高考数学复习：第09讲 函数的奇偶性与周期性

第09讲函数的奇偶性与周期性对于定义在R上的函数fx①若fx是偶函数，则f②若f-2=f2，则函数③若f-2≠f2，则函数④若f-2=f2，则函数其中，正确的说法是   A．①③ B．①④ C．②③ D．③④已知fx是定义在2b,1-b上的偶函数，且在2b,0上为增函数，则fx-1≤f2x A．-1,23 B．-1,13 C．-1,1 D函数y=fx在0,2上单调递增，且函数fx+2是偶函数，则下列结论成立的是 A．f1<f52<f7 C．f72<f52<f定义在R上的奇函数fx满足fx+2=-fx，且在0,1 A．f3 B．f1 C．f3 D．f-已知偶函数fx满足fx+f2-x A．函数fx是以2 B．函数fx是以4 C．函数fx+2 D．函数fx-3已知fx是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，fx=x3-x，则函数y=fx的图象在区间0,6已知函数fx的周期为4，且当x∈0,4时，fx=cosπx2已知函数fx=2x4+4x2，若f判断下列函数的奇偶性：(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx判断下列函数的奇偶性．(1)fx(2)fx(3)fx下列函数是偶函数的是   A．fx=tanx B C．fx=cosx D已知函数fx满足f0=2，且对任意x∈R都满足fx+3=-fx，则 A．2019 B．2 C．0 D．-2已知函数fx是定义在R上且周期为4的偶函数，当时x∈2,4，fx=log4x-已知fx是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，fx=x3-x，则函数y=fx的图象在区间0,6 A．6 B．7 C．8 D．9定义在R上的函数fx满足fx+6=fx．当-3≤x<-1时，fx=-x+22；当-1≤x<3已知函数fx是定义在R上的奇函数，且f1+x=f1-x，若f1=9 A．-9 B．9 C．-3 D．0若函数fx=a+12x-1是奇函数，则实数已知函数fx=x2-2x,x≥0-x已知函数fx是定义在R上的奇函数，且fx+2=fx．当0<x≤1时，fx=x已知函数fx=x2-ax,x≤0a A．-1 B．1 C．0 D．±1设fx为定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=3x-7x+2b（b A．6 B．-6 C．4 D．-4定义在R上的函数fx对任意实数x，y，恒有fx+fy=fx+y，且当x>0(1)求证：fx(2)求证：fx在R(3)求fx在-3,6函数fx定义域D=xx≠0，且满足对于任意x(1)求f1(2)判断fx(3)如果f4=1，f3x+1+f2x-6≤3，且fx在设fx是-∞,+∞上的奇函数，fx+2=-fx，当0≤x≤1(1)求fπ(2)当-4≤x≤4时，求fx的图象与x完成下列问题．(1)设函数fx=a⋅2x+a-2(2)设函数fx是定义在-1,1上的偶函数，在0,1上是增函数，若fa-2-f4-a已知函数fx=x-2sinx+ex-1ex，则满足 A．-∞,-1 B．-∞,1 C．-1,+∞ D．1,+∞已知fx是定义在R上的函数，且满足fx+2=-1fx，当2≤x≤3时，f下列函数中，既是奇函数，又在区间-1,1上单调递增的是   A．fx=2x B． C．fx=tanx D已知函数fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=x2+x．若fa设函数fx的定义域为R，满足fx+1=2fx，且当x∈0,1时，fx=xx-1，若对任意x∈-∞,m，都有 A．-∞,94 B．-∞,73 C．-∞,52已知fx是定义域为-∞,+∞的奇函数，满足f1-x=f1+x．若f1=2 A．-50 B．0 C．2 D．50已知fx是定义域为-∞,+∞的奇函数，满足f1-x=f1+x．若f1=2 A．-50 B．0 C．2 D．50定义在R上的奇函数fx满足当x≥0时，fx=log22+x+a-1x+b（a，b为常数）．若若函数fx=xx-b,x≥0axx+2已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x∈-∞,0时，fx=2x3已知fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=2x-2，则不等式已知函数fx=sinx-x+1-4x2x，则关于已知函数fx对任意x∈R满足fx+f-x=0，fx-1=fx+1，若当x∈0,1时，f(1)求实数a,b的值；(2)求函数gx=

答案1.【答案】A【解析】根据偶函数的定义，①③正确，若举例奇函数fx由于f-2=f2，所以②④2.【答案】B【解析】因为fx是定义在2b,1-b上的偶函数，所以2b+1-b=0，所以b=-1因为fx在2b,0上为增函数，即函数fx在-2,0上为增函数，故函数fx在0,2上为减函数，则由fx-1≤f2x，可得解得-1≤x≤1又因为定义域为-2,2，所以-2≤x-1≤2,-2≤2x≤2,解得-1≤x≤3,-1≤x≤1.所以-1≤x≤3.【答案】B【解析】因为函数fx+2所以函数fx的图象关于直线x=2所以f52=f又fx在0,2所以f12<f14.【答案】C【解析】因为fx+2所以fx+2+2所以函数的周期为4，作出fx由图可知f35.【答案】B；C【解析】偶函数fx满足fx+f2-x即为fx+2=-fx可得fx的最小正周期为4，故A错误，B由fx+f2-x=0两式相减得f2-x-f2+x=0所以fx+2为偶函数，故C由fx为偶函数得f若fx-3为偶函数，则有f可得fx+3=fx-3，即可得6为fx的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D6.【答案】7【解析】因为当0≤x<2时，fx又fx是R上最小正周期为2的周期函数，且f则f6又f1所以f3故函数y=fx的图象在区间0,6上与x轴的交点有77.【答案】0【解析】因为函数fx的周期为4，所以f故ff8.【答案】(-1,+∞)【解析】函数fx=2因为fʹx所以当x∈0,+∞时，函数fx当x∈-∞,0时，函数fx由fa+3>fa-1，得即a+32>a-12所以实数a的取值范围为-1,+∞．9.【答案】(1)由9-x2≥0,x2所以fx的定义域为-3,3，此时f又f3+f-3=0，f所以fx(2)由1-x1+x≥0,1+x≠0得因为fx的定义域-1,1所以fx(3)由4-x2≥0,∣x+3∣-3≠0得-2≤x≤2所以fx的定义域为-2,0此时，有fx所以f-x所以fx(4)当x>0时，fx-x<0，f-x当x<0时，fx-x>0，f-x所以fx10.【答案】(1)由1-x故函数fx的定义域为-1,1，关于原点对称，且f所以f-x=fx=-fx(2)因为fx有意义，则满足1-x1+x≥0，所以所以fx的定义域不关于原点对称，所以fx(3)因为4-x2≥0,x2≠0,所以所以定义域关于原点对称．又f-x所以f-x=fx，故函数11.【答案】C；D【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，fx对于B，fx对于C，fx对于D，fx=lg∣x∣，其定义域为x故选：CD．12.【答案】D【解析】因为fx+3=-fx，所以所以fx的周期为6，所以f又f3=-f0=-213.【答案】1214.【答案】B【解析】当0≤x<2时，令fx=x3-x=0，得x=0或x=1．根据周期函数的性质，由fx的最小正周期为2，可知y=fx在0,6上有6个零点，又f6=f3×2=f0=0，所以f15.【答案】338【解析】由fx+6=fx可知，函数fx所以f-3=f3=-1，f-2=f4=0，所以在一个周期内有f1所以f116.【答案】A【解析】根据题意，函数fx是定义在R上的奇函数，则f-x=-fx，又由f1+x=f1-x，则f-x=f2+x，则有fx+2=-fx，变形可得故选：A．17.【答案】12【解析】解法1（特殊值法）因为函数fx为奇函数，且定义域为xx≠0，所以有f1+f-1=0解法2（定义法）因为函数fx为奇函数，所以有fx+f-x=0，即a+1218.【答案】-2【解析】解法1（特殊值法）f-1=-1-a，因为fx为奇函数，所以-1-a=1，则a=-2解法2（定义法）设x<0，则-x>0，所以f-x=x2+2x=-fx，即x2+2x=x19.【答案】2【解析】因为fx+2=fx，则f-1=f1，又f所以f-1=-f1，则有f1所以1-a+1=0，则a=2．故答案为2．20.【答案】A【解析】因为函数fx是奇函数，所以f-x=-fx即1+a=-a-1，即2a=-2，得a=-1（符合题意）．21.【答案】A【解析】因为fx为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f所以f0所以b=-1所以fx所以f-222.【答案】(1)因等式fx+fy=fx+y对任意实数令x=y=0，可得f0+f0令y=-x，可得fx+f-x=fx-x=0，即(2)设x1,x2∈R，且所以fx所以fx所以fx(3)由（2）知，fx在R上是减函数，故所求函数的最大值为f-3，最小值为f-3=-f3故fx在-3,6上的最大值为2，最小值为-423.【答案】(1)令x1=x2=1，有(2)fx令x1=x2=-1，有令x1=-1，x2=x所以f-x=fx，所以(3)f4×4=f4由f3x+1+f2x-6≤3因为fx为偶函数，所以f所以不等式*等价于f3x+1又因为fx在0,+∞所以3x+12x-6≤64，且解得-73≤x<-13或-所以x的取值范围是x -24.【答案】(1)由fx+2=-ffx+4所以fx是以4所以fπ(2)由fx是奇函数且f得fx-1即f1+x故函数y=fx的图象关于直线x=1又当0≤x≤1时，fx=x，且f则fx当-4≤x≤4时，fx的图象与x轴围成的图形面积为S，则S25.【答案】(1)要使fx因为x∈R所以需fx+f又因为fx所以f-x由a-22x+1所以a=1．(2)由fx的定义域是-1,1，知-1<a-2<1,解得3<a<由fa-2-f4-a因为函数fx所以f∣a-2∣由于fx在0,1所以∣a-2∣<4-解得a<-3或a>-1且a≠2．综上，实数a的取值范围是3<a<5且26.【答案】D【解析】因为fx的定义域是Rf-x故fx又fʹx故fx在R若fx-2等价于fx-2故x-2>-x，解得x>1．27.【答案】52【解析】因为fx+2所以fx+4所以f-112=f52，又所以f5所以f-28.【答案】A；C【解析】结合指数函数的性质可知，y=2x为非奇非偶函数，y=cosxy=2x为奇函数且在-1,1上单调递增，符合题意；结合正切函数的性质可知，y=tanx为奇函数且在-1,1故选：AC．29.【答案】(-1,1)【解析】解法1（奇偶性的性质）因为fx是定义在R所以fa+f-a=2f即a2+a<2，a解法2（奇偶性的定义）当x≤0时，-x≥0，又因为fx是定义在R所以fx=f-x=当a≥0时，fa+f-a=当a≤0时，fa+f-a=综上，-1<a<1．30.【答案】B【解析】当-1<x≤0时，0<x+1≤1，则fx当1<x≤2时，0<x-1≤1，则fx当2<x≤3时，0<x-2≤1，则fx=2fx-1=22f由此作出函数fx由图可知当2<x≤3时，令22整理，得3x-73x-8=0，解得x=73将这两个值标注在图中．要使对任意x∈-∞,m都有fx≥-8即实数m的取值范围是-∞,731.【答案】C【解析】方法一：因为fx在R上是奇函数，且f所以fx+1=-fx-1，即因此fx+4=fx，则函数fx是周期为由于f1-x=f1+x故令x=1，得f0令x=2，得f3令x=3，得f4故f1所以f1方法二：取一个符合题意的函数fx=2sinπx2，则结合该函数的图象易知数列fn故f132.【答案】C【解析】因为fx所以f-x所以f1-x由f1-x=f1+x，得所以fx+2所以fx+4所以函数fx是周期为4由fx为奇函数得f又因为f1-x所以fx的图象关于直线x=1所以f2=f0=0又f1=2，所以所以f1所以f133.【答案】4【解析】由题意得f0=0，所以所以b=-