2025年广东省深圳市福田区中考数学三模试卷

第39页（共39页）2025年广东省深圳市福田区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）（2025•福田区三模）秦代小篆是汉字演变的重要形态，其笔画匀称端庄．下列四幅小篆的书法中，不是轴对称的图形是（）A． B． C． D．2．（3分）（2025•福田区三模）神舟二十号载人飞船于2025年4月24日（北京时间）在酒泉卫星发射中心成功发射，搭载长征二号F运载火箭．已知该火箭的总质量约为464000千克，将“464000”用科学记数法表示为（）A．46.4×104 B．4.64×105 C．4.64×106 D．4.64×1073．（3分）（2025•福田区三模）深圳是中国科技创新的核心城市，汇聚了“华为、腾讯、比亚迪、大疆创新”等知名科技企业．若从这4家企业中随机抽取1家，请问抽中“华为”的概率是（）A．14 B．12 C．34 4．（3分）（2025•福田区三模）下列运算错误的是（）A．a3•a2＝a5 B．（a3）2＝a6 C．a3÷a2＝a D．a6﹣a2＝a45．（3分）（2025•福田区三模）近年来，青少年近视问题日益突出，科学用眼成为社会关注焦点．某公司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）．如图所示，AB∥ED，经光学测试发现，当∠ABC＝130°，∠BCD＝120°时，光线效果最佳，求此时灯臂CD与底座DE的夹角∠CDE的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．115°6．（3分）（2025•福田区三模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（）A．89630-x-120=896C．120+896x=8967．（3分）（2025•福田区三模）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分△CEG）的面积是△ABC的面积的13，已知BC＝3，则△ABC平移的距离BEA．1 B．3 C．3 D．3-8．（3分）（2025•福田区三模）如图，坐标平面内，点A是抛物线y＝x2上异于点O的任一点，AO与抛物线y＝2x2的交点记为A′，现请你考查OAOA'这一比值，它是否会随着点A．改变；该比值会随x的增大而增大 B．改变；该比值会随|x|的增大而减小 C．不变；比值大小为2 D．不变；比值大小为2二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）（2019•攀枝花）分解因式：a2b﹣b＝．10．（3分）（2020•黔西南州）不等式组2x-6＜3x11．（3分）（2025•福田区三模）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作BC，AC，AB．三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若AB＝6，则阴影部分面积为12．（3分）（2025•福田区三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OC边与x轴重合，OA＝4，∠AOC＝60°，点M为菱形OABC的对称中心，反比例函数y=kx的图象经过点M，则k的值为13．（3分）（2025•福田区三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为边AB上一点，∠ACD＝∠ABC，E为CD延长线上一点，连接BE，且∠EBD＝2∠ACD，若tan∠ACD=1n(n＞1)，则三、解答题（本题共7小题，共61分）14．（7分）（2025•福田区三模）（1）解二元一次方程组：x-（2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：第1步，由x﹣y＝2，可设x＝1+m，﹣y＝1﹣m，即y＝m﹣1；第2步，将x＝1+m，y＝m﹣1代入2x+4y＝3中，得到；第3步，解得m＝；第4步，即可求出方程组的解．请你完成上面的填空．15．（7分）（2025•福田区三模）先化简，再代入求值：(1+1a+2)÷a16．（7分）（2025•福田区三模）为助力“城市文明典范”建设，深圳市文化广电旅游体育局计划从300名报名者中选拔“文化志愿者”，参与深圳图书馆、博物馆、非遗保护中心等机构的公共服务．现随机收集了30名报名者的面试成绩（百分制，取整数），并对这30个数据进行了整理，描述和分析．下面给出了部分信息：①30个数据的频数分布直方图如图（数据分5组：45≤x＜55，55≤x＜65，65≤x＜75，75≤x＜85，85≤x＜95）②30个数据在65x＜75这一组的是：656666676971727273737374根据以上信息，回答下列问题：（1）频数分布直方图中m的值是，这30个数据的中位数是；（2）若本次面试成绩在85≤x＜95之间的志愿者为“优秀文化志愿者”，则300名报名者中，“优秀文化志愿者”约为名；（3）将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前30%的报名者可以被录用为“文化志愿者”．若一名报名者的面试成绩为75分，判断他能否被录用，并说明理由．17．（9分）（2025•福田区三模）某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动．如图，在距离“春笋大厦”底部中心N点右侧有一个处观测点A，AN＝285米，在B处有一架测量无人机，观测点A到无人机B的距离AB=18525米，在点A处用测角仪测得无人机B的仰角为∠BAN，BC∥AN，且tan∠BAN=12，在点B处用无人机测得“春笋大厦”最高点M的仰角为∠MBC，且tan∠MBC＝3，点A（1）求点B到水平地面NA的距离；（2）求“春笋大厦”MN的高度．18．（9分）（2025•福田区三模）【综合与实践】新学期，同学们回校布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度AB＝1m，门轴A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被教室黑板墙EB阻挡，EB′⊥EA，门边BC靠在墙B′C′的位置．（1）门打开的最大角度∠BAB′＝；（2）教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧PR与墙EA的距离为0.5m，且该矩形课桌PIQR的边PI与教室前墙EB′平行，若要使得开关门不受阻挡，则PI与EB'的距离需大于多少？（结果保留根号）（3）如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后△AB′E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为35cm的圆柱形桶，能放的进吗？请说明理由．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，19．（10分）（2025•福田区三模）甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a≠0）的图象和性质，并交流了自己的学习成果．（1）甲同学的说法：当x＝0和x＝2时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由．（2）乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3．根据乙同学的发现，求出此时a的值．（3）丙同学的探索：若a＞0，当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出a的取值范围．20．（12分）（2025•福田区三模）如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），点E是线段CD上的一动点，连接BE．作点C关于BE的对称点F．连接CF并延长，交AD或AB于点G，过点A作AH⊥CG的延长线于点H．（1）若CF的延长线交AD于点G时，求证：∠BFH＝∠BAH；（2）连接BD交CH于点I，且AB＝4，AD＝3．①若CF的延长线交AD于点G时，如图2，若CE=14②在E点的运动过程中，GHCG是否存在最大值？若存在，请求出GH

2025年广东省深圳市福田区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BB．ADCBDC一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）（2025•福田区三模）秦代小篆是汉字演变的重要形态，其笔画匀称端庄．下列四幅小篆的书法中，不是轴对称的图形是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】B【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．【解答】解：A，C，D是轴对称的图形，B不是轴对称的图形，故选：B．【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．2．（3分）（2025•福田区三模）神舟二十号载人飞船于2025年4月24日（北京时间）在酒泉卫星发射中心成功发射，搭载长征二号F运载火箭．已知该火箭的总质量约为464000千克，将“464000”用科学记数法表示为（）A．46.4×104 B．4.64×105 C．4.64×106 D．4.64×107【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】B．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：464000＝4.64×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2025•福田区三模）深圳是中国科技创新的核心城市，汇聚了“华为、腾讯、比亚迪、大疆创新”等知名科技企业．若从这4家企业中随机抽取1家，请问抽中“华为”的概率是（）A．14 B．12 C．34 【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】A【分析】直接根据概率公式求解即可．【解答】解：若从这4家企业中随机抽取1家，抽中“华为”的概率为14故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．4．（3分）（2025•福田区三模）下列运算错误的是（）A．a3•a2＝a5 B．（a3）2＝a6 C．a3÷a2＝a D．a6﹣a2＝a4【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项法则分别计算判断即可．【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项不符合题意；B、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；C、a3÷a2＝a，故此选项不符合题意；D、a6与﹣a2不能合并，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．（3分）（2025•福田区三模）近年来，青少年近视问题日益突出，科学用眼成为社会关注焦点．某公司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）．如图所示，AB∥ED，经光学测试发现，当∠ABC＝130°，∠BCD＝120°时，光线效果最佳，求此时灯臂CD与底座DE的夹角∠CDE的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．115°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】过C作CK∥AB，得到CK∥DE，推出∠BCK+∠ABC＝180°，∠DCK+∠CDE＝180°，即可求解．【解答】解：过C作CK∥AB，∵AB∥ED，∴CK∥AB∥ED，∴∠BCK+∠ABC＝180°，∠DCK+∠CDE＝180°，∵∠ABC＝130°，∠BCD＝120°，∵∠BCK＝50°，∠DCK＝120°﹣50°＝70°，∴∠CDE＝110°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，关键是过C作CK∥AB，得到CK∥AB∥ED，由平行线的性质来解决问题．6．（3分）（2025•福田区三模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（）A．89630-x-120=896C．120+896x=896【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】等量关系式：绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文，据此列方程，即可求解．【解答】解：由绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文得方程为：896x故选：B．【点评】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．7．（3分）（2025•福田区三模）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分△CEG）的面积是△ABC的面积的13，已知BC＝3，则△ABC平移的距离BEA．1 B．3 C．3 D．3-【考点】三角形的面积；平移的性质．【专题】三角形；平移、旋转与对称；运算能力．【答案】D【分析】根据平移的性质、相似三角形的判定与性质计算即可．【解答】解：由平移的性质，得AB∥DE，∴△GEC∽△ABC，∴（ECBC）2=∴ECBC∴EC=33BC∴BE＝BC﹣EC＝3-3故选：D．【点评】本题考查三角形的面积、平移的性质，掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．8．（3分）（2025•福田区三模）如图，坐标平面内，点A是抛物线y＝x2上异于点O的任一点，AO与抛物线y＝2x2的交点记为A′，现请你考查OAOA'这一比值，它是否会随着点A．改变；该比值会随x的增大而增大 B．改变；该比值会随|x|的增大而减小 C．不变；比值大小为2 D．不变；比值大小为2【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．【答案】C【分析】假设A点坐标，写出直线OA的解析式，代入另一个抛物线，求得A′坐标，从而可以求得OAOA【解答】解：设A（a，a2），∴直线OA的解析式为：y＝ax，代入抛物线y＝2x2，ax＝2x2，∴x＝0或a2∴A′（a2，a∴A′是OA的中点，∴OAOA'即比值不变，恒为2．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，题目较为简单．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）（2019•攀枝花）分解因式：a2b﹣b＝b（a+1）（a﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】整式．【答案】见试题解答内容【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a2b﹣b＝b（a2﹣1）＝b（a+1）（a﹣1）．故答案为：b（a+1）（a﹣1）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．10．（3分）（2020•黔西南州）不等式组2x-6＜3x，x+2【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可．【解答】解：2x解①得：x＞﹣6，解②得：x≤13，不等式组的解集为：﹣6＜x≤13，故答案为：﹣6＜x≤13．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．11．（3分）（2025•福田区三模）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作BC，AC，AB．三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若AB＝6，则阴影部分面积为6π﹣93【考点】作图—复杂作图；等边三角形的性质；扇形面积的计算．【专题】作图题；几何直观；运算能力．【答案】6π﹣93．【分析】阴影部分的面积＝扇形ABC的面积﹣△ABC的面积．【解答】解：阴影部分的面积=60π×62360-34故答案为：6π﹣93．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握分割法求阴影部分面积．12．（3分）（2025•福田区三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OC边与x轴重合，OA＝4，∠AOC＝60°，点M为菱形OABC的对称中心，反比例函数y=kx的图象经过点M，则k的值为33【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；中心对称．【专题】反比例函数及其应用；矩形菱形正方形；运算能力．【答案】33．【分析】根据菱形的性质得出OC＝OA＝4，M是AC的中点，解直角三角形求得A的坐标，进而求得M的坐标，由反比例函数y=kx的图象经过点M【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，∵OA＝4，∵四边形ABCO是菱形，∴OC＝OA＝4，M是AC的中点，∵∠AOC＝60°，∴OD=12OA=2，AD=3∴A（2，23），∴M（3，3），∵反比例函数y=kx的图象∴k＝33．故答案为：33．【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形求出M的坐标是解此题的关键．13．（3分）（2025•福田区三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为边AB上一点，∠ACD＝∠ABC，E为CD延长线上一点，连接BE，且∠EBD＝2∠ACD，若tan∠ACD=1n(n＞1)，则【考点】解直角三角形．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】2n【分析】作BF⊥EC，作AN⊥EC，交BC于N，交EC于M，设DM＝x，根据锐角三角函数可求出AM＝nx，MC＝n2x，证明BN＝CN，表示出FD，根据∠EBD＝2∠ACD，而∠FBD＝∠ACD，得到BD＝BE，然后表示ED＝2DF，进而求出EDCD【解答】解：作BF⊥EC于F，作AN⊥EC交BC于N，交EC于M；设DM＝x，∵∠ACD+∠CAM＝∠CAM+∠MAD＝90°，∴∠ACD＝∠MAD，∴tan∠ACD＝tan∠MAD，即：AMMC∴AM＝nx，AM2＝DM•MC，即n2x2＝x•MC，∴MC＝n2x，∵∠ACD＝∠MAD，∠ACD＝∠ABC，∴∠MAD＝∠ABC，∴BN＝AN，又∵∠CAN+∠NAB＝∠ACB+∠ABC，∴∠CAN＝∠ACB，∴CN＝AN，∴BN＝CN，∴N为BC中点，又∵BF⊥EC，AN⊥EC，∴BF∥AN，在Rt△BCF中，NM为中位线，∴MF＝MC，∴MF＝n2x，∴FD＝（n2﹣1）x，∵∠EBD＝2∠ACD，而∠ACD＝∠DAM，∴∠EBD＝2∠DAM，由BF∥AM可得，∠DAM＝∠FBD，∴∠EBD＝2∠FBD，∴BF为∠EBD的角平分线，又∵BF⊥ED，∴BF为△EBD的中线，BE＝BD，∴ED＝2DF＝2（n2﹣1）x，∴EDCD【点评】本题主要考查了解直角三角形、中位线性质定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．三、解答题（本题共7小题，共61分）14．（7分）（2025•福田区三模）（1）解二元一次方程组：x-（2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：第1步，由x﹣y＝2，可设x＝1+m，﹣y＝1﹣m，即y＝m﹣1；第2步，将x＝1+m，y＝m﹣1代入2x+4y＝3中，得到2（1+m）+4（m﹣1）＝3；第3步，解得m＝56第4步，即可求出方程组的解．请你完成上面的填空．【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解一元一次方程；二元一次方程的解．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】（1）x=116y=-16；（2）2（1+m）+4（m【分析】（1）用加减消元法，②﹣①×2求出y=-16，将y=-16（2）x＝1+m，y＝m﹣1代入2x+4y＝3中，得到2（1+m）+4（m﹣1）＝3，按照解一元一次方程的方法求出m．【解答】解：（1）x-①×2得：2x﹣2y＝4③，②﹣③得：6y＝﹣1，y=-将y=-16代入①得：方程组的解是：x=（2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：第1步，由x﹣y＝2，可设x＝1+m，﹣y＝1﹣m，即y＝m﹣1；第2步，将x＝1+m，y＝m﹣1代入2x+4y＝3中，得到2（1+m）+4（m﹣1）＝3；第3步，解得m=5第4步，即可求出方程组的解．故答案为：2（1+m）+4（m﹣1）＝3；56【点评】本题考查了题二元一次方程组的解、解一元一次方程、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是按照加减消元法解方程组．15．（7分）（2025•福田区三模）先化简，再代入求值：(1+1a+2)÷a【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】a+2a-【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式=a+2a【解答】解：原式=a+2+1=a+3a=a当a＝1时，原式=1+2【点评】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．16．（7分）（2025•福田区三模）为助力“城市文明典范”建设，深圳市文化广电旅游体育局计划从300名报名者中选拔“文化志愿者”，参与深圳图书馆、博物馆、非遗保护中心等机构的公共服务．现随机收集了30名报名者的面试成绩（百分制，取整数），并对这30个数据进行了整理，描述和分析．下面给出了部分信息：①30个数据的频数分布直方图如图（数据分5组：45≤x＜55，55≤x＜65，65≤x＜75，75≤x＜85，85≤x＜95）②30个数据在65x＜75这一组的是：656666676971727273737374根据以上信息，回答下列问题：（1）频数分布直方图中m的值是6，这30个数据的中位数是70；（2）若本次面试成绩在85≤x＜95之间的志愿者为“优秀文化志愿者”，则300名报名者中，“优秀文化志愿者”约为20名；（3）将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前30%的报名者可以被录用为“文化志愿者”．若一名报名者的面试成绩为75分，判断他能否被录用，并说明理由．【考点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本估计总体．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】（1）6，70；（2）20；（3）面试成绩为75分的面试者一定被录用为“文化志愿者”．【分析】（1）根据频数之和等于样本容量即可求出m的值，再根据中位数的定义求出这30名学生面试成绩的中位数即可；（2）用300乘以样本中成绩在85≤x＜95之间的志愿者人数所占比例即可；（3）计算样本的30%的人数，确定第9名的成绩，再进行判断即可．【解答】解：（1）m＝30﹣12﹣8﹣2﹣2＝6，将这30名学生的面试成绩从小到大排列，处在第15、第16位的两个数的平均数为69+712=70故答案为：6，70；（2）300×230答：300名报名者中，“优秀文化志愿者”约为20名．故答案为：20；（3）30×30%＝9（人），将这30名学生的面试成绩从大到小排列，处在第9位的数据为74分，而75＞74，所以面试成绩为75分的面试者一定被录用为“文化志愿者”．【点评】本题考查频数分布直方图，用样本估计总体以及中位数，正确理解直方图得到相关信息是解题的关键．17．（9分）（2025•福田区三模）某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动．如图，在距离“春笋大厦”底部中心N点右侧有一个处观测点A，AN＝285米，在B处有一架测量无人机，观测点A到无人机B的距离AB=18525米，在点A处用测角仪测得无人机B的仰角为∠BAN，BC∥AN，且tan∠BAN=12，在点B处用无人机测得“春笋大厦”最高点M的仰角为∠MBC，且tan∠MBC＝3，点A（1）求点B到水平地面NA的距离；（2）求“春笋大厦”MN的高度．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）点B到水平地面NA的距离为1852（2）“春笋大厦”MN的高度为392.5米．【分析】（1）过点B作BD⊥AN，垂足为D，根据题意可得：BD＝CN，BC＝ND，然后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义可设BD＝x米，则AD＝2x米，从而利用勾股定理进行计算即可解答；（2）利用（1）的结论可得BC＝ND＝100米，然后在Rt△BCM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点B作BD⊥AN，垂足为D，由题意得：BD＝CN，BC＝ND，在Rt△ADB中，tan∠∴BDAD∴设BD＝x米，则AD＝2x米，∴AB=BD∵AB=∴5x=185解得：x=185∴BD＝CN=1852米，AD＝∴点B到水平地面NA的距离为1852（2）∵AN＝285米，AD＝185米，∴BC＝ND＝AN﹣AD＝285﹣185＝100（米），在Rt△BCM中，tan∠MBC＝3，∴MC＝BC•tan∠MBC＝300（米），∴MN＝MC+CN＝392.5（米），∴“春笋大厦”MN的高度为392.5米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18．（9分）（2025•福田区三模）【综合与实践】新学期，同学们回校布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度AB＝1m，门轴A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被教室黑板墙EB阻挡，EB′⊥EA，门边BC靠在墙B′C′的位置．（1）门打开的最大角度∠BAB′＝120°；（2）教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧PR与墙EA的距离为0.5m，且该矩形课桌PIQR的边PI与教室前墙EB′平行，若要使得开关门不受阻挡，则PI与EB'的距离需大于多少？（结果保留根号）（3）如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后△AB′E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为35cm的圆柱形桶，能放的进吗？请说明理由．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，【考点】解直角三角形的应用．【专题】数形结合；解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】（1）120°；（2）PI与EB'的距离需大于3+12（3）能放进直径为35cm的圆柱形桶．【分析】（1）易得AB′＝1m，进而可得∠EAB′的余弦值，即可求得∠EAB′的度数，则可以求得∠BAB′的度数；（2）作PM⊥AB于点M，连接AP，求得AM的长度，加上AE的长度，即可求得点P到EB'的距离，进而可得开关门不受阻挡，PI与EB'的距离范围；（3）求得直角三角形内切圆的半径，进而可得内切圆的直径，和圆桶的直径比较即可得到能否放进去．【解答】解：（1）∵EB′⊥EA，∴∠AEB′＝90°，∵AB＝1m，∴AB′＝1m，∵AE＝0.5m，∴cos∠EAB′=0.5∴∠EAB′＝60°，∴∠BAB′＝120°，故答案为：120°；（2）在图2中作PM⊥AB于点M，连接AP，则PM＝0.5m，∠AMP＝90°，由题意得：AP＝AB＝1m，∴AM=12∵AE＝0.5m，∴EM＝0.5+32=∴PI与EB'的距离需大于3+12（3）能放进直径为35cm的圆柱形桶．理由如下：如图3，设圆心为O，△AB′E内切圆半径为rm，连接切点OX，OY，OZ，则四边形EYQX为正方形，∴EX＝EY＝rm，∴AX＝AZ＝（0.5﹣r）m，B′Z＝B′Y，∵AE＝0.5m，AB′＝1m，∠E＝90°，∴EB′=12∴B′Y＝B′Z＝（32-r）∵AB＝1m，∴AZ+B′Z＝1，∴0.5﹣r+32-r解得：r=3∴2r=3-12≈0.366m＝36.6∴能放进直径为35cm的圆柱形桶．【点评】本题考查解直角三角形的应用．用到的知识点为：直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，则内切圆的半径=a19．（10分）（2025•福田区三模）甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a≠0）的图象和性质，并交流了自己的学习成果．（1）甲同学的说法：当x＝0和x＝2时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由．（2）乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3．根据乙同学的发现，求出此时a的值．（3）丙同学的探索：若a＞0，当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题；二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）正确，理由见解答；（2）a=8（3）34＜a【分析】（1）根据函数的对称性即可求解；（2）a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，则这三个点有一个是顶点，进而求解；（3）当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值，则y＝﹣1，0，1，2，当x＝3时，y＝4a﹣1，则2＜4a﹣1≤3，即可求解．【解答】解：（1）正确，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，则x＝0和x＝2关于抛物线的对称轴对称，故函数值相同；（2）a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，则这三个点有一个是顶点，则到x轴的距离和为2，由抛物线的表达式知，其顶点为（1，﹣1），令y＝ax2﹣2ax+a﹣1＝1，则x＝1±2a，则两个点之间的距离为22则3=12×（22a）则a=8（3）当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值，则y＝﹣1，0，1，2，当x＝0时，y＝a﹣1，当x＝3时，y＝4a﹣1，则2＜4a﹣1≤3，则34＜a【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到面积的计算、函数的图象和性质等，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．20．（12分）（2025•福田区三模）如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），点E是线段CD上的一动点，连接BE．作点C关于BE的对称点F．连接CF并延长，交AD或AB于点G，过点A作AH⊥CG的延长线于点H．（1）若CF的延长线交AD于点G时，求证：∠BFH＝∠BAH；（2）连接BD交CH于点I，且AB＝4，AD＝3．①若CF的延长线交AD于点G时，如图2，若CE=14②在E点的运动过程中，GHCG是否存在最大值？若存在，请求出GH【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）①CI=12②GHCG有最大值为7【分析】（1）根据轴对称可得：∠BCF＝∠BFC，根据矩形的性质和四边形的内角和定理即可解答；（2）①如图2，设BE，CF交于点O，证明△BCE∽△CDG，△BIC∽△DIG，列比例式即可解答；②连接AC，BD交于点M，先由勾股定理可得AC＝5，由圆周角定理可得点H是以M为圆心，AM为半径的AD上，分两种情况：i）若点G在线段AD上，如图3，过点H作HQ⊥AB，ii）若点G在线段AB上，如图4，过点H作HQ⊥AB，证明△HQG∽△CBG，即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵点C关于BE的对称点为点F，∴∠BCF＝∠BFC，∵AH⊥CG，∴∠H＝90°，∴∠BCF+∠BAH＝180°，∠BFC+∠BFH＝180°，∴∠BAH＝∠BFH；（2）解：①如图2，设BE，CF交于点O，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCE＝∠CDG＝90°，BC∥DG，∵∠CBO+∠BCO＝90°，∠BCO+∠OCE＝90°，∴∠CBO＝∠OCE，∴△BCE∽△CDG，∴CEBC∵CE=14CD，AB＝∴CE＝1，∴13∴DG=∵BC∥DG，∴△BIC∽△DIG，∴DGBC在Rt△CDG中，由勾股定理得：CG2＝CD2+DG2，∴CG=C∴CI=9②连接AC，BD交于点M，由勾股定理得：AC=32∵四边形ABCD是矩形，∴AM＝CM，∵∠AHC＝90°，∴MH=12AC=52，点H是以M为圆心，分两种情况：i）若点G在线段AD上，如图3，过点H作HQ⊥AB，∴QH∥CD，∴△QHG∽△DCG，∴HQCD∵CD为定值，点H是以M为圆心，AM为半径的圆弧AD，∴HQ有最大值为52-2∴HQCD有最大值为1∴若点G在线段AD上，GHCG有最大值为1ii）若点G在线段AB上，如图4，过点H作HQ⊥AB，∵QH∥BC，∴△HQG∽△CBG，∴HQBC∵BC是定值，点H是以M为圆心，AM为半径的AH，∴当E点运动到D点时，HQ有最大值，此时，HB＝BC＝3，且△BCI≌△BHI，∴∠BIC＝∠BIH＝90°，∵∠CBG＝∠AHG＝90°，∠BGC＝∠AGH∴∠HAG＝∠BCG，∴tan∠设HQ＝3x，AQ＝4x，则BQ＝4﹣4x，BH＝BC＝3，在Rt△BHQ中，由勾股定理得：BQ2+HQ2＝BH2，即（4﹣4x）2+（3x）2＝32，解得：x=725，x∴HQ=3∴若点G在线段AB上，GHCG有最大值为21综上所述，GHCG有最大值为7【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角函数等知识，熟练掌握圆周角定理确定点H的运动轨迹是解题的关键．

考点卡片1．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．2．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．3．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．4．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．5．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．6．提公因式法与公式法的综合运用先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．7．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．8．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．9．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．10．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．11．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=12．由实际问题抽象出分式方程由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．13．解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．15．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|416．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x17．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．18．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．19．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．20．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．21．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．22．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、23．四边形综合题涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．24．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两