2025年陕西省中考数学试卷

第44页（共44页）2025年陕西省中考数学试卷一、单选题(共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符含题意的)1．（3分）（2025•陕西）计算：﹣5+4＝（）A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣92．（3分）（2025•陕西）上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（）A． B． C． D．3．（3分）（2025•陕西）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（）A．76° B．74° C．64° D．52°4．（3分）（2025•陕西）计算2a2•ab的结果为（）A．4a2b B．4a3b C．2a2b D．2a3b5．（3分）（2025•陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．（3分）（2025•陕西）在平面直角坐标系中，过点（1，0），（0，2）的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（）A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）7．（3分）（2025•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（）A．10 B．8 C．5 D．48．（3分）（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（）A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分)9．（3分）（2025•陕西）满足2＜a＜5的整数a可以是10．（3分）（2025•陕西）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…则第10个图案需要用矩形的个数为．11．（3分）（2025•陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦平均每小时采摘4kg，小康采摘的时长是小时．12．（3分）（2025•陕西）如图，AB为⊙O的直径，BC=BD，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为13．（3分）（2025•陕西）如图，过原点的直线与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，则k14．（3分）（2025•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为．三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程)15．（5分）（2025•陕西）计算：3×16．（5分）（2025•陕西）解不等式组：x+317．（5分）（2025•陕西）化简：(1-118．（5分）（2025•陕西）如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法）19．（5分）（2025•陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC．20．（5分）（2025•陕西）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为；（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．21．（6分）（2025•陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE＝1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）22．（7分）（2025•陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度x（℃）成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表：气体温度x（℃）…253035…气体体积y（L）…596606616…（1）求y与x的函数关系式；（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热．求停止加热时的气体温度．23．（7分）（2025•陕西）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分满分100分均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图．其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．根据以上信息，解答下列问题：（1）B组15个成绩的平均数为分；（2）本次被抽取的所有成绩的个数为，本次被抽取的所有成绩的中位数为分；（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．24．（8分）（2025•陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°．（1）求证：AB＝AC；（2）若sinA=35，AB＝825．（8分）（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线L1的函数表达式；（2）已知抛物线L3的函数表达式为y=-316(x26．（12分）（2025•陕西）问题探究（1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P为矩形ABCD内一点，且满足S△BPC＝9，△BPC周长的最小值；问题解决（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP：AQ＝2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）

2025年陕西省中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BDADCBCD一、单选题(共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符含题意的)1．（3分）（2025•陕西）计算：﹣5+4＝（）A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9【考点】有理数的加法．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】根据绝对值不相等的异号两数相加的运算法则计算即可．【解答】解：﹣5+4＝﹣（5﹣4）＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（3分）（2025•陕西）上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【答案】D【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可．【解答】解：从上面看这个几何体，可得选项D的图形．故选：D．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．3．（3分）（2025•陕西）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（）A．76° B．74° C．64° D．52°【考点】角平分线的定义；余角和补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】A【分析】由角平分线的定义得到∠AOC＝2∠1＝104°，由邻补角的性质即可求出∠2的度数．【解答】解：∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠1＝2×52°＝104°，∴∠2＝180°﹣∠AOC＝76°．故选：A．【点评】本题考查角平分线的定义，余角和补角，关键是由角平分线的定义得到∠AOC＝2∠1．4．（3分）（2025•陕西）计算2a2•ab的结果为（）A．4a2b B．4a3b C．2a2b D．2a3b【考点】单项式乘单项式．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．【解答】解：2a2•ab＝2a3b．故选：D．【点评】本题考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．5．（3分）（2025•陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】直角三角形斜边上的中线；余角和补角．【答案】C【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出CD＝AD＝BD，推出∠B＝∠BCD，∠ADE＝∠CDE，而∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，即可得到答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∴CD=12∴CD＝AD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴∠ADE＝∠CDE，∵∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，∴图中与∠A互余的角共有4个．故选：C．【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，余角和补角，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出CD＝AD＝BD，掌握余角的概念．6．（3分）（2025•陕西）在平面直角坐标系中，过点（1，0），（0，2）的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（）A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）【考点】坐标与图形变化﹣平移．【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力．【答案】B【分析】根据题意，求出过点（1，0），（0，2）的直线解析式，再结合“上加下减”的平移法则，求出平移后的直线解析式，据此进行判断即可．【解答】解：令过点（1，0），（0，2）的直线解析式为y＝kx+b，则k+解得k=-2所以直线的解析式为y＝﹣2x+2，则向上平移3个单位长度后，所得直线的解析式为y＝﹣2x+5，显然只有B选项符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．7．（3分）（2025•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（）A．10 B．8 C．5 D．4【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】根据正方形性质及勾股定理求出AE＝BE＝2，CE=25，证明△BCE和△AEF相似得EF=5，再根据三角形的面积公式即可得出△【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE=12AB＝在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE=B∠A＝∠B＝90°，EF⊥EC，∴∠BCE+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，∴∠BCE＝∠AEF，∴△BCE∽△AEF，∴EFCE∴EF=CE∴△CEF的面积为：12CE•EF=1故选：C．【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．8．（3分）（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（）A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质．【答案】D【分析】由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可．【解答】解：由题意可得，∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号，∴x1解得0＜a＜3，∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意；∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线x=-∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意；∵当x＝1时，y＝﹣3，∴最小值为﹣3，故C不符合题意；当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3，∵0＜a＜3，∴此时y＜0，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分)9．（3分）（2025•陕西）满足2＜a＜5的整数a可以是3（答案不【考点】估算无理数的大小．【专题】实数；运算能力．【答案】3（答案不唯一）．【分析】先估算2的取值范围，即可找出一个符合条件的整数a的值即可．【解答】解：∵1＜∴1＜∵2＜a＜∴a可以是3（答案不唯一），故答案为：3（答案不唯一）．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．10．（3分）（2025•陕西）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…则第10个图案需要用矩形的个数为21．【考点】规律型：图形的变化类；全等图形．【专题】规律型；图形的全等；运算能力；推理能力．【答案】21．【分析】根据图形的变化情况得出规律，即可解决问题．【解答】解：观察图形可知，第1个图案用了3个矩形，即3＝2×1+1，第2个图案用了5个矩形，即5＝2×2+1，第3个图案用了7个矩形，即7＝2×3+1，…第n个图案用了（2n+1）个矩形，∴第10个图案需要用矩形的个数为2×10+1＝21（个），故答案为：21．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，观察图形的变化，找出规律是解题的关键．11．（3分）（2025•陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦平均每小时采摘4kg，小康采摘的时长是1.2小时．【考点】一元一次方程的应用．【专题】一元一次不等式（组）及应用．【答案】1.2．【分析】利用小康采摘的草莓比小悦多2.4kg得出等式求出答案．【解答】解：设小康和小悦采摘了x小时，依题意：6x﹣4x＝2.4，解得：x＝1.2，因此，小康采摘了1.2小时，故答案为：1.2．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．12．（3分）（2025•陕西）如图，AB为⊙O的直径，BC=BD，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为66°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】66°．【分析】连接BC，如图，先利用圆周角定理得到∠BCD＝∠CDB＝24°，∠ACB＝90°，然后利用互余计算出∠ACD的度数．【解答】解：连接BC，如图，∵BC=∴∠BCD＝∠CDB＝24°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°．故答案为：66°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．13．（3分）（2025•陕西）如图，过原点的直线与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，则k【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用．【答案】9．【分析】先根据题意得出﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，解得m＝3，n＝3，即A（3，3），再把A（3，3）代入y=【解答】解：∵过原点的直线与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A（m，n），B（m∴A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点关于原点O对称，即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，∴﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，∴m＝3，n＝3，∴A（3，3），把A（3，3）代入y=得3=k解得k＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，掌握以上性质是解题的关键．14．（3分）（2025•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为5．【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．【答案】5．【分析】由题意可得AM＝AN，MP＝NP，则点P在AH上运动，由点P始终在▱ABCD的内部或边上．则AP的最大值为AH的长，通过证明△ABH是等边三角形，可得AB＝AH＝6，即可求解．【解答】解：如图，连接AP，并延长交BC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∵△MNP是等边三角形，∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面积=34MP∵AM＝AN，AP＝AP，∴△AMP≌△ANP（SSS），∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°，∴∠AMP＝90°，∴MP=3AM，AP＝2AM∴MP=32∴△MNP的面积=3316∴当AP最大时，△MNP的面积的面积最大，∵∠B＝∠BAH＝60°，∴△ABH是等边三角形，∴AB＝AH＝6，∵AM＝AN，MP＝NP，∴点P在AH上运动，∵点P始终在▱ABCD的内部或边上．∴AP的最大值为AH的长，即AP＝6，∴AM＝AN＝3，∴DN＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，锐角三角函数等知识点，确定点P的轨迹是解题的关键．三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程)15．（5分）（2025•陕西）计算：3×【考点】实数的运算；零指数幂．【专题】实数；运算能力．【答案】7．【分析】根据零指数幂的性质，先算乘方，再根据二次根式的乘法法则计算乘法，最后算加减即可．【解答】解：原式==36＝6+2﹣1＝7．【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质、二次根式的乘法法则和绝对值的性质．16．（5分）（2025•陕西）解不等式组：x+3【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】﹣3＜x＜2．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．【解答】解：x+3解不等式①，得：x＜2，解不等式②，得：x＞﹣3，∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜2．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．17．（5分）（2025•陕西）化简：(1-1【考点】分式的混合运算．【专题】分式；运算能力．【答案】x+2．【分析】先通分，同时将除法转化为乘法，然后约分即可．【解答】解：(1-=x+2-1x=x+1x＝x+2．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．18．（5分）（2025•陕西）如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—复杂作图；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．【答案】见解答．【分析】先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点P，则点P即为所求．【解答】解：如图，先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点P，∴∠CPO=∠∴∠AOP＝25°，CP∥OB，则点P即为所求．【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．（5分）（2025•陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．【答案】证明见解答．【分析】由DE∥AB，得∠D＝∠ABC，而BD＝AB，DE＝BC，即可根据“SAS”证明△BDE≌△ABC，则BE＝AC．【解答】证明：∵点D是BC延长线上一点，DE∥AB，∴∠D＝∠ABC，在△BDE和△ABC中，BD=∴△BDE≌△ABC（SAS），∴BE＝AC．【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠D＝∠ABC，进而证明△BDE≌△ABC是解题的关键．20．（5分）（2025•陕西）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为15（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）15（2）45【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的结果有20种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，∴从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为15故答案为：15（2）画树状图如下：共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的结果有20种，∴这两个小组研究方向不同的概率为2025【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（6分）（2025•陕西）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE＝1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用．【答案】信号杆的高AB为16m．【分析】理解题意，得出∠DBH＝∠BDE＝72.5°，再在Rt△DBH中，运用HD＝BD×sin72.5°，BH＝BD×cos72.5°，代入数值进行计算，得出HD，BH的值，然后证明四边形EDHI是矩形，故EI＝HD＝20.9m，根据∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，得∠EAI＝45°，AI＝EI＝20.9m，把数值代入AB＝AI+IH﹣BH进行计算，即可作答．【解答】解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：∵AB，DE均与水平线FC垂直，∴DE∥AC，∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°，∵DH⊥AC，∴∠DHI＝90°，在Rt△DBH中，BD=22则HD＝BD×sin72.5°＝22×0.95＝20.9（m），在Rt△DBH中，BD＝22m，cos72.5°=则BH＝BD×cos72.5°＝22×0.30＝6.6（m），∵过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，DE∥AC，∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°，∴四边形EDHI是矩形，∴EI＝HD＝20.9m，∴∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，∴∠EAI＝45°，∴AI＝EI＝20.9m，∴AB＝AI+IH﹣BH＝20.9+1.7﹣6.6＝16（m），信号杆的高AB为16m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．22．（7分）（2025•陕西）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度x（℃）成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表：气体温度x（℃）…253035…气体体积y（L）…596606616…（1）求y与x的函数关系式；（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热．求停止加热时的气体温度．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）y＝2x+546；（2）77℃．【分析】（1）根据变量的变化规律解答即可；（2）当y＝700时，求出对应x的值即可．【解答】解：（1）根据表格，气体温度升高1℃，气体体积增大2L，则y＝596+2（x﹣25）＝2x+546，∴y与x的函数关系式为y＝2x+546．（2）当y＝700时，得2x+546＝700，解得x＝77．答：停止加热时的气体温度为77℃．【点评】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式是解题的关键．23．（7分）（2025•陕西）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分满分100分均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图．其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．根据以上信息，解答下列问题：（1）B组15个成绩的平均数为84分；（2）本次被抽取的所有成绩的个数为50，本次被抽取的所有成绩的中位数为80分；（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．【考点】中位数；用样本估计总体；加权平均数．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】（1）84；（2）50，80；（3）120人．【分析】（1）根据加权平均数公式解答即可；（2）用B组的个数除以B组所占百分比可得样本容量，再根据中位数的意义解答即可；（3）用总人数乘样本中成绩90分及以上的学生的人数所占比例即可．【解答】解：（1）B组15个成绩的平均数为：115×（3×80+2×81+83+84+4×85+86+2×88+89）＝故答案为：84；（2）本次被抽取的所有成绩的个数为：15÷30%＝50，A组人数为：50×24%＝12（个），把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是80，80，所以本次被抽取的所有成绩的中位数为：80+802=故答案为：50，80；（3）500×24%＝120（人），答：估计本次竞赛的获奖人数为120人．【点评】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（8分）（2025•陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°．（1）求证：AB＝AC；（2）若sinA=35，AB＝8【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）DG的长是122【分析】（1）连接OD，由∠F＝45°，得∠DOE＝2∠F＝90°，由切线的性质得AB⊥OD于点D，则∠ODA＝∠DOE＝90°，所以AB∥OE，因为OC＝OE，所以∠B＝∠OEC＝∠C，则AB＝AC；（2）由ODOA=sinA=35，得OA=53OD，因为OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，所以53OD+OD＝8，则OF＝OD＝3，求得OA＝5，DF＝32，则AD＝4，由AD∥OF，证明△AGD∽△OGF，则【解答】（1）证明：连接OD，∵∠F＝45°，∴∠DOE＝2∠F＝90°，∵⊙O与AB相切于点D，∴AB⊥OD于点D，∴∠ODA＝∠DOE＝90°，∴AB∥OE，∵OC＝OE，∴∠B＝∠OEC＝∠C，∴AB＝AC．（2）解：∵ODOA=sinA∴OA=53∵OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，∠DOF＝90°，∴53OD+OD＝8∴OF＝OD＝3，∴OA=53×3＝5，DF=OF∴AD=OA∵AD∥OF，∴△AGD∽△OGF，∴DGFG∴DG=44+3DF=47DF∴DG的长是122【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．25．（8分）（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线L1的函数表达式；（2）已知抛物线L3的函数表达式为y=-316(x【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用．【答案】（1）y=-116x2+4；（【分析】（1）理解题意，先设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4，结合二次函数的对称性得A（﹣8，0），C（8，0），再代入y＝a（x﹣0）2+4进行求解，即可作答；（2）理解题意，得出y=yN-yQ=52，再结合抛物线L1L3的函数表达式分别为y=-116x2+4，y=-316(x-4)2代入y＝【解答】解：（1）∵BO＝4m，∴抛物线L1的顶点B坐标为（0，4），设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4，∵AC＝16m，结合二次函数的对称性得A（﹣8，0），C（8，0），将C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4，得0＝64a+4，则a=-∴y=-（2）由（1）得抛物线L1的函数表达式y=-∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.NQ=52m，且抛物线L∴y=整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24，∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24，∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，解得x1＝x2＝6，∴MN＝2×6＝12（m）．【点评】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．26．（12分）（2025•陕西）问题探究（1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P为矩形ABCD内一点，且满足S△BPC＝9，△BPC周长的最小值；问题解决（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP：AQ＝2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；运算能力．【答案】（1）见详解；（2）62（3）AP=【分析】（1）先作∠ADE＝∠B，DE交AC于点E，得出DE∥BF，再以点B为圆心，以DE的长为半径画弧，交线段BC于一点F，连接EF，则DE＝BF，故四边形BDEF是平行四边形，即可作答；（2）过P点作PH⊥BC于点H，解得PH＝3，故P在线段MN上运动的，整理C△BPC＝BP+CP+6，经过分析当BP+CP有最小值时，则△BPC的周长有最小值，即作B点关于MN的对称点B'，当B'，P，C三点共线时，BP+CP有最小值，即B'C的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得B'（3）取AB的中点M，取AC的中点N，连接MN，得MN是△ABC的中位线，再过点P作PD∥AC，证明△PBD∽△ABC，整理PBPD=ABAC=120180=23，故AQ＝PD，再证明四边形APDQ是平行四边形，因为O是PQ的中点，得AO＝OD，证明△ADH∽△ODE，OEAH=ODAD=12，由题意得OE为定值，则点O在△ABC的中位线MN上运动，作△BOC的外接圆⊙T【解答】解：（1）依题意，先作∠ADE＝∠B，DE交AC于点E，得出DE∥BF，再以点B为圆心，以DE的长为半径画弧，交线段BC于一点F，连接EF，则DE＝BF，∵DE∥BF，∴四边形BDEF是平行四边形，即▱BDEF如图所示：（2）如图，过P点作PH⊥BC于点H，∵S△BPC＝9，BC＝6，∴12解得PH＝3，过点P作MN∥BC且分别与AB，CD交于M，N，即P在线段MN上运动的，则C△BPC＝BP+CP+BC＝BP+CP+6，当BP+CP有最小值时，则△BPC的周长有最小值，作B点关于MN的对称点B'，∴BM＝B'M＝3，B'P＝BP，∴BP+CP＝B'P+CP≥B'C，当B'，P，C三点共线时，BP+CP有最小值，即B'C的长，即△BPC的周长有最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，在Rt△BB'C中，B'B＝6，BC＝6，∴B'此时△BPC的周长=BP（3）如图，取AB的中点M，取AC的中点N，连接MN，∴MN是△ABC的中位线，过点P作PD∥AC，∴∠BAC＝∠BPD，又∵∠ABD＝∠PBD，∴△PBD∽△ABC，∴PBAB=PD∵BPAQ∴AQ＝PD，∵PD∥AC，∴四边形APDQ是平行四边形，连接AD，∵O是PQ的中点，且四边形APDQ是平行四边形，∴AO＝OD，∴O是AD的中点，过A点作AH⊥BC于点H，过点O作OE⊥BC于点E，∴∠AHD＝∠OED＝90°，∵∠ADH＝∠ODE，∴△ADH∽△ODE，∴OEAH∵AB＝120m，AC＝BC＝180m，∴AH为定值，∴OE为定值，则点O在△ABC的中位线MN上运动，作△BOC的外接圆⊙T，当且仅当⊙T与MN相切时，∠BOC的值最大，∠BO'C＝∠BFC＝∠BOC+∠OBF，故∠BO'C＝∠BFC＞∠BOC，如图，连接CM，作MK⊥BC于点K，O'L⊥BC于点L，连接O'T，LT，∵⊙T与MN相切于点O'，∴∠MO'T＝90°，∵O'L⊥BC于点L，∴∠BLO'＝90°，∵MN∥BC，∴∠MO'L＝90°．故O'，L，T三点共线，∴∠BLT＝180°﹣∠BLO'＝90°，则BC⊥LT，∴BL=∵BC＝AC＝180m，M是AB的中点，∴MB=12×AB∴cos∠即BK60∴BK＝20（m），∴MO'=∵点M是AB的中点M，O是AD的中点，∴MO是三角形ABD的中位线，∴BD＝2MO'＝140m，BP=∴AP=【点评】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

考点卡片1．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．2．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．5．单项式乘单项式运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．6．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．7．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．8．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．9．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．10．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．11．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x12．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|413．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2a②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x14．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-b2a时，（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-b2a时，（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．15．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．16．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．17．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．18．余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．19．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．20．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．21．全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．22．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．23．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．24．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．25．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．26．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．27．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．28．四边形综合题涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．29．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．30．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．31．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）