2026年中考数学解密之命题与证明

第32页（共32页）2026年中考数学解密之命题与证明一．选择题（共10小题）1．（2025•成都）下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等2．（2025•徐汇区模拟）已知命题：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似；②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似．下列对这两个命题的判断，正确的是（）A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题3．（2025•天宁区校级一模）能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a=12 D．a4．（2025•静安区二模）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的平行四边形是正方形5．（2025•岳阳楼区二模）下列命题中，正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．对顶角相等 C．圆内接四边形对角相等 D．三角形的外角和为180°6．（2025•宁远县二模）下列命题中，是假命题的是（）A．菱形的对角线相等 B．平行四边形的对边相等 C．矩形的对角线相等 D．三角形具有稳定性7．（2025•闽侯县校级模拟）下列命题是真命题的是（）A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．如果ab＜0，那么a，b两数同号 D．如果a＝b，那么a2＝b28．（2025•广阳区二模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，Δ是方程的判别式，有下列两个说法：①Δ=(2ax1+b)2；②当a＝1，b＝﹣k，c＝kA．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题9．（2025•浙江模拟）下列命题正确的是（）A．经过三个不同的点可以画一个圆 B．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 C．在同圆中，等弧所对的圆周角相等 D．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧10．（2025•浑南区二模）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直二．填空题（共10小题）11．（2025•格尔木市校级一模）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：．12．（2025•江都区一模）要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝．13．（2025•攀枝花）请你取一个a的值，说明命题“|a﹣1|＝a﹣1”是假命题，那么a＝．14．（2025•北京）能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝，b＝．15．（2025•无锡）请写出命题“若a＞b，则a+1＞b+1”的逆命题：．16．（2024秋•洪洞县期末）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：．17．（2025•西城区一模）用一组a，b的值说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是错误的，这组值可以是：a＝，b＝18．（2025•龙子湖区三模）命题“同位角相等”的逆命题是．19．（2025•潜山市三模）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣3“是命题．（填“真”或“假”）20．（2025•上城区校级三模）命题“若a2≥0，那么a≥0”的逆命题为，此逆命题是命题（填“真”或“假”）．三．解答题（共5小题）21．（2025•武汉模拟）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，E和F在直线AD两侧，若∠E＝∠F．请从①AE＝DF，②AB＝CD，③EC∥BF中选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题．（1）条件：；（填写序号）结论：；（填写序号）（2）证明你所构建的命题是真命题．22．（2025•鼓楼区二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）．（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由．（2）判断命题的真假，并说明理由．23．（2025•靖江市校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，则．从①点D是BC的中点；②CE⊥AD，垂足为E；③BDDE你选的条件是，；结论是．（只需填写序号，证明一个即可）24．（2025•泰兴市校级三模）如图，点B为△EAC边AC上一点，以AB为直径的圆交△EAC于点D、F．连接AD、BD、BF，BF交AD于点H．给出下列三个信息：①D为弧BF的中点；②EA⊥EC；③CE是⊙O的切线．（1）请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论组成一个真命题．你选择的条件是，结论是.（只要填写序号）并证明．（2）在（1）的条件下，若FH＝3，BD=25，求FB25．（2025•盐山县校级模拟）已知实数a，b，c，m，n满足m2（1）当a＞0时，求证：b≥2c；（2）若m，n为正整数，且b+ca为奇数，请用反证法证明：m，n

2026年中考数学解密之命题与证明参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DCBCBADBCB一．选择题（共10小题）1．（2025•成都）下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等【考点】命题与定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，即可判断．【解答】解：A、B、C中的命题是真命题，故A、B、C不符合题意；D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，掌握以上知识点是解题关键．2．（2025•徐汇区模拟）已知命题：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似；②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似．下列对这两个命题的判断，正确的是（）A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题【考点】命题与定理；相似三角形的判定．【答案】C【分析】利用相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似，正确，是真命题；两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形一定相似，故原命题错误，是假命题．故选：C．【点评】本题主要考查了命题与定理及相似三角形的判定方法，解题的关键是了解相似三角形的判定定理，难度不大．3．（2025•天宁区校级一模）能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a=12 D．a【考点】命题与定理．【专题】实数；数感；推理能力．【答案】B【分析】写出一个a的值，不满足a2＞0即可．【解答】解：当a＝0时，a2＝0，所以命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理有关知识，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．4．（2025•静安区二模）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的平行四边形是正方形【考点】命题与定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定判断即可．【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，符合题意；D、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项命题是假命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（2025•岳阳楼区二模）下列命题中，正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．对顶角相等 C．圆内接四边形对角相等 D．三角形的外角和为180°【考点】命题与定理；轴对称图形；对顶角、邻补角；圆内接四边形的性质．【专题】应用题；推理能力．【答案】B【分析】根据平行四边形的中心对称性、对顶角相等、圆内接四边形的性质和三角形的外角和等知识逐项判断即可求解．【解答】解：根据平行四边形的中心对称性、对顶角相等、圆内接四边形的性质和三角形的外角和逐项分析判断如下：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、对顶角相等，是真命题，符合题意；C、圆内接四边形对角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；D、三角形的外角和为360°，故本选项命题是假命题，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了真假命题，涉及平行四边形的对称性、对顶角相等的性质、圆内接四边形的性质和三角形的外角和等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．6．（2025•宁远县二模）下列命题中，是假命题的是（）A．菱形的对角线相等 B．平行四边形的对边相等 C．矩形的对角线相等 D．三角形具有稳定性【考点】命题与定理；三角形的稳定性．【专题】三角形．【答案】A【分析】根据菱形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质以及三角形的稳定性逐项判断即可．【解答】解：A．菱形的对角线互相垂直，故原命题是假命题，符合题意；B．平行四边形的对边相等，故原命题是真命题，不符合题意；C．矩形的对角线相等，故原命题是真命题，不符合题意；D．三角形具有稳定性，故原命题是真命题，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了真假命题的判断，掌握其相关知识点是解题的关键．7．（2025•闽侯县校级模拟）下列命题是真命题的是（）A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．如果ab＜0，那么a，b两数同号 D．如果a＝b，那么a2＝b2【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；平行线的性质．【专题】应用意识．【答案】D【分析】根据对顶角的意义、平行线的性质、乘法法则及乘方的意义，逐项判断即可．【解答】解：根据对顶角的意义、平行线的性质、乘法法则及乘方的意义，逐项判断如下：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题；B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；C、如果ab＜0，那么a，b两数异号，故原命题是假命题；D、如果a＝b，那么a2＝b2，故原命题是真命题．故选：D．【点评】本题考查了命题真假的判断，掌握对顶角的意义、平行线的性质、乘法法则及乘方的意义是关键．8．（2025•广阳区二模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，Δ是方程的判别式，有下列两个说法：①Δ=(2ax1+b)2；②当a＝1，b＝﹣k，c＝kA．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题【考点】命题与定理；一元二次方程的一般形式；根的判别式；根与系数的关系．【专题】计算题；运算能力．【答案】B【分析】依题意，由方程根的定义可得：ax12+bx1+c＝0，移项可得：c=-ax12-【解答】解：依题意，由方程根的定义可得：ax12+bx1+c＝0，移项可得：c=-代入原来方程可得：ax2+bx-ax12-bx进一步求解b2﹣4ac，可得：b2﹣4ac＝b2﹣4a（-ax12-bx1）＝（2ax1+故①正确；将a＝1，b＝﹣k，c＝k代入方程，利用韦达定理可得：x1+x2＝k，x1x2＝k，将x12+x22+3＝（x1+x2）2﹣2x1x2+3＝k2﹣2k+3（由于（k﹣1）2≥0，∵当k＝1时，根的判别式小于零，∴方程无解，因此x12+x故②错误；综上所述，①正确，②错误，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，做题的关键是根据公式进行变形计算．9．（2025•浙江模拟）下列命题正确的是（）A．经过三个不同的点可以画一个圆 B．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 C．在同圆中，等弧所对的圆周角相等 D．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧【考点】命题与定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】根据各个定理分别对四个选项作出分析，再作出判断．【解答】解：A．经过三个不同的点可以画一个圆，少了“不共线的”条件，说法错误，故不符合题意；B．经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，说法错误，故不符合题意；C．因为两条弧相等，所以它们重合，那么它们所对的圆周角也相等，说法正确，故符合题意；D．平分弦的直径，这里的弦必须是非直径，说法错误，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了确定圆的条件，切线的判定，圆周角定理，垂径定理，解题关键是理解相关的定理．10．（2025•浑南区二模）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直【考点】命题与定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】B【分析】根据矩形的判定和性质判断即可．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本小题命题是假命题，不符合题意；B、矩形的对角线互相平分，是真命题，符合题意；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本小题命题是假命题，不符合题意；D、矩形的对角线相等，不一定互相垂直，故本小题命题是假命题，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二．填空题（共10小题）11．（2025•格尔木市校级一模）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【考点】命题与定理；对顶角、邻补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面即可．【解答】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【点评】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．12．（2025•江都区一模）要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝﹣4（答案不唯一）．【考点】命题与定理．【专题】一元二次方程及应用；推理能力．【答案】﹣4（答案不唯一）．【分析】要使得a2≥4成立，则a＜﹣2或a＞2，因此举反例可列举a＜﹣2的数字即可．【解答】解：当a＝﹣4时，a2＝16＞4，但不满足a＞2，故命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，故答案为：﹣4（答案不唯一）．【点评】本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．13．（2025•攀枝花）请你取一个a的值，说明命题“|a﹣1|＝a﹣1”是假命题，那么a＝﹣1（答案不唯一）．【考点】命题与定理；绝对值．【专题】实数；推理能力．【答案】﹣1（答案不唯一）．【分析】根据绝对值的性质、假命题的概念解答．【解答】解：当a＝﹣1时，a﹣1＜0，则|a﹣1|＝﹣（a﹣1）＝1﹣a，说明命题“|a﹣1|＝a﹣1”是假命题，故答案为：﹣1（答案不唯一）．【点评】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．14．（2025•北京）能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝﹣3，b＝1（答案不唯一）．【考点】命题与定理．【专题】实数；数感．【答案】﹣3，1（答案不唯一）．【分析】根据举反例的方法找到a，b满足a2＞4b2，但是不满足a＞2b即可．【解答】解：当a＝﹣3，b＝1时，a2＞4b2，但是a＜2b，故答案为：﹣3，1（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键．15．（2025•无锡）请写出命题“若a＞b，则a+1＞b+1”的逆命题：若a+1＞b+1，则a＞b．【考点】命题与定理．【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．【答案】若a+1＞b+1，则a＞b．【分析】根据逆命题是条件、结论互换解答即可．【解答】解：“若a＞b，则a+1＞b+1”的逆命题是“若a+1＞b+1，则a＞b”；故答案为：若a+1＞b+1，则a＞b．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握逆命题是条件、结论互换．16．（2024秋•洪洞县期末）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．【考点】命题与定理．【答案】见试题解答内容【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．17．（2025•西城区一模）用一组a，b的值说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是错误的，这组值可以是：a＝﹣2，b＝【考点】命题与定理；实数大小比较；二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；推理能力．【答案】﹣2；1（答案不唯一）．【分析】根据算术平方根、实数的大小比较解答．【解答】解：当a＝﹣2，b＝1时，a2＞b2，而∴命题“若a2＞b2，则a故答案为：﹣2；1（答案不唯一）．【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．18．（2025•龙子湖区三模）命题“同位角相等”的逆命题是相等的角是同位角．【考点】命题与定理．【专题】推理填空题．【答案】见试题解答内容【分析】根据逆命题的概念解答．【解答】解：命题“同位角相等”的逆命题是相等的角是同位角，故答案为：相等的角是同位角．【点评】本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．19．（2025•潜山市三模）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣3“是真命题．（填“真”或“假”）【考点】命题与定理；不等式的性质．【专题】方程与不等式；推理能力．【答案】真．【分析】利用不等式的性质进行判断即可．【解答】解：∵a＞b，∴a﹣1＞b﹣1＞b﹣3，∴这是一个真命题．故答案为：真．【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．20．（2025•上城区校级三模）命题“若a2≥0，那么a≥0”的逆命题为若a≥0，那么a2≥0，此逆命题是真命题（填“真”或“假”）．【考点】命题与定理；非负数的性质：偶次方．【专题】实数；推理能力．【答案】若a≥0，那么a2≥0；真．【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据实数的平方判断真假．【解答】解：命题“若a2≥0，那么a≥0”的逆命题为“若a≥0，那么a2≥0”，此逆命题是真命题，故答案为：若a≥0，那么a2≥0；真．【点评】本题考查的是命题与定理，熟记逆命题的概念、真假命题的判断是解题的关键．三．解答题（共5小题）21．（2025•武汉模拟）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，E和F在直线AD两侧，若∠E＝∠F．请从①AE＝DF，②AB＝CD，③EC∥BF中选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题．（1）条件：②③（①③）；（填写序号）结论：①（②）；（填写序号）（2）证明你所构建的命题是真命题．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质．【答案】（1）②③；①或①③；②；（2）见解析．【分析】（1）选择②③当条件，①当结论或①③当条件，②当结论即可；（2）根据EC∥BF，得出∠ACE＝∠DBF，证明△ACE≌△DBF（AAS）即可．【解答】（1）解：条件：②③，结论：①；或条件①③，结论②；（2）当条件：②③，结论：①时，证明：∵EC∥BF，∴∠ACE＝∠DBF，∵AB＝CD，∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，在△ACE和△DBF中，∠E=∠F∠ACE=∠DBF∴△ACE≌△DBF（AAS），∴AE＝DF；当条件①③，结论②时，∵EC∥BF，∴∠ACE＝∠DBF，在△ACE和△DBF中，∠E=∠F∠ACE=∠DBF∴△ACE≌△DBF（AAS），∴AC＝BD，∴AC﹣BC＝BD﹣BC，∴AB＝CD．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、命题与定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形全等的判定与性质是解此题的关键．22．（2025•鼓楼区二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）．（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由．（2）判断命题的真假，并说明理由．【考点】命题与定理；一元二次方程的应用；矩形的性质．【专题】一元二次方程及应用．【答案】（1）成立，矩形B的两边长为9-572，【分析】（1）根据矩形的长和宽表示出新矩形的长和宽，再根据面积的关系列出一元二次方程，进一步求解即可；（2）设矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为x，则宽为k（m+n）﹣x．再根据面积的关系列出一元二次方程，利用根的判别式求解即可．【解答】解：（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，此时矩形B的周长为18，面积为6，设矩形B的长为x，则宽为9﹣x，根据题意列方程，得：（9﹣x）x＝6，∴x2﹣9x+6＝0，解得：x1=9-∴此时命题成立；（2）若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为x，则宽为k（m+n）﹣x．根据题意列方程，得：x[k（m+n）﹣x]＝kmn，即x2﹣k（m+n）x+kmn＝0，根据求根公式得：b2﹣4ac＝k2（m+n）2﹣4kmn＝k[k（m+n）2﹣4mn]，∵k＞1，∴[k（m+n）2﹣4mn]＞（m+n）2﹣4mn，又（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2≥0，∴[k（m+n）2﹣4mn]＞0，∴存在矩形B，∴此命题成立．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其解法，掌握其性质是解题的关键．23．（2025•靖江市校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，①，②，则③．从①点D是BC的中点；②CE⊥AD，垂足为E；③BDDE你选的条件是①，②；结论是③．（只需填写序号，证明一个即可）【考点】命题与定理；相似三角形的判定与性质．【专题】应用意识．【答案】①②；③，证明见解析（答案不唯一）．【分析】根据题意选的条件是①点D是BC的中点；②CE⊥AD，垂足为E；结论是③BDDE=ACCE，证明△ACE∽△CDE，推出CDDE=ACCE，结合点D是BC的中点，即可得出结论；选的条件是①点D是BC的中点；③BDDE=ACCE；结论是②CE⊥AD，垂足为E，解直角三角形易求∠CAD＝∠ECD，进而证明△ACD∽△CED，即可得出结论；选的条件是②CE⊥AD，垂足为E，③BDDE=ACCE【解答】解：选的条件是①点D是BC的中点；②CE⊥AD，垂足为E；结论是③BDDE证明：如图：∵CE⊥AD，∴∠ACD＝∠CED＝90°，∵∠DCE+∠ACE＝∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠DCE＝∠CAE，∴△ACE∽△CDE，∴CDDE∵CD＝BD，∴BDDE如图，选的条件是①点D是BC的中点；③BDDE=ACCE；结论是②CE⊥证明：由题意可得：CD＝BD，∵BDDE∴CDDE=AC由题意可得：tan∠CAD=CD∴∠CAD＝∠ECD，∵∠ADC＝∠CDE，∴△ACD∽△CED，∴∠ACD＝∠CED＝90°，∴CE⊥AD，垂足为E．如图，选的条件是②CE⊥AD，垂足为E；③BDDE=ACCE；结论是从①点证明：由题意可得：∠ACD＝∠CED＝90°，∵∠DCE+∠ACE＝∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠DCE＝∠CAE，∴△ACE∽△CDE，∴CDDE∵BDDE∴BD＝CD，即点D是BC的中点．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形及命题，正确记忆相关知识点是解题关键．24．（2025•泰兴市校级三模）如图，点B为△EAC边AC上一点，以AB为直径的圆交△EAC于点D、F．连接AD、BD、BF，BF交AD于点H．给出下列三个信息：①D为弧BF的中点；②EA⊥EC；③CE是⊙O的切线．（1）请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论组成一个真命题．你选择的条件是①②，结论是③.（只要填写序号）并证明．（2）在（1）的条件下，若FH＝3，BD=25，求FB【考点】命题与定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质．【专题】应用意识．【答案】（1）见解析；（2）8．【分析】（1）条件：①②，结论：③，连接OD，根据垂径定理的推论得到OD⊥BF，然后得到OD∥AE，进而得到OD⊥EC，即可得到结论；（2）连接OD交BF于点G，根据垂径定理得到OD⊥EC且FG＝BG，设HG＝x，则FG＝BG＝x+3，证明△BDG∽△BHD，得到BD2＝BG•BH，解方程即可解题．【解答】解：（1）若条件：①②，结论：③，证明：连接OD，∵D为弧BF的中点且OD为半径，∴OD⊥BF，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BF，∴OD∥AE，又∵EA⊥EC，∴∠E＝90°，∴∠ODC＝∠E＝90°，∴OD⊥EC，又∵OD为半径，∴CE是⊙O的切线；若条件：②③，结论：①；证明：连接OD，∵CE是⊙O的切线，∴OD⊥EC，∵EA⊥EC，∴OD∥AE，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BF，∴OD⊥BF，∵OD为半径，∴D为弧BF的中点；若条件：①③，结论：②证明：连接OD，∵D为弧BF的中点且OD为半径，∴OD⊥BF，∵CE是⊙O的切线，∴OD⊥EC，∴EC∥BF，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴∠E＝90°，∴EA⊥EC；（2）连接OD交BF于点G，∵D为弧BF的中点且OD为半径，∴OD⊥EC且FG＝BG，∵FH＝3，设HG＝x，∴FG＝BG＝x+3，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BGD＝∠BDH＝90°，∵∠DBG＝∠HBD＝90°，∴△BDG∽△BHD，∴BDBG=BHBD，即BD2＝∴(25解得x＝1，∴FG＝4，∴FB＝2FG＝8．【点评】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确进行计算是解题关键．25．（2025•盐山县校级模拟）已知实数a，b，c，m，n满足m2（1）当a＞0时，求证：b≥2c；（2）若m，n为正整数，且b+ca为奇数，请用反证法证明：m，n【考点】反证法．【专题】反证法；推理能力．【答案】（1）（2）证明见解析．【分析】（1）根据完全平方公式、偶次方的非负性证明；（2）假设m，n都是偶数，得到与已知相矛盾，进而证明结论．【解答】证明：（1）∵（m﹣n）2≥0，∴m2﹣2mn+n2≥0，∴m2+n2≥2mn，∴ba≥2∵a＞0，∴b≥2c；（2）假设m，n都是偶数，不妨设m＝2p，n＝2q，则m2+n2＝4p2+4q2，mn＝4pq，∴b+ca=ba+ca=m2+n2+mn＝44p2+4q2+4pq是偶数，这与已知相矛盾，∴m，n至少有一个为奇数．【点评】本题考查的是反证法，掌握反证法的一般步骤是解题的关键．

考点卡片1．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．4．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①a≥0；a≥0②（a）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a2=|a（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•b（a≥0，b≥0）ab=ab（a（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．5．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．6．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．7．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．8．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．9．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．10．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．11．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．12．三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．13．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．14．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．15．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．16．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、17．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形18．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．19．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．20．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．21．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．22．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．23．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对