EB，EC，EF，若∠AEC＝45°，且△ABC∽△FCE．①求证：△ABC∽△CBE；②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②存在，最大值为22，理由见解析．【分析】（1）连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD＝OB，连接AD，CD，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；（2）①根据△ABC∽△FCE得出∠BCE＝∠F＝∠BAC，ABFC=BCCE，根据已知CF＝AC，可得△②根据∠AEC＝45°，AC＝4，得出E在△AEC的外接圆上运动，设△AEC的外接圆为⊙O，设EF与⊙O交于点G，连接AG，证明△BAC∽△GFA，得出BC=12AG，当AG为⊙O的直径时，【解答】（1）解：如图，连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD＝OB，点D即为所作，∵O为AC中点，∴AO＝OC，根据作图可得BO＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，（2）①∵△ABC∽△FCE，∴∠F＝∠BAC，∠ACB＝∠FEC，∵∠ACE＝∠F+∠CEF＝∠ECB+∠ACB，∴∠BCE＝∠F＝∠BAC，∵△ABC∽△FCE，∴ABFC=BCCE且∴ABAC∴△ABC∽△CBE；②∵∠AEC＝45°，AC＝4，∴E在△AEC的外接圆上运动，设△AEC的外接圆为⊙O，如图，设EF与⊙O交于点G，连接AG，OA，OC，∴∠AOC＝2∠AEC＝90°，∴OA=∵CG=∴∠GAF＝∠CEF，∵∠CEF＝∠ACB，∴∠GAF＝∠BCA，又∵∠F＝∠BAC，∴△BAC∽△GFA，又∵CF＝AC，则AF＝2AC，∴BCAG若BC=∴当AG为⊙O的直径时，AG取得最大值为42∴BC的最大值为22【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．

考点卡片1．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如2，（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．2．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．3．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．4．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．5．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．6．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．7．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．8．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．9．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．10．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．11．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．12．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．13．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．14．正比例函数的性质单调性当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．对称性对称点：关于原点成中心对称．[1]对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．15．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．16．一次函数图象与几何变换直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）17．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．18．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx（k≠0）的（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．19．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x20．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|421．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2a②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x22．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．23．点、线、面、体（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．（2）从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．（3）从几何的观点来看点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．24．线段的性质：两点之间线段最短线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．25．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．26．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．27．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①