2025年上学期高一数学幂函数与三角函数初步试题

2025年上学期高一数学幂函数与三角函数初步试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）下列函数中，是幂函数的为（）A.(y=2x^3)B.(y=x^2+1)C.(y=x^{-2})D.(y=(x-1)^3)函数(f(x)=x^{\frac{2}{3}})的定义域是（）A.((-\infty,+\infty))B.([0,+\infty))C.((0,+\infty))D.((-\infty,0)\cup(0,+\infty))若幂函数(y=x^a)的图像过点((2,8))，则(a)的值为（）A.(-3)B.(3)C.(\frac{1}{3})D.(-\frac{1}{3})函数(f(x)=x^3)与(g(x)=x^{\frac{1}{3}})的图像关于（）A.(x)轴对称B.(y)轴对称C.原点对称D.直线(y=x)对称已知角(\alpha)的终边经过点(P(-3,4))，则(\sin\alpha)的值为（）A.(\frac{3}{5})B.(-\frac{3}{5})C.(\frac{4}{5})D.(-\frac{4}{5})下列函数中，最小正周期为(\pi)的是（）A.(y=\sinx)B.(y=\cos2x)C.(y=\tan\frac{x}{2})D.(y=\sin\frac{x}{2})函数(y=\sinx+\cosx)的最大值为（）A.(1)B.(\sqrt{2})C.(2)D.(\frac{\sqrt{2}}{2})若(\sin\theta=\frac{1}{3})，且(\theta)为第二象限角，则(\cos\theta=)（）A.(\frac{2\sqrt{2}}{3})B.(-\frac{2\sqrt{2}}{3})C.(\frac{\sqrt{10}}{3})D.(-\frac{\sqrt{10}}{3})函数(y=\tanx)的图像的对称中心是（）A.((k\pi,0))（(k\in\mathbb{Z})）B.(\left(\frac{k\pi}{2},0\right))（(k\in\mathbb{Z})）C.((\pi,0))D.((0,0))函数(f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right))的单调递增区间是（）A.(\left[-\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi\right])（(k\in\mathbb{Z})）B.(\left[-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right])（(k\in\mathbb{Z})）C.(\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right])（(k\in\mathbb{Z})）D.([-\pi+2k\pi,2k\pi])（(k\in\mathbb{Z})）若(\alpha)为锐角，且(\cos\alpha=\frac{3}{5})，则(\sin2\alpha=)（）A.(\frac{12}{25})B.(\frac{24}{25})C.(\frac{7}{25})D.(-\frac{24}{25})已知函数(f(x)=x^a)在((0,+\infty))上单调递减，且(g(x)=\sin(ax))为奇函数，则(a)的值可以是（）A.(3)B.(2)C.(-1)D.(-\frac{1}{2})二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）函数(f(x)=x^2-2x+3)与幂函数(y=x^a)的图像有公共点((1,2))，则(a=)________。已知(\tan\alpha=2)，则(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)________。函数(y=\sqrt{\sinx})的定义域是________。若幂函数(y=x^a)的图像在第一象限内单调递增，且图像关于原点对称，则(a)的取值范围是________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知幂函数(f(x)=x^m)的图像过点((4,2))，求：（1）函数(f(x))的解析式；（2）函数(f(x))在区间([1,16])上的值域。18.（本小题满分12分）计算下列各式的值：（1）(27^{\frac{2}{3}}+\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}-\log_28)；（2）(\sin\frac{3\pi}{2}+\cos\pi-\tan\frac{\pi}{4}+\sin0)。19.（本小题满分12分）已知角(\alpha)的终边在直线(y=-2x)上，且(\alpha)为第四象限角，求(\sin\alpha)、(\cos\alpha)和(\tan\alpha)的值。20.（本小题满分12分）已知函数(f(x)=\sin2x+\cos2x)。（1）求函数(f(x))的最小正周期；（2）求函数(f(x))的最大值及此时(x)的取值集合；（3）求函数(f(x))在区间(\left[0,\frac{\pi}{2}\right])上的单调递减区间。21.（本小题满分12分）已知幂函数(y=x^a)与(y=x^b)的图像分别过点(A(2,8))和(B(4,2))。（1）求(a)和(b)的值；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图像，并指出它们的单调性；（3）解不等式(x^a>x^b)。22.（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x^3-3x)。（1）判断函数(f(x))的奇偶性，并证明；（2）求函数(f(x))在区间([-2,2])上的最大值和最小值；（3）若(f(x)=2)，求(x)的值。参考答案及评分标准（部分）一、选择题C2.A3.B4.D5.C6.B7.B8.B9.B10.A11.B12.C二、填空题(0)（解析：将点((1,2))代入(y=x^a)，得(1^a=2)，无解；但题目中“公共点”可能为(f(x))与幂函数的交点，需重新审题：若幂函数过点((1,2))，则(1^a=2)不成立，推测题目应为“函数(f(x)=x^2-2x+3)与幂函数(y=x^a)的图像有公共点((1,2))”，此时(f(1)=1-2+3=2)，幂函数过点((1,2))不成立，可能题目有误，若改为“过点((1,1))”，则(a)为任意实数，此处按原题意，可能答案为(0)，即(y=x^0=1)（(x\neq0)），与(f(x))交于((1,2))不成立，建议检查题目）(3)（解析：分子分母同除以(\cos\alpha)，得(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3)）([2k\pi,\pi+2k\pi])（(k\in\mathbb{Z})）((0,+\infty))且(a)为奇数（解析：单调递增则(a>0)，关于原点对称则(a)为奇函数，即(a)为奇数）三、解答题（部分详解）解：（1）因为幂函数(f(x)=x^m)过点((4,2))，所以(4^m=2)，即(2^{2m}=2^1)，解得(m=\frac{1}{2})，故(f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x})。（5分）（2）因为(f(x)=\sqrt{x})在([1,16])上单调递增，所以当(x=1)时，(f(x){\min}=1)；当(x=16)时，(f(x){\max}=4)，故值域为([1,4])。（10分）解：（1）(f(x)=\sin2x+\cos2x=\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right))，所以最小正周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)。（4分）（2）最大值为(\sqrt{2})，此时(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi)，即(x=\frac{\pi}{8}+k\pi)（(k\in\mathbb{Z})），取值集合为(\left{x\midx=\frac{\pi}{8}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right})。（8分）（3）令(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{4}\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi)，解得(\frac{\pi}{8}+k\p