专题02对数的运算（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

专题02对数的运算教学目标1．理解对数的运算性质推导及换底公式的过程.2．掌握对数的运算性质及应用3．学会用对数换底公式进行化简求值等应用.教学重难点重点：（1）能推导出对数的换底公式（2）会用对数换底公式进行化简与求值.难点：理解对数的运算性质推导及应用.知识点01对数的运算性质（重点）如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么运算数学表达式自然语言描述积的对数正因数积的对数等于同一底数的各因数的对数的和商的对数两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数(n∈R)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数【记忆口诀】(1)积的对数等于对数的和．(2)商的对数等于对数的差．(3)真数的幂指数可变积．【即学即练】1.lg2＋lg5＝________.【答案】1【分析】根据对数的加法运算求解即可.【详解】lg2＋lg5＝lg10＝1．2.（24-25高一下·甘肃天水·期末）的值为.【答案】4【分析】根据对数的乘法运算求解即可.【详解】.3.用表示；【分析】根据对数的乘法运算求解即可.【详解】.知识点02换底公式（重难）1.换底公式(1)一般形式：＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)；(2)常用形式：logab＝eq\f(lgb,lga)，logab＝eq\f(lnb,lna).2.换底公式的推论：(1)=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

(2)(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

(3)(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).【即学即练】1.计算：log1627log8132．【分析】在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值.【详解】log1627log8132＝eq\f(lg27,lg16)·eq\f(lg32,lg81)＝eq\f(lg33,lg24)·eq\f(lg25,lg34)＝eq\f(3lg3,4lg2)·eq\f(5lg2,4lg3)＝eq\f(15,16).2．计算：log225·log34·log59＝________.【答案】8【分析】在三个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值.【解析】log225·log34·log59=题型01利用对数的运算性质计算或化简【典例1】计算：(1);(2)lg14-2lg+lg7-lg18;(3);(4)【分析】(1)注意到,故可逆用对数运算性质将两个对数式“收”在一起;(2)思路1将大数化为较小数的乘方，分数的对数化为对数的差，即利用“拆”的策略；思路2，将其“收”为一个对数式;(2)用lg3表示分子分母或换成底数为3的对数再进行运算;(3)提取公因式，利用化简.【解析】(1)原式=.(2)解法一：原式=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0解法二：原式=lg(3)原式=(4)原式=利用对数的运算性质计算或化简即利用对数的运算性质对底数相同的对数式的化简和求值，具体策略有两种：(1)“收”，将同底的两数的和(差)收成积(商)的对数,即逆用对数的运算性质求解；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即正用对数的运算性质求解.【变式1-1】（2026高三·河北石家庄·专题练习）计算：（

）A．10 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】根据对数运算性质即可得到答案.【详解】原式.故选：B.【变式1-2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）．【分析】利用对数运算将目标式转化为关于的表达式，然后展开整理即可.【详解】.【变式1-3】（24-25高一上·全国·课后练习）求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【详解】（1）；（2）；（3）.【变式1-4】（24-25高一上·新疆和田·期末）计算：【分析】根据对数的运算法则进行化简求解.【详解】.题型02用已知对数表示其他对数式或指数式【典例2-1】（24-25高一上·全国·阶段练习）用表示下列各式：；（2）；（3）.【详解】(1)；(1)；(3).【典例2-2】已知lg2=m,lg3=n,求的值.【分析】将对数式lg2=m,lg3=n分别转化为指数式.【解析】∵lg2=m,lg3=n,∴.∴用已知对数表示其他对数式或指数式此类题型主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，解此类问题要能熟练掌握所学的有关对数及其运算性质的知识，有时还会用到整体思想．【变式2-1】已知，则__________．【答案】【解析】∵，∴，∴．【变式2-2】（24-25高一上·湖北武汉·课堂练习）已知，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【详解】，（1）.（2）（3）.（4）.题型03利用换底公式简单求值【典例3】（24-25高一上·全国·课后练习）化简下列各式：（1）；（2）.【详解】（1）根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简可得（2）根据对数的运算性质,化简可得利用换底公式进行化简求值的原则和技巧(1)原则：化异底为同底；利用换底公式进行化简求值的原则和技巧(1)原则：化异底为同底；(2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底；②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值.【变式3-1】（24-25高一上·江苏南京·课后练习）化简(2log4A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式=(2×=4故选：B.【变式3-2】（24-25高一上·山东滨州·期末）式子（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得.【详解】.故选：C.【变式3-3】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）化简.【详解】题型04换底公式之解含参数的求值问题【典例4】（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（

）A． B．C． D．【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解.【详解】由可得：.则.换底公式之解含参数的求值问题（1）用换底公式统一底数；（2）整理为关于参数的方程或不等式；（3）结合整体思想转化求解，同时要注意参数的取值限制.【变式4-1】（24-25高二下·山东德州·期末）已知，若，则（

）换底公式之解含参数的求值问题（1）用换底公式统一底数；（2）整理为关于参数的方程或不等式；（3）结合整体思想转化求解，同时要注意参数的取值限制. B． C． D．36【答案】B【分析】利用指数、对数运算法则计算即可得出结果.【详解】由可得,由可得；所以.故选：B【变式4-2】已知，，则【答案】-1【详解】由题设，，根据换底公式，则.故答案为：【变式4-3】（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为【答案】【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解.【详解】由，得，而，所以.【变式4-4】（24-25高二下·天津河北·期末）若正实数m，n，t满足，且，则.【答案】【分析】根据对数和指数的互化方法，求出参数的表达式，根据换底公式列出方程，根据对数运算公式，求出参数值.【详解】已知，则，根据换底公式可得，则，变形得，解得.题型05换底公式之用已知量表示【典例5】已知，用表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，所以故选：B.换底公式之用已知量表示此类题型主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，求解过程中注意用换底公式将所求式的底数转化为已知式的底数，再借助对数运算加以解决.【变式5-1】（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（

） B． C． D．【答案】C【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项.【详解】由，得，，，，，，则，根据可知.故选：C【变式5-2】（多选）（24-25高一下·浙江湖州·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】应用指对数互化、对数运算法则、换底公式及对数函数的性质分别判断各个选项即可.【详解】对于A，，所以，故A不正确；对于B，由，得，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.【变式5-3】（24-25高二下·山东青岛·期末）已知，若，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值.【详解】由题意得：，所以或，即或，因为，所以，即，取等号条件为，此时，故选:D题型06利用换底公式证明恒等式【典例6】（24-25高一上·全国·课后练习）证明：（1）；（2）.【详解】证明：（1）.故.（2），利用换底公式证明恒等式利用换底公式证明恒等式时，要注意从繁琐的一边证到另一边，在证明的过程中，往往借助换底公式化异为同，即将不同的底数的对数化为同底的对数（如自然对数，常用对数），借助对数运算转化到另一边.【变式6】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：．【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明.【详解】设，显然，则，可得，所以.题型07解对数方程【典例7】（24-25高三上·浙江·开学考试）方程的实数解有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】由换底公式变形解对数方程即可.【详解】，所以或，所以或，所以方程的实数解有2个.故选：C.对数方程的类型及解法名称对数方程的类型及解法名称题型解法基本型logaf(x)＝b将对数式转化成指数式f(x)＝ab同底型logaf(x)＝logag(x)转化成f(x)＝g(x)，需验根需代换型F(logax)＝0换元，令t＝logax，转化成关于t的方程【变式7】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知，是方程的两根，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据根与系数关系、对数运算求得正确答案.【详解】方程的判别式，则，所以.故选：D题型08对数运算的实际应用【典例8】（24-25高三上·北京·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可列方程，结合指对数的转化公式化简求值.【详解】设经过天“进步者”是“退步者”的倍，即，即，化简可得，故选：A.对数运算的实际应用求解策略在日常实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的运算性质以及两边取对数的方法计算求解.【变式8-1】（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中v为风速，单位：为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预瞥，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为（注：）（

）A．2级 B．3级 C．4级 D．5级【答案】D【分析】代入,根据指对互化即可求解.【详解】将代入公式得，所以，即该地区此次大风的风力等级约为5级，故选:D．【变式8-2】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为克，这意味着宇宙的总质量约为克，每克物质含有大约个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数将达到．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，则下列数据中与最接近的是（参考数据：）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设条件结合对数运算性质计算即可求解.【详解】由题得，所以，所以与最接近的是.故选：C【变式8-3】（24-25高一上·四川达州·期末）声强级（单位：dB）公式，其中为声强（单位：），繁忙的交通道路声强约为，其声强级为（

）A．60dB B．70dB C．80dB D．90dB【答案】B【分析】利用给定的模型，代入计算即得答案.【详解】在中，当时，，所以所求声强级为70dB.故选：B题型9对数运算性质与换底公式综合应用【典例9】（多选）（24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】令，可得，，，，故A正确；，故B正确；，，所以，得，又，所以，得，所以，，故C不正确；，故D正确；故选：ABD【变式9-1】求满足下列条件的各式的值：（1）若，求的值；（2）若，求的值.【详解】解：（1），；（2），.【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题.【变式9-2】（21-22高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值(1)若，求的值；(2)设，求证：.【详解】（1），，，（2）证明：设，则，，.所以，，.所以，所以.练基础1．（24-25高一下·云南昆明·期末）（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据指对数运算即可得到答案.【详解】.故选：C.2．（24-25高一上·全国·课后作业）（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根据对数的运算法则计算.【详解】.故选：A.3．（24-25高一上·全国·课后作业）设有下列四个等式：①；

②；

③；

④．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】C【分析】根据对数的运算性质逐一计算即可.【详解】对于①，，①错误；对于②，，②正确；对于③，，③正确；对于④，，④错误．故选：C.4．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则用表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数的运算律，可得答案.【详解】因为，所以.故选：A.5．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的运算性质即可求解.【详解】.故选：B6.（多选）．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列表达式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由根式、有理数指数幂的运算判断A、B；由对数的运算性质判断C、D.【详解】A：若时，，错；B：，对；C：，对；D：，对.故选：BCD7.（多选）（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）若且，，，则下列式子中正确的个数为（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用对数的运算法则判断A，D，举反例判断B，C即可.【详解】对于A，由对数的运算法则得，故A正确，对于B，取，，，则，，等式不恒成立，故B错误，对于C，取，，则，，等式不恒成立，故C错误，对于D，由对数的运算法则得，故D正确.故选：AD8．（24-25高一上·山东潍坊·期末）.【答案】【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算胶对数换底公式计算得解.【详解】.9．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知，则.【答案】1【分析】利用对数的运算即可求解.【详解】由，则.故答案为：1.10．（24-25高一上·天津·阶段练习），则用和表示的结果为【答案】【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解.【详解】由，得，而，所以.11．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算性质结合换底公式求解即可.【详解】（1）原式.（2）原式.（3）分子；分母，故原式.12．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）1【分析】（1）（2）根据对数运算的概念以及运算律，可得答案.【详解】（1）由已知，，所以.（2）因为，所以，解得，由，解得，所以.练提升13．（24-25高三上·河南·开学考试）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指对数互化、对数的运算性质和换底公式计算找到关系式；【详解】因为，所以，，故.故选：A.14．（24-25高一上·吉林长春·期中）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由对数运算可得，利用基本不等式可求的最小值.【详解】由，可得，所以，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C.15．（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列各式正确的是（

）A．（，） B．C．若，则 D．【答案】BC【分析】利用指数幂的运算判断A；利用对数的运算判断B；利用指数与对数的互化判断C；利用换底公式判断D.【详解】，A错误；，B正确；若，则，所以，C正确；，错误，故选：BC.16.（24-25高二下·辽宁·期末）若，且，则的最小值为.【答案】81【分析】利用基本不等式及对数的运算法则,最后借助对数函数的单调性即可求解.【详解】，，，，当且仅当即时等号成立，又，，，则的最小值为.17．（24-25高一下·海南海口·期末）某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为．【答案】【分析】由题意可得，再结合对数的运算即可求解.【详解】由题意可得当时，，所以.18.（24-25高一下·贵州六盘水·期末）若函数在上的最大值是最小值的2倍，则.【答案】5【分析】根据对数函数的单调性，可求得，再结合对数运算即可求解.【详解】因为，所以函数在单调递增，所以其最小值为，最大值为，因为最大值是最小值的2倍，所以，解得或（舍），因此，则.19.（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知.(1)求的值；(2)设，求证：.【分析】（1）将两边取对数化简即可得解；（2）由(1)解得，代入计算即可得解.【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以.（2）由，得，.所以，，则，故.20．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明