专题03 不等式（3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（解析版）

专题03不等式

易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）

1．比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与0比较与1比较

aa

abab01(a，b0)或1(a，b0)

bb

a

abab01(b0)

b

aa

abab01(a，b0)或1(a，b0)

bb

2．．等式的性质

（1）基本性质

性质性质内容

对称性abba；abba

传递性ab，bcac；ab，bcac

可加性abacbc

可乘性ab，c0acbc；ab，c0acbc

同向ac，cdacbd

可加性

同向同正ab0，cd0acbd

可乘性

可乘方性ab0，nN*anbn

类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是

在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．

类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的

单调性．

比较法又分为作差比较法和作商比较法．

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大

小．

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式

乘积的形式，也可考虑使用作商法．

易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前

提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．

(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后

者一般是解不等式的理论基础．

11

例．“0ab”是“”的（）

ab

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

11

【详解】由0ab，则成立，充分性成立；

ab

11

由，若a1,b1，显然0ab不成立，必要性不成立；

ab

11

所以“0ab”是“”的充分不必要条件.

ab

故选：A

变式1．已知ab0，则下列关系式正确的是（）

cc

A．若c0，则acbcB．若c0，则

ab

C．若c0且c1，则cacbD．若c0，则acbc

【答案】A

【详解】A选项，因为c0，故yxc在0,上单调递增，

因为ab0，所以acbc，A正确；

11cc

B选项，因为ab0，所以0，因为c0，所以，B错误；

abab

C选项，若0c1，则ycx在R上单调递减，

因为ab0，所以cacb，C错误；

D选项，因为ab0，所以ab，

因为c0，则c0，故acbc，D错误.

故选：A

变式2．对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（）

11

A．若ab，则ac2>bc2B．若a>b>0，则>

ab

ab11

C．若a<b<0，则<D．若ab，>，则ab<0

baab

【答案】D

【详解】解：对于A：c=0时，不成立，A错误；

11

对于B：若a>b>0，则<，B错误；

ab

对于C：令a2,b=-1，代入不成立，C错误；

11

对于D：若ab，>，则a0，b0，则ab<0，D正确；

ab

故选：D．

变式3．已知a,b,x均为实数，下列不等式恒成立的是（）

A．若ab，则a2024b2024

20242024

B．若ab，则

ab

C．若ax2024bx2024，则ab

D．若ab，则ax2024bx2024

【答案】C

【详解】A，当a2,b1时，(2)202412024，A错误；

2024

B，当a0时，没意义，B错误；

a

C，由ax2024bx2024，知x20240，所以ab，C正确；

D，当x0时，ax2024bx2024不成立，D错误.

故选：C

1．已知实数a，b，c，若ab，则下列不等式成立的是（）

1133

A．B．a1b1

ab

ab

C．D．ac2bc2

c22c22

【答案】C

11

【详解】选项A：因为ab，取a1,b1，则，故A错误；

ab

选项B：因为a31b31a3b3ab，

与已知条件矛盾，故B不正确；

1

选项C：因为c2200

c22

ab

所以ab，故C正确；

c22c22

选项D：当c=0时，ac2bc2，故D不正确；

故选：C.

2．若ba0，则下列结论不正确的是（）

112

A．B．aba

ab

C．3a3bD．abab

【答案】D

ba11

【详解】对于A，因为ba0，所以ab0，所以，即，所以A正确，

ababab

对于B，因为ba0，所以aba2，所以B正确，

对于C，因为y3x在R上递增，ba0，所以3a3b，所以C正确，

对于D，若b2,a1，则ab3,ab33，则abab，所以D错误，

故选：D

3．已知ab，cd，则下列不等式一定成立的是（）

A．acbdB．aecbed

C．eaecebedD．alncdblncd

【答案】C

【详解】对于A，令a2,b1,c2,d3，显然有ab，cd，而ac43bd，A错误；

对于B，由cd，知eced，令aed,bec，显然有ab，而aececdbed，B错误；

对于C，由ab，cd，得eaeb>0,eced0，因此eaecebed，C正确；

对于D，若ab，令c2,d1，有cd，而alncd0blncd，D错误.

故选：C

11

4．若0​，则下列不等式中正确的是（）

ab

ba

A．ab​B．ab​C．abab​D．2​

ab

【答案】D

11

【详解】因为0，所以a0,b0，则ab0.

ab

abab

所以0即ba0，AB错误.

ab

因为ba0，所以ab0,ab0，则abab，​C错误.

ba

因为ba0，所以0,0

ab

baba

则22，​D正确.

abab

故选：D

5．若a、b、cR，且ab，则下列不等式一定成立的是（）

2

2c

A．acbcB．abc0C．acbcD．0

ab

【答案】B

【详解】因为a、b、cR，且ab，则ab0，c20，

由不等式的基本性质可得acbc，A错；abc20，B对；

c2

当c0时，acbc，C错；0，D错.

ab

故选：B.

6．下列命题中正确的是（）

ab

A．若ab，则ac2bc2B．若ab，cd，则

cd

11

C．若ab，cd，则acbdD．若ab0，ab，则

ab

【答案】D

【详解】A选项，当c=0时，ac2bc2，故A错误；

a1bab

B选项，当a1，b0，c2，d1时，,0，，故B错误；

c2dcd

C选项，当a1，b0，c1，d0时，acbd，故C错误；

11ba11

D选项，若ab0，ab，则0，即，故D正确．

ababab

故选：D.

7．设xR，则“x1”是“xx”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由xx，可得x0，

则x1是x0的必要不充分条件.

故选：B

8．已知a，bR，p：ab，q：a2b2ab，则p是q的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】解：因为a，bR，q：a2b2ab

即a22abb20，即（ab)20，则a¹b，

而p：ab，

所以，p是q的充分不必要条件，

故选：A.

9．下列四个选项能推出11的有（）

ab

A．b0aB．a0b

C．0abD．ab0

【答案】ACD

11ba

【详解】0ab(ab)0，

abab

对于A，当b0a时，ab0,ab0，所以ab(ab)0，所以A正确，

对于B，当a0b时，ab0,ab0，所以ab(ab)0，所以B错误，

对于C，当0ab时，ab0,ab0，所以ab(ab)0，所以C正确，

对于D，当ab0时，ab0,ab0，所以ab(ab)0，所以D正确，

故选：ACD.

10．已知ab1,ab1，则（）

A．2a2bB．a2bab2ab

C．ab>3D．a2b26

【答案】BCD

【详解】因为ab，所以2a2b，故2a2b，故A错误；

a2bab2ababab，故B正确；

abababab2b13，故C正确；

a2b2abab326，故D正确.

故选：BCD．

11．已知实数a，b满足0ab，则下列不等式一定正确的是（）

A．2ab1B．tanatanb

aa1

C．D．blnaalnb

bb1

【答案】AC

【详解】选项A，由0ab得ab0，∴2ab1，故A正确；

π3π

选项B，取a，b，可得tana1，tanb1，不满足tanatanb，故B错误；

44

aa1ab1ba1ab

选项C，，

bb1bb1bb1

ab

∵0ab，所以ab0,b10，故0，

bb1

aa1

∴，故C正确；

bb1

lnx1lnx

选项D，设函数fx，x0，则fx，

xx2

当xe,时，fx0，fx单调递减，

lnalnb

故eab时，fafb，即，故blnaalnb，故D错误.

ab

故选：AC

易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解

集问题）

解一元二次不等式的步骤：

第一步：将二次项系数化为正数；

第二步：解相应的一元二次方程；

第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；

第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出

错；③结果未按要求写成集合．

对含参的不等式，应对参数进行分类讨论

具体模型解题方案：

1、已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(m，n)（其中mn0），解关于x的不等式

cx2bxa0．

12111

由ax2bxc0的解集为(m，n)，得:a()bc0的解集为(，)，即关于x的不等式

xxnm

11

cx2bxa0的解集为(，)．

nm

已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2bxa0．

12111

由ax2bxc0的解集为(m，n)，得:a()bc0的解集为(，][，)即关于x的不等

xxnm

11

式cx2bxa0的解集为(，][，)．

nm

2、已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(m，n)（其中nm0），解关于x的不等式

cx2bxa0．

12111

由ax2bxc0的解集为(m，n)，得:a()bc0的解集为(，)即关于x的不等式

xxmn

11

cx2bxa0的解集为(，)．

mn

3．已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2bxa0．

12111

由ax2bxc0的解集为(m，n)，得:a()bc0的解集为(，][，)即关于x的

xxmn

11

不等式cx2bxa0的解集为(，][，)，以此类推．

mn

a0

4、已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为R，则一定满足；

0

a0

5、已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为，则一定满足；

0

a0

6、已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为R，则一定满足；

0

a0

7、已知关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集为，则一定满足．

0

易错提醒：一元二次不等式

222

一元二次不等式axbxc0(a0)，其中b4ac，x1,x2是方程axbxc0(a0)的

两个根，且x1x2

（1）当a0时，二次函数图象开口向上．

或

（2）①若0，解集为x|xx2xx1．

b

②若0，解集为x|xR且x．③若0，解集为R．

2a

(2)当a0时，二次函数图象开口向下．

①若0，解集为x|x1xx2②若0，解集为。

例．若对于任意实数x，不等式a1x22a1x40恒成立，则实数a可能是（）

A．2B．0C．4D．1

【答案】ABD

【详解】当a1时，不等式为4<0恒成立，故满足题意；

a10

当a1时，要满足，

Δ0

2

而4a116a14a1a3，

所以解得3a1；

综上，实数a的取值范围是3,1；

所以对比选项得，实数a可能是2，0，1.故选：ABD.

变式1．已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为,23,，则下列选项中正确的是（）

A．a<0B．不等式bxc0的解集是x|x6

11

C．abc0D．不等式cx2bxa0的解集为(,)(,)

32

【答案】BD

【详解】不等式ax2bxc0的解集为,23,，则2,3是方程ax2bxc0的根，且a0，

bc

则1,6,a0，即ba,c6a,a0，A错误；

aa

不等式bxc0化为ax6a0，解得x6，即不等式bxc0的解集是x|x6，B正确；

abc6a0，C错误；

11

不等式cx2bxa0化为6ax2axa0，即6x2x10，解得x或x，

32

11

所以不等式cx2bxa0的解集为(,)(,)，D正确.

32

故选：BD

变式2．已知命题p：关于x的不等式x22axa0的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是（）

12

A．1aB．a0

23

C．1a0D．a1

【答案】CD

【详解】命题p：关于x的不等式x22axa0的解集为R，

则4a24a0，解得1a0

又1,01,0，1,01,，

故选：CD．

变式3．下列叙述不正确的是（）

11

A．2的解是x

x2

B．“0m4”是“mx2mx10”的充要条件

C．已知xR，则“x0”是“x11”的必要不充分条件

3

D．函数fxx2的最小值是232

x22

【答案】AD

11

【详解】选项A：2的解是x或x0，故A不正确；

x2

m0

222

选项B：由ymxmx1得m4m，mxmx10恒成立则2或m0，解得0m4，

m4m0

所以“0m4”是“mx2mx10”的充要条件，故B正确；

选项C：由x11得1x11，解得0x2，所以“x0”是“x11”的必要不充分条件，故C正确；

3

选项：由均值不等式得2323，当且仅当2时等号成立，此

Dx22x223x22

x22x22x2

3

时x无实数解，所以fxx2的最小值大于232，故D不正确；故选：AD

x22

1．已知ax2bxc0的解集是2,3，则下列说法正确的是（）

11

A．不等式cx2bxa0的解集是,

23

128

B．b的最小值是

3b43

2b4

C．若mm有解，则m的取值范围是m1或m>2

b3

2

D．当c2时，fx3ax6bx，xn1,n2的值域是3,1，则n2n1的取值范围是2,4

【答案】ABD

【详解】因ax2bxc0的解集是2,3，则2,3是关于x的方程ax2bxc0的二根，且a<0，

bc

于是得1,6，即ba,c6a,a0，

aa

11

对于A，不等式cx2bxa0化为：6x2x10，解得x，A正确；

23

12121412148

对于B，b0，b(3b4)2(3b4)，

3b43b4333b4333

1212

当且仅当(3b4)，即b时取“=”，B正确；

3b433

b41

对于C，b0，令b3t3，则t在t(3,)上单调递增，

b3t

b442b42411161116

即有，因mm有解，则mm，解得m1或m1，C

b33b33223223

不正确；

1

对于D，当c2时，ba，则f(x)3ax26bxx22x(x1)21，f(x)f(1)1，

3max

依题意，n11n2，由f(x)3得，x=1或x3，因f(x)在n1,n2上的最小值为-3，

从而得n11,1n23或1n11,n23，因此2n2n14，D正确.

故选：ABD

2．已知集合A{x|x2，或x2}，B{x|x22x30}，则AB（）

A．(,1](2,)B．(,1](2,)

C．(,2)[1,)D．(,2)[3,)

【答案】A

【详解】由B{x|x22x3(x1)(x3)0}{x|x1或x3}，

所以AB(,1](2,)．

故选：A

3．已知集合Mxx23x20，Nx3x11，则MN（）

A．x0x2B．x1x3

C．xx2D．xx3

【答案】C

【详解】由x23x20，解得1x2，所以Mx1x2，

因为3x1130，得x10，所以Nxx1，

故MNxx2.

故选:C．

4．已知函数fxx2axb，若不等式fx2在x1,5上恒成立，则满足要求的有序数对(a,b)有（）

A．0个B．1个C．2个D．无数个

【答案】B

【详解】由题意若不等式fx2在x1,5上恒成立，

2f1221ab2,1

则必须满足2f32，即293ab2,2，

2f522255ab2,3

21ab2,1

由，两式相加得482a46a2,4，

293ab2,2

293ab2,2

再由，两式相加得4162a410a6,5，

2255ab2,3

25b2,1

结合（4），（5）两式可知a6，代入不等式组得29b2,2，

25b2,3

解得b7，

2

经检验，当a6，b7时，fxx26x7x32，

有fxf1f52，fxf32，满足fx2在x1,5上恒成立，

maxmin

综上所述：满足要求的有序数对(a,b)为：6,7，共一个.

故选：B.

5．设集合Axx1x40，Bx2xa0，且ABx1x3，则a（）

A．6B．4C．4D．6

【答案】D

a

【详解】Ax1x4，Bxx，

2

a

∵ABx1x3，∴3，∴a6，

2

故选：D.

y

6．若两个正实数x，y满足4xy2xy，且不等式xm2m有解，则实数m的取值范围是（）

4

A．1m2B．m2或m1

C．2m1D．m1或m>2

【答案】D

4xy12

【详解】根据题意，两个正实数x，y满足4xy2xy，变形可得1，即1，

2xy2xy2xy

yy12y2xy2x

则xx1122，

442xy8xy8xy

y

当且仅当4xy4时等号成立，则x的最小值为2，

4

y

若不等式xm2m有解，则m2m2，可得m1或m>2，

4

即实数m的取值范围是,12,．

故选：D．

7．“不等式ax22ax10恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A．1a0B．a0C．1a0D．1a0

【答案】D

【详解】当a0时，10恒成立，

a0

当a0时，则2，解得1a0，

4a4a0

综上所述，不等式ax22ax10恒成立时，1a0，

所以选项中“不等式ax22ax10恒成立”的一个充分不必要条件是1a0.

故选：D.

8．已知当x0时，不等式：x2mx160恒成立，则实数m的取值范围是（）

A．8,8B．,8C．,8D．8,

【答案】C

16

【详解】当x0时，由x2mx160得mx，

x

161616

因x0，故x2x8，当且仅当x即x4时等号成立，

xxx

16

因当x0时，mx恒成立，得m8，

x

故选：C

9．已知集合Axa2ax2,xZ中恰有两个元素，则a的取值范围为（）

A．0,1B．0,1C．1,2D．1,2

【答案】B

2

【详解】由集合Axaax2,xZ中恰有两个元素，得1a2a0，

解得a0,1．

故选：B．

10．不等式x24x210的解集为（）

A．,73,B．7,3

C．,37,D．3,7

【答案】B

2

【详解】易知方程x4x210可化为x7x30，方程的两根为x17,x23；

所以不等式x24x210的解集为7,3.

故选：B．

11．若不等式2x2bxc0的解集是(0,4)，函数f(x)2x2bxc的对称轴是（）

53

A．x2B．x4C．xD．x

22

【答案】A

【详解】解：∵不等式2x2bxc0的解集是(0,4)，

∴x0和x4是方程2x2bxc0的两个根，

b

∴04，∴b-8，

2

b

∴函数f(x)2x2bxc的对称轴是x2．

4

故选：A．

易错点三：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性（基本不等式最值问

题）

1.几个重要的不等式

（1）a20aR,a0a0,a0aR.

ab

（2）基本不等式：如果a,bR，则ab(当且仅当“ab”时取“”).

2

1ab

特例：a0,a2;2（a,b同号）.

aba

（3）其他变形：

2

ab

①a2b2(沟通两和ab与两平方和a2b2的不等关系式)

2

a2b2

②ab(沟通两积ab与两平方和a2b2的不等关系式)

2

2

ab

③ab(沟通两积ab与两和ab的不等关系式)

2

2aba2b2

aba,bR

④重要不等式串：11即

22

ab

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).

2.均值定理

已知x,yR.

22

xyS

（1）如果xyS(定值)，则xy(当且仅当“xy”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.

24

（2）如果xyP(定值)，则xy2xy2P(当且仅当“xy”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.

3.常见求最值模型

nn

模型一：mx2mn(m0,n0)，当且仅当x时等号成立；

xm

nnn

模型二：mxm(xa)ma2mnma(m0,n0)，当且仅当xa时等号成立；

xaxam

x11

(a0,c0)c

模型三：ax2bxcc2acb，当且仅当x时等号成立；

axba

x

mx(nmx)1mxnmxn2nn

模型四：x(nmx)（)2(m0,n0,0x)，当且仅当x时等号成

mm24mm2m

立.

易错提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始

范围.

a

注意：形如yx(a0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的

x

单调性求解．

2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面

的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足

使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个

数，“1”的代换法等.

91

例．函数ylogxax12（a0且a1）的图象恒过定点k,b，若mnbk且m0，n0，则

amn

的最小值为（）

95

A．9B．8C．D．

22

【答案】B

x1

【详解】函数ylogaxa2（a0且a1）的图象恒过定点1,3,所以m+n312，

91919nm

2(mn)()10102916,

mnmnmn

91919nm13

216，8,当且仅当，即n,m等号成立

mnmnmn22

故选：B.

2ab

变式1．已知a0,b0,2abab，则的最小值为（）

a1b2

A．4B．6C．42D．322

【答案】D

b

【详解】由a0,b0,2abab，a0，即b2，易知a1，

b2

2ab2a22

所以a3a132(a1)322，

a1b2a1a1a1

当且仅当a21时等号成立，此时b22，

2ab

所以的最小值为322.

a1b2

故选：D

1

变式2．已知命题p：在ABC中，若sinAsinB，则AB；q：若a0，则(1a)(1)4，则下列命

a

题为真命题的是（）

A．pqB．pqC．pqD．pq

【答案】A

【详解】命题p：在ABC中，若sinAsinB，由正弦定理得ab，所以AB，为真命题，

111

当a0，对于1a12a22a4，当且仅当a1时等号成立，

aaa

1

所以命题q：若a0，则(1a)(1)4，为真命题，

a

所以pq为真命题，p