专题04三角函数（讲义）数学学业水平考试合格考总复习

专题04三角函数目录目录学考要求速览必备知识梳理高频考点精讲考点一：三角函数的定义考点二：扇形面积公式与三角函数的应用考点三：同角三角函数基本关系考点四：两角和与差的三角函数考点五：三角函数性质综合考点六：三角函数的平移变换与伸缩变换考点七：正弦定理与余弦定理实战能力训练1、了解角的概念的推广过程,理解任意角的概念.认识终边相同的角并会简单表示.2、了解弧度制的概念,掌握弧度与角度的互化,熟悉特殊角的弧度数.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用.3、借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.4、掌握诱导公式并会应用.5、能正确运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.6、了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤,掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法.7、了解周期函数、周期、最小正周期的定义.会求函数y=Asinωx+φ8、掌握y=sinx,y=cosx9、结合正切函数图象求解三角函数的综合问题,培养学生直观想象的核心素养.掌握正切函数的性质及应用,提升学生逻辑推理的核心素养.10、能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,并能利用公式化简、计算求值.11、能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.12、结合具体实例,了解函数y=Asinωx13、掌握余弦定理、正弦定理及变形,并能利用余弦定理、正弦定理解决相关问题.14、利用余弦定理、正弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度的测量问题.1、各种角的集合:角的集合角度制弧度制①与角α终边相同的角的集合(含角α){{β∣②终边在x轴的非负半轴上的角的集合α{③终边在x轴上的角的集合【直线型】{{④终边在坐标轴上的角的集合α{⑤终边在第一（二三四）象限的角的集合{{说明:要确定角的集合,可以先在0∘≤α<360∘或0≤2、任意角的三角函数1．任意角的三角函数的定义:(1)借助单位圆来定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆(圆的方程为x2+y2则:sin(2)借助半径为x2+y2设角α终边上任意一点P的坐标为x,y,它到原点的距离为r=sinα=y①定义域、值域:sinα,cosα定义域都是R,值域都是-1,1;tan②三角函数的值在各个象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.3、同角三角函数的基本关系式:(用于求值、化简、证明;变形运用、1的代换、齐次化切.)(1)平方关系:sin2(2)商数关系:tanα4、诱导公式sin(2ksin(π-αsin(πsin(2π-αsin(-αsinπsinπ5、三角恒等变换一、基本公式1．两角和与差公式:①cosα-β②cosα+β⑤tanα+β=tan⑥tanα-β=tan2．二倍角公式:①sin2α=②cos2α=③tan4．辅助角公式:asin①其中辅助角φ是由方程tanφ=6、三角函数图像与性质一、基础图象性质y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像与性质【定义域,周期性,奇偶性函数yyy图象定义域RR{值域--R最值xx无单调性2kπ-π22kπ-π,kπ-奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性关于直线x=关于直线x=关于点kπ2关于点kπ,关于点kπ+周期性ωTTTy=Ay=Ay=A注意对称中心、对称轴的距离与周期的关系对称中心间距离与周期的关系注意y=Asinωx+φ+B与y④若y=Acosωx+7、函数y=A(1)五点作图法作出函数y=Asin①令ωx+φ依次为0,π2,π,②再依点x,y(2)三角函数图像的三种基本变换①y=sinx的图像向左φ>0或向右φ<0平移②y=sinx图像上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的1ω倍,得到③y=sinx图像上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y8、正弦定理(R为三角形ABC的外接圆半径):asinA⇔a⇔sinA⇔sinA:sin9、余弦定理:(余弦“分式”,边“平方”.)①a2②b2③c2=a2④cosA⑤cosB⑥cosC=a2+10、三角形面积公式:①S=12aha=12②S=12absinC考点精讲讲练考点一：三角函数的定义例题1（2024高二上·江苏·学业考试）已知α的终边经过点P3,-4，则sinα=（A．-45 B．-35 C．【答案】A【分析】根据三角函数的定义求解.【详解】根据题意，r=OP∴sin故选：A.例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知角α的终边位于第二象限，则点Pcosα,sinA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】通过判断cosα,sinα的符号来确定【详解】由于α的终边位于第二象限，所以cosα<0,所以Pcosα,故选：B例题3．（2024·江苏学考模拟）角α的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为35，则1-sin2A．35 B．-35 C．4【答案】A【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知cosα=又sin2α+cos故选：A1．已知角α的终边经过点P(2,-1)，则sinA．55 B．-55 C．2【答案】B【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【详解】解：角α的终边经过点P(2,-1)，则sinα=-1故选B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．若角α的终边经过点-1,2，则cosA．-55 B．55 C．-【答案】A【分析】用余弦的定义可以直接求解.【详解】点-1,2到原点的距离为5，所以cosα=【点睛】本题考查了余弦的定义，考查了数学运算能力.3．“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0”的（

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案.【详解】当θ为第一或第四象限角时，cosθ>0所以“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0”当cosθ>0时，θ所以“θ为第一或第四象限角”不是“cosθ>0”所以“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分不必要条件故选：A考点二：扇形面积公式与三角函数的应用例题1（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的弧长为（

）A．30 B．π12 C．π6 D【答案】C【分析】根据弧度制与角度制互化公式，结合扇形的弧长进行求解即可.【详解】因为30°=π所以扇形的弧长为π6故选：C例题2．（2023高三·广东·学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（）A．12 B．23 C．32【答案】C【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则αr=3,12故选：C．例题3．（1920高一上·江苏盐城·期末）若扇形的面积为16cm2，圆心角为2rad，则该扇形的弧长为（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【解析】直接利用扇形面积公式计算得到r=4，再计算弧长得到答案.【详解】S=12α故选：B【点睛】本题考查了扇形面积，弧长的计算，意在考查学生的计算能力.1．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】首先求得半径，然后利用面积公式求解其面积即可.【详解】设扇形的半径为R，由题意可得：6R=3，则扇形的面积S=1本题选择B选项.【点睛】本题主要考查弧度制的定义，扇形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知扇形的半径是1cm，圆心角为2，则该扇形的面积是（

）A．1cm2 B．2cm2 C．4cm【答案】A【分析】根据扇形的面积计算公式可得.【详解】由扇形的面积公式，可得S=1故选：A.3．已知扇形的周长为10cm，圆心角为3rad，则扇形的面积为（A．3cm2 B．4cm2 C．【答案】D【分析】根据周长确定扇形半径R=2，再计算面积即可.【详解】设扇形半径为R，则2R+3R=10，R=2，所以S=1故选：D.考点三：同角三角函数基本关系例题1（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知3sinα+cosα2A．-35 B．-13 C．【答案】C【分析】依题意弦化切即可.【详解】依题意有2=3sinα+故选：C例题2．（2023高三·江苏·学业考试）已知tanα=-3，则sinα+2cosA．52 B．14 C．-5【答案】B【分析】根据三角函数同角的函数关系式，结合齐次式法求值，可得答案.【详解】由题意tanα=-3，可知cos则sinα+2故选：B例题3．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知tanα=2，则1+sin2αA．-3 B．-13 C．3 D【答案】A【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得答案.【详解】1+sin故选：A．1．若sinα=223,A．1 B．22 C．3 D．【答案】B【分析】根据同角三角函数的关系结合已知条件可求得答案.【详解】因为sinα=所以tanα=故选：B2．已知tanα=3，则2sinα+A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【分析】利用三角函数的基本关系化简原式即可直接得答案.【详解】将2sinα+cos2sin故选：D.3．已知tanα=3，则2sinα+A．-3 B．5 C．3 D．7【答案】D【分析】根据切弦互化直接得出结果.【详解】因为tanα=3所以2sin故选：D考点四：两角和与差的三角函数例题1（2024高二上·江苏·学业考试）若tanα+π4=-2，则A．13 B．-13 C．3【答案】C【分析】根据两角和的正切公式运算求解.【详解】由tanα+π4=-2，即故选：C.例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知cosα-π6=1A．78 B．-78 C．3【答案】B【分析】用二倍角公式即可求解.【详解】cos2α-故选：B例题3．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）化简cos43°cos13°+A．12 B．22 C．32【答案】C【分析】逆用余弦函数的和差公式即可得解.【详解】cos43°故选：C.1．已知α，β为锐角，且tanα=12，tanβ=1A．π6 B．π4 C．π3【答案】B【分析】先求出α+β的正切值，再求出角α+β.【详解】因为tanα=12所以tanα+β因为α，β为锐角，所以0<α+β<π，所以α+β=π4故选：B2．已知cosπ2-α=2cosA．7 B．7 C．1 D．1【答案】B【分析】由了诱导公式得sinα=-2cosα再由两角和的正切公式tanα+β=tanα+tan【详解】解：因为cosπ所以sinα=-2cosα又tanα+β=则tanα+解得tanβ=7故选B.3．已知sinθ-π3=-1A．13 B．-13 C．2【答案】B【分析】利用诱导公式即可得到答案.【详解】cosθ+故选：B．考点五：三角函数性质综合例题1（2024高二上·江苏·学业考试）函数fx=cosx2A．2 B．4 C．2π D．【答案】D【分析】根据余弦函数性质可得最小正周期.【详解】因为fx=cosx2-π故选：D.例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数fx=2sinωx+π6(ω>0)的图像与直线y=2A．12 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】根据周期性求得ω.【详解】由于fx的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π所以T=π故选：C例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数fx=cosπ4-xcosA．3 B．2 C．-2或2 D．2或3【答案】B【分析】利用三角恒等变换的知识化简fx，根据二次函数的性质求得正数a的值【详解】f=====-sin令t=sinx,t∈-1,1，则y=-开口向下，对称轴为x=a，当0<a≤1时，则ymax=-当a>1时，则ymax综上所述，a的值为2.故选：B1．函数y=1-2sin2x的最小正A．π2 B．π C．2π D．【答案】B【分析】化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得原函数的最小正周期.【详解】因为y=1-2sin所以该函数的最小正周期T=2故选：B.2．函数fx=2A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为2【答案】A【分析】先利用诱导公式化简函数fx，再判断其周期和奇偶性即可【详解】因为fx=2所以T=2π2所以fx是最小正周期为π的奇函数故选：A3．已知函数f(x)=4sin12A．2π，2 B．2π，4 C．4π，2 D．【答案】D【分析】根据最小正周期公式结合振幅的定义分析判断即可.【详解】因为函数f(x)=4sin12x+π则周期为4kπ,k∈Z,k≠0，振幅为4故选：D.考点六：三角函数的平移变换与伸缩变换例题1（2024高二上·江苏·学业考试）将函数y=sinx的图象向上平移12个单位长度，所得图象A．y=sinx+1C．y=sinx+1【答案】C【分析】利用三角函数图象的平移变换求解.【详解】将函数y=sinx的图象向上平移12个单位长度，所得图象故选：C.例题2．（2223高一上·江苏南通·期末）将函数y=sinx的图象向右平移π3个长度单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=fx的图象，则A．sin2x-π3C．cos12x+【答案】D【分析】根据三角函数图象变换以及诱导公式求得正确答案.【详解】函数y=sinx的图象向右平移π3个再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到y==sin故选：D例题3．（2024·江苏徐州·模拟预测）要得到函数y=3sin2x的图象,只需将y=3sin2x+πA．向左平移π8个单位 B．向右平移π8C．向左平移π4个单位 D．向右平移π4【答案】B【分析】将y=3sin2x+π4写为【详解】解:由题知y=3sin所以由y=3sin2x变到y=3sin2x+π故由y=3sin2x+π4变到y=3sin故选:B1．要得到函数y=sin2x-π3的图象，只需将函数y=sinA．向左平移π3个单位 B．向左平移π6C．向右平移π3个单位 D．向右平移π6【答案】D【分析】根据解析式确定y=sin2x的图象【详解】由y=sin2x-π3=sin2(x-π6故选：D2．要得到函数y=sin2x的图象，只需将y=sin(2x-πA．向左平移π3个单位长度 B．向右平移π3C．向左平移π6个单位长度 D．向右平移π6【答案】C【分析】利用三角函数图象变换判断即可.【详解】函数y=sin2(x-π6)的图象可由数y=sin所以函数y=sin2x的图象可由函数y=sin(2x-π3)故选：C3．为了得到函数y=cos12x的图象，只需把余弦曲线A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的12C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的12【答案】A【分析】根据给定条件，利用三角函数图象变换求解判断.【详解】把余弦曲线y=cosx上所有的点横坐标伸长到原来的得y=cos12x的图象，A故选：A考点七：正弦定理与余弦定理例题1（2024高二上·江苏·学业考试）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:3:4A．-14 B．14 C．11【答案】A【分析】由正弦定理边角互换结合余弦定理可得答案.【详解】因sinA:sinB:则cosC=故选：A例题2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）“tan2α=14”是“tanA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】化简tan3αtanα=11得【详解】因为tan3α=所以tan3α解得tan2所以“tan2α=14”是“故选：C.例题3．（2023高三·江苏·学业考试）在△ABC中，已知cos2A=-35，则sinA．-255 B．45 C．【答案】D【分析】确定sinA>0，再利用二倍角公式计算得到答案【详解】A∈0,π，sinA>0，cos故选：D1．在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【答案】C【分析】根据余弦定理可得cosB<0，进而得∠B为钝角，即可求解【详解】在△ABC中,由余弦定理以及AB=5，BC=6，AC=8可知:cosB=AB2+BC故选：C2．在△ABC中，边长BC=10,A=60°,B=45°，则边长AC=（A．202 B．1063 C．10【答案】B【分析】用正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理得sinABC=sinBAC即故选：B.3．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若A:B:C=1:2:3，则a:b:c=（

）A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D【答案】C【分析】先求出角A,B,C，再利用正弦定理求解【详解】由题A:B:C=1:2:3且A+B+C=π∴A=由正弦定理得a:b:c=sinA:故选：C训练1、已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=2,c=3,cosB=13，则A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用余弦定理直接代入公式计算可得结果.【详解】由余弦定理b2=a解得b=3.故选：A2、sin10∘cosA．14 B．13 C．34【答案】D【分析】由两角和的正弦公式即可求解.【详解】sin=sin故选：D3、若tanα=-3，则角α可以为（A．π4 B．π3 C．2π【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值，即可确定答案.【详解】由于tanπ故tanα=-3，则角α可以为故选：C4、在△ABC中，a=2，c=4，∠B=πA．22 B．23 C．4 D【答案】B【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即可.【详解】依题意，b=a故选：B5、sin30∘cosA．14 B．34 C．12【答案】B【分析】利用特殊角的三角函数值计算得解.【详解】依题意，sin30故选：B6、已知角α的终边过点P(-1,3)，则cosαA．12 B．-12 C．3【答案】B【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】因为角α的终边经过点P(-1,3所以cosθ=故选：B7、若sinαcosβ+A．α+β=2kπk∈ZC．α+β=π+2kπ【答案】B【分析】根据两角和的正弦公式化简后，根据正弦值求角即可.【详解】因为sinα所以α+β=π故选：B8、函数y=sinπ3-2x的A．6 B．π2 C．π D．【答案】C【分析】使用三角函数的最小正周期公式T=2π【详解】在三角函数y=sinπ3-2x中，ω=-2，因此故选：C.9、将函数y=sin2x的图象向右平移π4，所得图象的函数解析式为（A．y=sin2x+π4 B．y=sin2x-【答案】C【分析】根据三角函数平移变换原则和诱导公式即可求解.【详解】函数y=sin2x的图象向右平移π4所得图象故选：C.10、已知角α的终边与单位圆交于点P0,1，则sinπ2A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据三角函数的定义以及诱