高考数学复习：第39讲 平面的性质与点线面的位置关系

第39讲平面的性质与点线面的位置关系下列命题中，真命题的个数为  ①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则 A．1 B．2 C．3 D．4已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是 A．若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1∥l C．若l1∥l2∥l3，则l1，l2，l3共面 D．若l1，l2设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c②若a⊥b，b⊥c，则a∥③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a上述命题中正确的命题是（填序号）．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为．如图，在三棱锥A-­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA（1）当AC，BD满足条件时，四边形EFGH为菱形；（2）当AC，BD满足条件时，四边形EFGH为正方形．如图所示，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是(1)E，C，D1，F(2)CE，D1F，DA如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是(1)E，C，D1，F(2)CE，D1F，DA已知空间四边形ABCD（如图所示），E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG=13BC(1)E，F，G，H四点共面；(2)三直线FH，EG，AC共点．以下四个命题中，正确命题的个数是  ①不共面的四点中，任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1， C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，如图，在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，M，①直线AM与CC1②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1④直线AM与DD1其中正确的结论为（填序号）．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是①MN与CC1②MN与AC垂直；③MN与BD平行；④MN与A1B如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N(1)AM和CN共面；(2)D1B和C已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1， C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，将图（1）中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图（2），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是   A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­-A1B1C1D1中，AA1 A．15 B．25 C．35 D．三棱锥A-BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为   A．13 B．24 C．33 D．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直A A．m=33 B．直线A1E与直线 C．m=23 D．直线A1E与直线已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120∘，AB=2，BC=CC如图所示，在正方体ABCD-A1(1)求AC与A1D(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3 A．15 B．56 C．55 D．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线 A．22 B．32 C．52 D．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120∘，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线 A．32 B．155 C．105 D．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60∘角时，AB与b成30∘②当直线AB与a成60∘角时，AB与b成60∘③直线AB与a所成角的最小值为45∘④直线AB与a所成角的最大值为60∘其中正确的是．（填写所有正确结论的编号）

答案1.【答案】B【解析】根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面（如墙角），故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上所述，真命题的个数为2．2.【答案】B【解析】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误；若两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错误；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错误．3.【答案】①【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．4.【答案】4【解析】首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面．5.【答案】AC=BD；AC=BD且AC⊥BD【解析】（1）因为四边形EFGH为菱形，所以EF=EH，故AC=BD．（2）因为四边形EFGH为正方形，所以EF=EH且EF⊥EH，因为EF平行相等于12AC，EH平行相等于所以AC=BD且AC⊥BD．6.【答案】60°【解析】连接B1D1，D1故∠D1又B1所以△B1所以∠D7.【答案】(1)连接EF，CD1，因为E，F分别是AB，AA1所以EF∥又A1所以EF∥所以E，C，D1，F(2)因为EF∥CD所以CE与D1F必相交，设交点为则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得同理P∈平面又平面ABCD∩所以P∈直线所以CE，D1F，DA8.【答案】(1)如图，连接CD1，EF，因为E，F分别是AB和AA1所以EF∥A1B又因为A1D1∥BC所以四边形A1BC所以A1所以EF∥所以EF与CD1确定一个平面所以E,F,C,D即E，C，D1，F(2)由（1）知，EF∥CD1所以四边形CD1所以CE与D1F设交点为P，则P∈CE⊂平面ABCD，且所以P∈平面ABCD且又因为平面ABCD∩平面所以P∈AD，所以CE，D1F，DA9.【答案】(1)如图所示，连接EF，GH．因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥又因为CG=13BC所以GH∥所以EF∥所以E，F，G，H四点共面．(2)易知直线FH与直线AC不平行，但共面，所以设FH∩AC=M，所以M∈平面EFHG，又因为平面EFHG∩所以M∈EG，所以FH，EG，AC共点．10.【答案】B【解析】①显然是正确的，可用反证法证明；②若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1．11.【答案】D【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l212.【答案】③④【解析】直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故13.【答案】④【解析】如图所示，连接B1C，则M是B1C的中点，MN是△所以MN∥又BD∥所以MN∥因为CC1⊥所以MN⊥CC1，又因为A1B1与所以MN与A1B114.【答案】(1)如图，连接MN，A1C1因为点M，N分别是A1B1，所以MN∥因为A1所以四边形A1AC所以A1所以MN∥所以A，M，N，C四点共面，即AM和CN共面．(2)因为ABCD-A1所以B，C，C1，D1假设D1B与C则存在平面α，使D1B⊂平面所以D1,B,C,C1∈α，这与B，C，所以假设不成立，即D1B与C15.【答案】（方法1）（反证法）：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内，所以直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立，所以AD和BC是异面直线．（方法2）（直接证法）：因为a∩c=P，所以它们确定一个平面，设为α，由已知C∉平面α，B∈平面α，BC⊄平面所以AD和BC是异面直线．16.【答案】D【解析】由于l与直线l1，l2故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，若l∥l1，l∥l2，则l1故l至少与l1，l217.【答案】C【解析】折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面所以AD⊥BC．又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直．18.【答案】D【解析】连接BC易证BC1∥AD1，则∠A1BC连接A1C1，由AB=1，AA1=2故cos∠即异面直线A1B与AD119.【答案】D【解析】连接DN，取DN的中点O，连接MO，BO，因为M是AD的中点，所以MO∥所以∠BMO（或其补角）是异面直线BM与AN所成的角，设三棱锥A-BCD的所有棱长为2，则AN=BM=DN=2则MO=1则BO=B在△BMO中，由余弦定理得cos∠BMO=所以异面直线BM与AN所成角的余弦值为2320.【答案】B；C【解析】如图，连接DC1，DF，则所以∠DC1F为异面直线AB1因为AB=2AA1，ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱，E，F分别为AB，BC的中点，设所以在△DFC1中，根据余弦定理，所以m=2连接A1C1，AC，EF，则A所以EF∥所以A1E与C21.【答案】如图所示，将直三棱柱ABC-A1B1C连接AD1，B1D所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB因为∠ABC=120∘，AB=2，所以AB1=在△B1D1C1中，所以B1所以cos∠22.【答案】(1)连接B1C，AB1，由易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是因为AB所以∠B即A1D与AC所成的角为(2)连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥所以EF⊥AC．所以EF⊥A即A1C1与EF所成的角为23.【答案】B【解析】过E作EQ⊥CD于Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD因为平面ECD⊥平面ABCD所以EQ⊥平面所以EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，设CD=2，易知EQ=3，QN=1则EN=EQ2易知BE=BD，又因为M为DE的中点，所以BM⊥DE，所以BM=B所以BM=7所以BM≠EN．又因为点M，N，B，E均在平面BED内，所以BM，EN在平面BED内，又BM与EN不平行，所以BM，EN是相交直线．24.【答案】C【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z由条件可