2024年安徽省合肥六中高考数学最后一卷附答案解析

2024年安徽省合肥六中高考数学最后一卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.（5分）设全集U=R集合朋=｛小<2｝,N=｛x|-2VxV3）,则｛.小23｝=（）

A.Cu（MUN）B.NU（CuM）C.Cu（MAN）D.MU（QjN）

2.（5分）己知复数z满足|4-z=2+i,则z=（）

3.（5分）已知向量a=（2,t）,b=（1,2）,若当/=〃时，a'h=\a\•\b\,当t=ti时，Q_Lb,则（）

A.t\=-4,t2=-1B.t\=-4,t2=｝

C.ri=4,t2=-1D.t\=4,12=1

4.（5分）已知函数/J）=历//〃（2-x）,记a=/（孝），b=/（^）,c=/（彝，则（）

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

5.（5分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为小b,c,若b=2,誓=叱管，2薪二薪，

则|扇|可能是（）

12

A.-B.-C.1D.2

23

x2x2

6.（5分）已知椭圆Ci：—+y2=与双曲线。2：-y2=l（n>0）的焦点重合，e\,々分别

为a,C2的离心率，则（）

A.e]ei>2B.ei+e2>2C.0Veie2<2D.0<ei+e2<2

7.（5分）已知等差数列｛a〃｝的公差为d,前〃项和为S〃，—>2,数列｛加｝满足bn=迫，则下列等式不

Q.n

可能成立的是（

A.bl=b2b8B.2b4=b2+bb

C.2〃4=。2+。6D.al=a2a8

8.（5分）已知两个不同的圆Ci,C2均过定点A（a,b）,且圆Ci,C2均与x轴、y轴相切，则圆Ci与圆

C2的半径之积为（）

a2+b2

A.\ab\B.2|刈|C.a2+b2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）近年来，合肥汽车产业处在高速发展阶段，新能源赛道尤为突出，被工业和信息化部

批准为全国唯一新能源汽车产业链供应链生态体系建设试点市.某专业机构评定新能源汽车品质优秀的

一个指标为“某地区连续14天每天发生故障的车辆不超过7台”.根据该地区过去14天甲、乙、丙、

丁四种品牌新能源车辆故障数据，可知一定符合该品质优秀指标的是（）

A.甲品牌：平均数为4,极差为4

B.乙品牌：平均数为1,标准差大于0

C.丙品牌：平均数为2,方差为2

D.丁品牌：中位数为2,众数为3

（多选）10.（6分）已知指数函数/（x）,g（x）,hJ）的底数分别为。，〃，c,则下列说法正确的是（）

A.当ab=1时，函数＜p（A）=/（x）+g（x）无极值点

B.在指数衰减模型），=4/（K）中，设原有量为人《＞0）,经过x次衰减，该量衰减到卫，则每次衰减

率为I-a

C.若a,b,c是三角形的三边长，则mxER,使得f（x）,g（%）,h（x）不能构成一个三角形的三边长

D.若小b,c是三角形的三边长，且c所对的内角是该三角形的最大内角，则以隹（-8,1）,/J）

+g（x）-h（x）＞0

（多选）11.（6分）记正四棱柱为Q,截面T将正四棱柱。分成两部分，点£F,G,

”分别在棱A41，BBi,CCi,DD\上，且EFuT,GHuT,记伊分|=Q,\BF\=b,\CG\=c,\DH\=d,

则下列说法正确的是（）

A.四边形EFGH为矩形

B.。-d=b-c

V6

C.若截面T是有一个角为60°的菱形Aba”，则截面T与。的底面夹角的正弦值为:

D.若。的侧棱长为3,设a,b,ceN,则在确定的空间直角坐标系中，不同的点M（a,b,c）共42

个

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）从5男2女共7名志愿者中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要

求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）

13.（5分）已知四面体A8CO的体积是匕棱AB的长是c,△ABC和△AB。的面积分别是Si和S2.设

平面4BC和平面ABO的夹角为a,若sina=cV,则352=.

14.(5分)在平面直角坐标系中，已知动点A和C,定点8(3,0)和M(2,2),若|8C|=6,且△ABC

的周长恒为16,则H3I+HM的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)某商场零食区改造.如图，原零食区是区域ODBC,改造时可利用部分为扇形区域OA。，已

知NOCB=乙?。＜=*,00=10代米，6。=10米,I乂域OBC为二角形,区域。W是以04为半件的

扇形，且乙4。0=着.

(I)若需在区域OA4C外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度;

(II)在区域0/1。中，设置矩形区域，G//作为促销展示区，求促销展示区的面积S的最大值.

16.(15分)春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节.某校高二年级某组团统计了

流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：

因发烧请假非发烧请假合计

流感暴发前1030

流感暴发后30

合计70

(I)完成2X2列联表，并依据a=0.00I的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧

的人数有影响.

(H)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为40%,且20%的因发烧请假的男生需要输

液治疗，30%的因发烧请假的女生需要输液治疗.学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行

慰问，求这名同学是女生的概率.

2

2n(ad-bc)

附：X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)・

0.050.010.001

而3.8416.63510.828

17.(15分)图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该

接收器的口径为8=4火，深度MO=2,信号处理中心尸位于抛物线的焦点处，以顶点O为坐标原点，

以直线OF为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系xOy.

(I)求该抛物线的方程；

(II)设Q是该抛物线的准线与x轴的交点，直线/过点Q,且与抛物线交于R,S两点，若线段R5

上有一点p,满足二4=叁与，求点p的轨迹方程.

图1图2

18.(17分)如图所示，在长方体中，4D=I,AA\=AB=2,M为棱。Di的中点.

(I)若尸是线段8M上的动点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明

理由.

(H)过4M作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围.

19.(17分)已知函数/(x)=a(1-21nx)+4/(«eR).

(I)讨论/(/)的单调性；

(II)若xi,X2(xi#x2)为函数g(x)=kx2+一也％的两个零点，求证:(%i%2)4>12e*.

2024年安徽省合肥六中高考数学最后一卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.(5分)设全集U=R.集合M={MX<2},N={X\-2<X<3'：,则{.中23}=()

A.Cu(MUN)B.NU(CuM)C.Cu(MGN)D.A/U(CuN)

【解答】解：由题意得MUN={H«V3},

所以Cu(MUN)={4r23}.

故选：A.

2.(5分)已知复数z满足|z|-z=2+i,则2=()

3Q3Q

A.—+iB.-7+iC.~~iD.——i

4444

【解答】解：设2=〃+6(a,bER),

由题意知，Va2+h2—a-bi=2+i,

由实部、虚部分别相等，得「庐市一0=2,

1-0=1

3

-

4?

所以z=-

故选：。.

3.（5分）已知向量;=（2,t）,b=（1,2）,若当t=t\时，向•山，当『=投时,31U则（）

A.t\=-4,/2=-IB.t\=-4,Z2=1

C.fi=4,t2=~1D.Zi=4,/2=1

【解答】解：当z="时，a-b=\a\'\b\,即a与b方向相同，

所以2X2=AX1,解得八=4：

当/=/2时，a工b,即a•/）=（）,

所以2X"2/2=0,解得/2=-1.

故选：C.

4.（5分）已知函数/（x）=lnx+ln（2-x）,记a=/（孝），匕=f（空），c=f（坐），则（）

A.a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

【解答】解：根据复合函数的性质可知，/a）=/〃（2x-/）在区间（0,1）上单调递增，在区间（I,

2）上单调递减，

又/（2-x）=ln（2-x）+lnx=f（x）,

所以/（x）的图象关于直线工=1对称，

又0〈孝〈竽<坐〈1,

所以「哈v/（苧）寸（歙

又/（字）=/（2-苧）=/（匏

故b>c>a.

故选：B.

cosAosC

5.（5分）记AABC的内角A,B.。的对边分别为小4c,若b=2,=^,2AM=MCt

ba+c

则I扇I可能是（）

12

A.-B.-C.1D.2

23

・hhrE、，cosBcosA+cosC

【解答】解：因为6=2,——=----------，

ba+c

由正弦定理可得cos8sirbA+cosBsinC=sin8cosA+sinBcosC,

整理可得sin（A-B）=sin（B-C）,

在三角形中，可得A-4=3-C,即23=A+C,

又因为A+5+C=180°,

所以8=60°,

设△ABC的外接圆圆心为O,

则动点B的轨迹为优弧AC（不包括A、点C）,

设NMO8=B（OVBWn）,

则BM是关于。的函数，且是增函数，

当0=n,即B,O,M三点共线时，8M最大，此时8M=0M+08=等起，

•3

当B^A时，8M-AM,即BM->|,

所以|晶|的取值范围为《，弩刍，

比较各个选项，只有C正确.

故选：c.

22

6.(5分)已知椭圆。：—+y2=与双曲线Q：-y2=l(n>0)的焦点重合，ei,g分别

为Ci,C2的离心率，则()

A.eie2>2B.e]+ei>2C.0<eie2<2D.0<e]+e2<2

・一…o、1111m2n2m2-¥m2-2

【解答】解：由己知得m--\=n-+\,―+―=+TTTT=+TT7=-----2~1—=2'

e｛比M17t+im2z-ln2+lmz-l

m2n2

由去+±*>5"，得eie2>l,又-2,

当e[=苧，&2=苧时，6送2=邛^<2，

、匕2《3b向n_8、1'15、今

当e[=]5'e2—o2V2时，e\ez=巧>2.

故选:B.

7.(5分)已知等差数列/〃｝的公差为乩前〃项和为S〃，—>2,数列｛加｝满足勾=算，则下列等式不

n

a1

可能成立的是()

A.Z?4=b2b8B.2bA=b2+b6

C.2〃4=。2+。6D.al=a2a8

【解答】解：等差数列｛“〃｝的公差为d,前〃项和为S〃，若色22,则首项m>0时，公差422m；当

a\<0时，d£2al.

因为S"=M+""%,所以%=萼=2"([。川=2ai+(2/?-1)d=(2m+d)+(〃-1)

X2d,

因此，数列｛仇｝是以2ai+d为首项，公差为2d的等差数列.

对于A,取m=l,d=2,则/=4+4(〃-l)=4〃，可得比=4,〃4=8,公=16,此时=与仇，故

4项不符合题意；

对于B,由于｛加｝是等差数列，所以助4=历+久恒成立，故B项不符合题意；

对于C,由于他〃｝是等差数列，所以244=42+46恒成立，故C项不符合题意；

对于D,若谖=a2a8,则谖-a2a8=(ai+3d)2-(%+dj(ai+7d)=2d(d-a-=0,

解得d=0或d-ai=0,即d=0或d=ai,与己知条件矛盾.所以谒二。2。8不可能成立，故。项符合

题意.

故选：D.

8.（5分）已知两个不同的圆Ci,C2均过定点4（小〃），且圆Ci,C2均与x轴、y轴相切，则圆。与圆

C2的半径之积为（）

22

99a+b

A.|必B.21a4C.A2+Z?2D.---

【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

①点A不在坐标轴上，即点A在某个象限内；

若点A在第象限时，圆。，的方程为Jr）2十（），-「）2=j（r>0）的形式，

代入点月（a,b）的坐标，可得关于「的方程，・2（a+〃）汁/+.=o,

此时圆。，C2的半径门，n是该方程的两个不同实根，所以川/2=/+序，

同理，当点4在第二、三、四象限时也可得「n

②点A在坐标轴上：

当点4在），轴上时，a=0,此时圆Ci,C2的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在A

点处相切，且r\=n=\b\,满足门r2=a2+b2,

同理，当点A在x轴上时，b=0,同样满足川以=。2+房，

综合可得：nr2=a2+b2.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）近年来，合肥汽车产业处在高速发展阶段，新能源赛道尤为突出，被工业和信息化部

批准为全国唯一新能源汽车产业链供应链生态体系建设试点市.某专业机构评定新能源汽车品质优秀的

一个指标为“某地区连续14天每天发生故障的车辆不超过7台”.根据该地区过去14天甲、乙、丙、

丁四种品牌新能源车辆故障数据，可知一定符合该品质优秀指标的是（）

A.甲品牌：平均数为4,极差为4

B.乙品牌：平均数为1,标准差大于0

C.丙品牌：平均数为2,方差为2

D.丁品牌：中位数为2,众数为3

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,若最大数不小于8,日于其极差为4,则最小数不小于4,故其平均数大于4,与已知矛盾，故

其最大值小于等于7,可以判断其一定符合该品质优秀指标，符合题意；

对于以举出反例，8个数据为1个6,1个8,其余数均为0,不能判断其一定符合该品质优秀指标,

不符合题意；

对于C若最大的数据。不小于8,则(。-2)2236,与方差为2矛盾.故其最大值小于等于7,可以

判断其一定符合该品质优秀指标，符合题意：

对于。，举出反例，1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,9,不能判断其一定符合该品质优秀指

标，不符合题意.

故选：AC.

(多选)10.(6分)已知指数函数/(A),g(x),hCx)的底数分别为a,b,c,则下列说法正确的是()

A.当必=1时，函数<p(x)=f(x)+g(x)无极值点

B.在指数衰减模型y=V(x)中，设原有量为A(*>0),经过x次衰减，该量衰减到y,则每次衰减

率为1-a

C.若小〃，c是三角形的三边长，M3.VGR,使得/(1)，g(x),h(x)不能构成一个三角形的三边长

D.若a,乩c是三角形的三边长，且c所对的内角是该三角形的最大内角，则V尤(-8,1),/a)

+g(x)-h(x)>0

【解答】解：对于A,当帅=1时，函数叩(x)=f(x)+g(x)="+门为偶函数，

(ax—l)(ax+l)

当1时，求导可得(p'(x)=axlna-axlna=bia(/-ax)=lna*------------,

ax

所以(PG)在(・8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以x=0为其极小值点；

同理当OVaVl时，工=()为其极小值点，故错误；

对于4,由相关概念可知正确；

对于C,当〃=4,b=16,c=16,工=一段时，满足条件，故正确；

对于O,由已知得c>b,a+b>c,axbx—cx=cx[(^)x+(^)x-1],

设P。)=6)、+6)”-1，则〃(X)是减函数，

x7小a[b1a+b-c.A

乂p(l)V-V1=—U—>0,

所以VxW(-8,1),p(x)>0,

又F>0，

故VxW(-8,|),f(x)+g(x)-h(x)>0,f(x)+g(x)-h(x)>0»故正确.

故选：BCD.

（多选）II.（6分）记正四棱柱八8（7。-4向。。|为。，截面1将正四棱柱。分成两部分，点E,F,G,

〃分别在棱A41，BBT,CCI,QOi上，且E尸UT,GHcT,i^\AE\=a,\BF\=b,\CG\=c,\DH\=d,

则下列说法正确的是（）

A.四边形£FGH为矩形

B.a-d=b-c

C.若截面T是有一个角为60°的菱形4FC1”,则截面T与C的底面夹角的正弦值为当

D.若。的侧棱长为3,设a,b,cGN,则在确定的空间直角坐标系中，不同的点M（小b,c）共42

【解答】解：设正四棱柱/WCQ-AiBiaQi的度面边长为2〃?，侧棱长为2”,

•・•平面A&Mi〃平面且T0平面AB31Al=EF,TC平面CQQCi=G”,

:.EF//GH,同理G”〃G”，

・•・四边形EFG”为平行四边形，故A错误；

11TT1TT

设EGCFH=P,ACC\BD=Q,则|PQ|=*(|AE|+|CG|)=+|DH|),

，a+c=/?+d,BPt?-d=b-c,故B正确；

由选项4得，若AFCiH为菱形，则F,”分别为BBi,。0的中点,

由题意知，/"4尸=60°,即是等边三角形,

V4m2+n2=2>/2m,解得〃=2〃i,

分别取A4,CCi的中点M,N,

可知MFNH与ABCD全等，且平面MFNH〃平面ABCD,

VMNIHF,AC\1HF,

・•・截面T与。的底面夹角的正弦值为F，故C错误；

由选项4知，a+c=b+d,

设a+c=力十△=/,ze(I»2,3,4,5),

当/=1时，〃的取值有2种可能，力的取值有2种可能，所以点M(〃，b,c)有2X2=4个；

当/=2时，。的取值有3种可能，。的取值有3种可能，所以点M(a,b,c)有3X3=9个；

当，=3时，点M(a,b,c)有4X4=16个；当f=4时，点M(a,b,c)有3X3=9个；

当，=5时，点M(a,b,c)有2X2=4个，故不同的点M(“，b,c)共42个.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)从5男2女共7名志愿者中选出队长I人，副队长I人，普通队员2人，组成4人服务队，要

求服务队中至少有1名女生，共有360种不同的选法.1用数字作答)

【解答】解：从5男2女共7名志愿者中选出队长1人,副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，

要求服务队中至少有1名女生，

共有行掰-酸&=360种不同的选法.

故答案为：360.

13.(5分)已知四面体48C。的体积是V,棱48的长是c,ZLABC和△A8O的面积分别是Si和S2.设

3

平面ABC和平面48。的夹角为a,若sina=cV,则SiS2=-.

~2~

1-217

【解答】解：设三棱锥o-ABC的高为〃，则「S1•h=匕所以仁却

设△ABO的边AB上的高为hi,

贝gc・/?i=S2,所以九1=%，所以s削a=6=2S|S2,

又sina=cV,所以5岛=

故答案为：|.

14.(5分)在平面直角坐标系中，已知动点A和C,定点8(3,0)和M(2,2),若|BC|=6,且△4BC

的周长恒为16,则IA8I+MM的最小值为_追_.

【解答】解：由题意知，点C在以6为圆心，6为半径的圆上运动，点A在以比C为焦点，长轴长为

10的椭圆上运动（长轴两端点除外），

为方便计算，可将8,。视为定点，则点M在以8为圆心，遥为半径的圆上运动,

以BC的中点O为坐标原点，直线BC为x轴建立如图的直角坐标系，

设点B（3,0）和C（-3,0）,

则点A的轨迹方程为二+9=1（XA±5）,因为M（2,2）,

由图可知+\AM\>18Ml=V5,

当M,A,8三点共线时（A在B,M之间或A,M重合），等号成立，

所以|/W|+|AM|的最小值为花.

故答案为：V5.

四、解答题：本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）某商场零食区改造.如图，原零食区是区域。。打C,改造时可利用部分为扇形区域OAQ,已

知N0C3=乙（?。力=*,OC=10V5米，4C=10米，区域OBC为三角形，区域0A3是以04为半径的

扇形,且乙4。。=强

（I）若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；

（II）在区域。4。中，设置矩形区域作为促销展示区，求促销展示区的面积S的最大值.

CB

【解答】解:(I)△OBC中，0C=l(h/3,8c=10,NOCB=E，

所以tan/40c=嚣=孚，所以N3OC=*OB=2BC=20,

所以04—20,ZBOA=2_1八〃的弧长为，="20=竽,

所以广告带的总长度为04+0。+8。+1=(30+10g+半)(米).

(II)连接OF,如图所示:

设“。力=e(ovev看)，RtZ\O/F中，0尸=20,所以F/=GH=20sine,O/=20cos8,

GH

RtAOG”中，由乙4。0=看，得OG==20V5s出8,所以G/=20cos0-206s出仇

碗

所以矩形HGIF的面积为S=(2Ocos0-2OV3sin0)-20sin6

=400si726cos。-400V3stn26

=2Q0[sin20—V3(l—cos20)]

=200[2sin(2^+5)-V3],

因为26>+^g,多，所以SW200(2一遥)=400—200万,

当2。+等=今即。=召时取得最大值.

。乙J■乙

所以促销展示区“G/r的面积5的最大值为(400-2006)平方米.

16.(15分)春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是沆感高发季节.某校高二年级某组团统计了

流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：

因发烧请假非发烧请假合计

流感暴发前1030

流感暴发后30

合计70

(I)完成2X2列联表，并依据a=0.0()l的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧

的人数有影响.

(II)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为40%,且20%的因发烧请假的男生需要输

液治疗，30%的因发烧请假的女生需要输液治疗.学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行

慰问，求这名同学是女生的概率.

n(ad-bc')2

附：附'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

【解答】解：（I）2X2列联表如下:

因发烧请假非发烧请假合计

流感暴发前102030

流感暴发后301040

合计403070

零假设为“0：流感暴发与请假的同学中发烧的人数之间相互独立,

70x(100-600)2

因为乃2=

30x40x30x40«12,153>10.828,

所以我们推断为不成立，即可以认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响;

（II）设A事件表示请假的同学为女生，3事件表示需要输液治疗,

P(71F)P(B\A)P(A)0.18_9

则P(川8)=P(B)=P(B|A>P(4)+P(B④P(Z)018+0.08-IT

所以这名同学是女生的概率为二.

17.（15分）图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该

接收器的口径4布，深度MO=2,信号处理中心立于抛物线的焦点处，以顶点O为坐标原点,

以直线OF为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系xOy.

（I）求该抛物线的方程；

（II）设Q是该抛物线的准线与x轴的交点，直线/过点。，且与抛物线交于兄S两点，若线段RS

上有一点P，满足”=幽，求点P的轨迹方程.

图1图2

【解答】解：（I）设抛物线的方程为（/?>o）,

因为|4B|=40.|MO|=2,

所以点力(2,26)在抛物线上，

此时(275)2=4p,

解得〃=3,

则抛物线的方程为r=6.v：

(n)由(I)知Q(—9，0),

设直线/的方程为y=k(x+9),R(xi,yi),S(X2,”)，P(x,y),

联立卜=A。+消去y并整理得1/+(31一6口+[/=0,

(y2=6%

此时△＞(),

解得-1＜火＜1且kWO,

由韦达定理得为+%2=3,xrx2=

因喘途

所以:-3

X2-X%2+-

2XX+1(X+X)3

1212

整理得％=-

X]+“2+32

因为y=k(%+])=3kE(-3,0)U(0,3).

3

-

故点P的轨迹方程为x2-3V)，V3且)，WO).

18.(17分)如图所示，在长方体A8CQ-4B1C1O1中，AD=\,AA\=AB=2,M为棱OD1的中点.

(I)若尸是线段8M上的动点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明

理由.

(II)过4M作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围.

【解答】解：(I)•・•在长方体A6cp-A15C1O1中，AD=\,AAi=A8=2,M是。口的中点,

：,DM=D\M=\,

=BM=显,A［B=2五,

222

*：AXM+BM=/l1B,

又点尸在线段BM上，

J向量4；P在4，上的投影向最为/1,，故力房M；P=\A^M\2=2,故/1》•力;P是否为定值为定值.

(II)设球心为O,外接球半径为上最小截面圆的半径为，，

2+22+223

由已知可得R=22-则最大的截面面积为7lR2=手

「长方体A8CO・48ICIQI中，DA,DC,ODi两两互相垂直,

，以。为坐标原点，DA,DC,OQi所在直线分别为x,y,z轴建立如图的空间直角坐标系,

则08,1,1),A\(1,0,2),M(0,0,1),

取：=晶=(一1一1,