第12讲对数运算及对数函数的应用（老师版）

第12讲对数与对数函数【基础回顾】知识点1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.知识点2．对数的性质与运算性质(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．知识点3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0增函数减函数知识点4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．【必备知识】2．如图，给出4个对数函数的图象．则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．可以令y=1得到x值，即为底数。题型一对数式的运算解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．【例题精讲】1．设a=log2025A．1 B．32 C．2 D．【答案】D【解答】解：根据对数的运算性质可得，a==2lo根据指数与对数的转化可得，5a故选：D．2．logA．94 B．2 C．138 【答案】C【解答】解：原式==lg=5lg2=5故选：C．3．计算：3log【答案】5．【解答】解：3log3π+(π−4)＝π+4﹣π+lg10＝4+1＝5．故答案为：5．4．已知a＞1，1log8a−【答案】64．【解答】解：由题意可得，a＞1，loga8−13loga2−1令loga2＝t（t＞0），可得3t−1即6t2+5t﹣1＝0，解得t=16或即loga2=1即a1解得a＝64．故答案为：64．5．272【答案】10．【解答】解：2=(＝32﹣log85•log52+1＝9−=9−log=9−1故答案为：10．题型二对数函数的定义域与值域定义域：2.若存在复合函数（如根号、分式等），需结合其他函数定义域规则综合求解．值域：【例题精讲】1．函数y＝lg[（x﹣1）（x﹣2）]的定义域为（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（1，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） D．（﹣2，﹣1）【答案】A【解答】解：根据题意，函数y＝lg[（x﹣1）（x﹣2）]，有（x﹣1）（x﹣2）＞0，解得x∈（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故选：A．2．若关于x的函数f（x）＝lg[loga（x2+ax+2）]的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）∪（1，2） B．(0，1)∪(1，22C．（1，2） D．(1，2【答案】C【解答】解：由关于x的函数f（x）＝lg[loga（x2+ax+2）]的定义域为R，可得a＞0，a≠1，且对任意x∈R，x2+ax+2＞0，①且loga对于①，Δ1=a2−8＜0，结合a若a∈（0，1），由②知对任意x∈R，x2+ax+2∈（0，1），矛盾；若a∈(1，22)，由②知对任意x∈R，x2+ax+2＞1，即x2+则Δ2=a2综上，当a∈（1，2）时，对任意x∈R，①②同时成立．故选：C．3．已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），g(x)=log3(x2A．0 B．1 C．3 D．5【答案】A【解答】解：当x≥2时，f（x）＝2x+1≥5，由题意可得a＝5，因为g(x)=log所以y＝x2﹣8x+5b＝（x﹣4）2+5b﹣16的值域为[9，+∞），所以5b﹣16＝9，即b＝5，则a﹣b＝0．故选：A．（多选）4．已知函数f(x)=logA．f（x）的图象恒过原点 B．若a＝0，则f（x）是增函数 C．若f（x）的定义域为R，则a的取值范围为(−1D．若f（x）的值域为R，则a的取值范围为(−∞，−【答案】AC【解答】解：对于A：因为f（0）＝log21＝0，则f（x）的图象恒过原点，故A正确；对于B：若a＝0，则f(x)=log因为f(−3)=f(3)=log24=2对于C：若f（x）的定义域为R，则x2﹣4ax+1＞0对任意x∈R恒成立，则Δ＝16a2﹣4＜0，解得−1所以a的取值范围为(−12，对于D：若f（x）的值域为R，则y＝x2﹣4ax+1的值域包含（0，+∞），即Δ＝16a2﹣4≥0，则a≤−12或则a的取值范围为(−∞，−12]∪[故选：AC．5．已知函数f(x)=log2(kx2+kx+1)，若f（x）的值域为【答案】4．【解答】解：由函数的值域为R，得y＝kx2+kx+1的值域包含（0，+∞），当k＝0时，y＝1显然不满足题意，故k≠0，则函数y＝kx2+kx+1，图象开口向上，且与x轴有公共点，于是k＞0Δ=k2−4k≥0，解得故答案为：4．题型三对数函数的单调性应用（解不等式、比较大小）1.若对数底数a确定，直接利用单调性去掉对数符号，注意真数大于0，如：【例题精讲】1．函数f(x)=log12A．a≥1 B．a≤﹣1 C．a≥2 D．a≤﹣2【答案】D【解答】解：因为函数f(x)=log欲使函数f(x)=log应有g（x）＝x2+2ax+a2+1在区间[﹣1，2]上单调递减，且x2+2ax+a2+1＞0，所以−2a2≥2g(2)＞0，即所以a的取值范围是{a|a≤﹣2}．故选：D．2．已知a＝0.53.1，b＝log0.90.3，c=log312，则a，A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b【答案】B【解答】解：因为y＝0.5x在R上单调递减，则0.53.1＜0.又因为y＝log0.9x在（0，+∞）上单调递减，则log0.90.3＞log0.90.9＝1，即b＞1；可得c=log综上所述：c＜a＜b．故选：B．3．已知函数f(x)=log2(4x+1)−x，则不等式f（A．（﹣∞，﹣1） B．(−1，1C．(13，+∞)【答案】D【解答】解：函数f（x）=log2(且f（x）=log满足f（﹣x）=log2(2故f（x）为R上的偶函数．当x≥0时，令t＝2x≥1，由双勾函数的单调性可得s=t+1t在[1，+∞）上为增函数，且而t＝2x在[0，+∞）上为增函数，故s=2而y＝log2s在[2，+∞）上为增函数，故f（x）在[0，+∞）上为增函数．由f（x﹣1）＜f（2x），得f（|x﹣1|）＜f（|2x|），故|x﹣1|＜|2x|，解得x＜﹣1或x＞1故原不等式的解集为(−∞，−1)∪(1故选：D．（多选）4．已知102a＝5，10b＝2，则（）A．a＜b B．2a+b＝1 C．log2a+log2b＜﹣3 D．2【答案】BCD【解答】解：由102a＝5得2a＝lg5，即a=12lg5=lg5，由10b＝2得b对于A，a﹣b＝lg5−lg2＝lg52＞lg1＝0，所以a＞b对于B，2a+b＝2×12lg5+lg2＝lg（5×2）＝lg10＝1，故对于C，因为a＝lg5＞lg1＞0，lg2＞lg则1=2a+b≥22a⋅b，当且仅当2a＝b因为2a＝lg5≠lg2＝b，故等号不成立，即ab＜1则log2a+lo对于D，易知，2a当且仅当2ba=2ab时等号成立，因为a≠b，故等号不成立，所以故选：BCD．（多选）5．下列不等关系成立的有（）A．30.7＞0.73 B．lg3＜ln0.9 C．log34＞log56 D．0.40.3＜0.30.4【答案】AC【解答】解：对于A，30.7＞1＞0.73，故A正确；对于B，lg3＞0，ln0.9＜0，故B错误；对于C，log34﹣log56=lg4故log34＞log56，C正确；对于D，0.40.3＞0.40.4＞0.30.4，故D错误．故选：AC．题型四对数函数的奇偶性与对称性2.对称性：【例题精讲】（多选）1．已知函数f（x）＝log2（1﹣|x|），则下列关于函数f（x）的说法正确的是（）A．f（x）的图象关于原点对称 B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）的最大值为0 D．f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增【答案】BC【解答】解：由1﹣|x|＞0得﹣1＜x＜1，∴f（x）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，由f（﹣x）＝log2（1﹣|﹣x|）＝log2（1﹣|x|）＝f（x），得f（x）＝log2（1﹣|x|）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，选项A错误，B正确；对于C，当0≤x＜1时，∵u＝1﹣x为减函数，f（x）＝log2u为增函数，∴f（x）＝log2（1﹣x）为单调递减函数，f（x）≤f（0）＝log2（1﹣0）＝0，又∵当﹣1＜x＜1时，f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）≤0，选项C正确；对于D，由选项C知，当0≤x＜1时，f（x）＝log2（1﹣x）为单调递减函数，f（x）的图象关于y轴对称，∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＝log2（1﹣x）为单调递增函数，选项D错误．故选：BC．2．已知幂函数y＝g（x）的图像过点（2，4），若函数f(x)=g(x)⋅log2(a−4x+2【答案】1．【解答】解：由幂函数g（x）＝xm过点（2，4），得2m＝4，解得m＝2，所以g（x）＝x2为偶函数，因为f（x）＝g（x）•log2（a−4x+2）为奇函数，所以h（x）＝log2（a所以h（﹣x）＝﹣h（x），即h（﹣x）+h（x）＝0，所以log2（a−4−x+2）+log2（a−4x+2）＝0，即（a−所以2a−ax−4−x+2•2a+ax−4x+2=1，即（2a﹣4）2﹣a2x2＝4﹣所以(2a−4)2=4a当a＝1时，h（x）＝log2x−2x+2且满足h（﹣x）＝log2−x−2−x+2=log2x+2x−2=−log2x−2x+2=−h（故答案为：1．3．已知函数f（x）＝logax−2x+2（1）判断函数奇偶性，并说明理由；（2）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）若函数的定义域为[α，β]，值域为[logaa（β﹣1），logaa（α﹣1）]，并且f（x）在[α，β]上为减函数．求a的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由x−2x+2＞0，解得x＞2或则定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），关于原点对称，又f（x）+f（﹣x）＝logax−2x+2+loga−x−2−x+2所以f（x）为奇函数；（2）由y＝logax−2x+2，即有x−2x+2=解得x=2(1+则有f−1（3）按题意，得log∴α−2α+2＞0α−1＞0又logaβ−2β+2=f（x）min＝logaa（同样可得，β＞2．∴关于x的方程logax−2x+2=lo⇔关于x的二次方程ax2+（a﹣1）x+2（1﹣a）＝0在（2，+∞）内有二异根α、β，则有a＞0且a≠1Δ=(a−1)2故0＜a＜14．已知函数f（x）＝loga（1+x）﹣loga（1﹣x）（a＞0且a≠1）（1）讨论f（x）的奇偶性与单调性；（2）若不等式|f（x）|＜2的解集为{x|−1【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵1+x＞01−x＞0，∴f（x）定义域为x∈∵f（﹣x）＝loga（1﹣x）﹣loga（1+x）＝﹣[loga（1+x）﹣loga（1﹣x）]＝﹣f（x）∴f（x）为奇函数；∵f（x）＝loga（1+x）﹣loga（1﹣x），∴f(x)=log求导得f′(x)=1−x①当a＞1时，f'（x）＞0，∴f（x）在定义域内为增函数；②当0＜a＜1时，f'（x）＜0，∴f（x）在定义域内为减函数；（2）①当a＞1时，∵f（x）在定义域内为增函数且为奇函数，不等式|f（x）|＜2的解集为{x|−1∴f(12)=2，∴loga②当0＜a＜1时，∵f（x）在定义域内为减函数且为奇函数，不等式|f（x）|＜2的解集为{x|−1∴f(−12)=2，∴lo5．已知函数f(x)=lnx+1（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）解不等式：f（x2+1）+f（﹣x2+2x﹣3）＞0；（3）若函数g（x）＝lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，比较f（2）+f（4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由．【答案】（1）f（x）为奇函数；（2）（1，+∞）；（3）f（2）+f...+...+f（2n）＜2n（n∈N*）．【解答】解：已知函数f(x)=lnx+1（1）证明：f（x）为奇函数，证明如下：令x+1x−1＞0⇒(x+1)(x−1)＞0，得x＞1或故定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），f(−x)=ln−x+1故f（x）为奇函数；（2）任取x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，则x1因为x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，所以x1﹣1＞0，x2＞0，x2﹣x1＞0，故2(x2−所以y=x+1x−1在x又y＝lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，由复合函数单调性可得f(x)=lnx+1x−1在x由（1）知，f（x）为奇函数，f（x2+1）+f（﹣x2+2x﹣3）＞0⇒f（x2+1）＞﹣f（﹣x2+2x﹣3）＝f（x2﹣2x+3），其中x2+1≥1，x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2，故需满足x2+1＞x2﹣2x+3，得x＞1，所以f（x2+1）+f（﹣x2+2x﹣3）＞0的解集为（1，+∞）；（3）f（2）+f...+...+f（2n）＜2n（n∈N*），理由如下：若函数g（x）＝lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，当x＞1时，f(x)=lnx+1故f（2）+f...+...+f（2n）＝ln3﹣ln1+ln5﹣ln......+ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1）＝﹣ln1+ln（2n+1）＝ln（2n+1），又g（x）＝lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，g（1）＝0，故g（2n+1）＜g（1）＝0，n∈N*，所以ln（2n+1）﹣2n＜0，故ln（2n+1）＜2n，n∈N*，所以f（2）+f（4）+...+f（2n）＜2n（n∈N*）．题型五对数函数的图象及应用对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【例题精讲】1．已知函数f（x）=|x+1|，−7≤x≤0lnx，e−2≤x≤e，g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2gA．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]【答案】C【解答】解：∵g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，∴2g（a）＝2a2﹣4a，a∈R，∵y＝2a2﹣4a，a∈R，∴当a＝1时，y最小值＝﹣2，∵函数f（x）=|x+1|，−7≤x≤0f（﹣7）＝6，f（e﹣2）＝﹣2，∴值域为[﹣2，6]∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，即﹣1≤a≤3，故选：C．2．函数f（x）＝2﹣|x|的图象与g（x）＝log3|x|的图象的交点个数为（）A．6 B．4 C．2 D．1【答案】C【解答】解：将两个函数解析式去绝对值化简得：f(x)=2g(x)=lo在同一直角坐标系中，作出两个函数f（x）＝2﹣|x|与g（x）＝log3|x|的图象，由图可知，两函数的图象的交点个数为2．故选：C．3．已知函数f（x）＝ln（x+m）的图象与函数g（x）＝﹣ln（﹣x）的图象有且只有一个交点，则实数m＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【答案】D【解答】解：依题意ln（x+m）＝﹣ln（﹣x）有一个解，即ln（x+m）+ln（﹣x）＝0有一个根，即ln（﹣x2﹣mx）＝0＝ln1，所以﹣x2﹣mx＝1有一个根，所以x2+mx+1＝0有一个根，所以Δ＝m2﹣4＝0，解得m＝±2，当m＝﹣2时，f（x）＝ln（x﹣2）的定义域为（2，+∞），与g（x）＝﹣ln（﹣x）的定义域（﹣∞，0）没有交集，此时f（x）与g（x）的图象没有交点，所以m＝﹣2不符合题意．故选：D．（多选）4．如图，这是函数y＝|logax|和y＝|logbx|的大致图象，其中0＜a＜b＜1，图象中在点（1，0）处形成了4条曲线，从左至右分别记为A1，A2，A3，A4，则（）A．A1，A3是函数y＝|logax|的图象 B．A1，A4是函数y＝|logax|的图象 C．A2，A3是函数y＝|logbx|的图象 D．A2，A4是函数y＝|logbx|的图象【答案】BC【解答】解：函数y＝|logax|和y＝|logbx|的大致图象如图，y＝|logax|中，令y＝1，则|logax|＝1，0＜a＜1，若0＜x＜1，则logax＞0，logax＝1，解得x＝a，若x＞1，则logax＜0，logax＝﹣1，解得x=1同理y＝|logbx|中，令y＝1，则|logbx|＝1，0＜b＜1，若0＜x＜1，则logbx＞0，logbx＝1，解得x＝b，若x＞1，则logbx＜0，logbx＝﹣1，解得x=1∵0＜a＜b＜1，∴0＜a＜b＜1＜1作出直线y＝1，如下：由题意得A1，A4是函数y＝|logax|的图象，A2，A3是函数y＝|logbx|的图象．故选：BC．（多选）5．函数f（x）＝loga|x|+1（0＜a＜1）的大致图象不可能为（）A． B． C． D．【答案】BCD【解答】解：函数f（x）＝loga|x|+1（0＜a＜1），定义域为{x|x≠0}，因为f（﹣x）＝loga|﹣x|+1＝loga|x|+1＝f（x），可得函数为偶函数，即函数图象关于y轴对称，当x＞0时，f（x）＝logax+1，0＜a＜1，函数单调递减，且过点（1，1），排除B，C，D，只有A符合．故选：BCD．课时精练一．选择题（共8小题）1．已知a＝2﹣1.1，b=log1413A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．a＜c＜b【答案】C【解答】解：由指数函数与对数函数的性质得，a＝2﹣1.1＜2﹣1=112c＝log23＞log22＝1，所以a＜b＜c．故选：C．2．已知函数f（x）＝log2（x+1）﹣|x|，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（1，+∞）【答案】A【解答】解：当x≥0时，f（x）＝log2（x+1）﹣x，令log2（x+1）﹣x＜0，得log2（x+1）＜x，即x+1＜2x，画出y＝x+1与y＝2x图象，如图所示：由函数的图象知，y＝x+1与y＝2x交于两点（0，1），（1，2），所以x+1＜2x在x≥0时的解集为（1，+∞）；当﹣1＜x＜0时，f（x）＝log2（x+1）+x，由y＝log2（x+1）与y＝x均在（﹣1，0）上单调递增，则f（x）在（﹣1，0）上单调递增，又f（0）＝log21+0＝0，所以当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0；综上，不等式f（x）＜0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）．故选：A．3．若lna+lnb＝1，则4a•8b的最小值为（）A．26e B．46e C．26e 【答案】B【解答】解：因为lna+lnb＝1，则有a＞0，b＞0且ln（ab）＝1，ab＝e，又因为4a当且仅当2a＝3b，即a=6e即4a•8b的最小值为46e故选：B．4．设a=logA．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【答案】D【解答】解：因为a＝log36＝log3（3×2）＝log33+log32＝1+log32，b＝log510＝log5（5×2）＝log55+log52＝1+log52，c＝log714＝log7（7×2）＝log77+log72＝1+log72，且log32=lg2lg3，log52=lg2lg5，loglg7＞lg5＞lg3＞lg2＞0，所以lg2lg3即log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c．故选：D．5．已知a=ln2，b=ln33A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b【答案】A【解答】解：因为2=62且66＜6所以ln66＜ln所以b＞a＞c．故选：A．6．函数y＝loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1＝0上，其中mn＞0，则1mA．6 B．8 C．22 D．3【答案】B【解答】解：∵函数y＝loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，令x+3＝1，求得x＝﹣2，y＝﹣1，可得A（﹣2，﹣1）．∵点A在直线mx+ny+1＝0上，∴﹣2m﹣n+1＝0，即2m+n＝1．∵mn＞0，则1m+2n=2m+nm+4m+2n故1m故选：B．7．已知函数f（x）＝|log2x|，若0＜a＜b且f（a）＝f（b），则2a+3b的范围是（）A．[5，+∞） B．（5，+∞） C．[26，+∞) 【答案】B【解答】解：因为f（x）＝|log2x|，若0＜a＜b且f（a）＝f（b），则﹣log2a＝log2b，即ab＝1，所以0＜a＜1a，即0＜根据对勾函数单调性可知，2a+3b＝2a+3故选：B．8．若函数f（x）＝log0.5（x2﹣ax+2a）（a＞0）的值域为R，则f（a）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3] B．（﹣∞，﹣4] C．[﹣4，+∞） D．[﹣3，+∞）【答案】B【解答】解：依题意可得x2﹣ax+2a要取遍所有正数，则Δ＝a2﹣8a≥0，因为a＞0，所以a≥8，所以f（a）＝log0.5（2a）≤log0.516＝﹣log216＝﹣4．故选：B．二．多选题（共3小题）（多选）9．已知x，y∈R，x=logA．y＞x B．xy＜14 C．x+y＞1 【答案】BD【解答】解：∵x=log63，2=6y，∴x＝log6∴x+y＝log63+log62＝log66＝1，故C错误；由对数函数单调性可知log66＝1＞x＝log63＞y＝log62＞log61＝0，故A错误；∵x＞y＞0，∴xy＜(x+y2(x又x+∴x+y＜故选：BD．（多选）10．已知2logA．（2a）2＝2b B．a•elna＝b C．b＝a2 D．log2a＝log8ab【答案】BCD【解答】解：依题意，﹣2log3a+log3b＝0，即log则b＝a2且a，b＞0，故C正确；对于A，（2a）2＝2a•2a＝22a≠2b，故A错误；对于B，a•elna＝a2＝b，故B正确；对于D，log8ab=lo故选：BCD．（多选）11．已知函数f(x)=logA．∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B．若f（x）的定义域为R，则a∈(−2C．若f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，则a的取值取值范围是[1，+∞） D．若f（x）的值域是（﹣∞，2]，则a∈{−【答案】ABD【解答】解：对于A，在f(x)=log12(x此时函数的定义域为R，且f(−x)=log12(x对于B，因f（x）的定义域为R，则x2﹣2ax+2＞0恒成立，即Δ＝（﹣2a）2﹣8＜0，解得−2＜a＜2对于C，令g（x）＝x2﹣2ax+2，因y=log故要使函数f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，则需使g（x）＝x2﹣2ax+2在（﹣∞，1）上单调递减且恒大于0，故有a≥1g(1)=3−2a≥0，解得1≤a≤32对于D，因f（x）的值域是（﹣∞，2]，即f（x）max＝2，由复合函数的单调性可知，此时g(x)由g（x）＝x2﹣2ax+2＝（x﹣a）2+2﹣a2知g(x)解得a=±72，即a∈{−7故选：ABD．三．填空题（共3小题）12．已知函数f(x)=log2(x2−2ax+3)的值域为R，则实数a的取值范围为【答案】（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．【解答】解：∵函数f(x)=log2(∴x2﹣2ax+3能够取到大于0的所有实数，则Δ＝4a2﹣12≥0，解得a≤−3或a≥∴实数a的取值范围为（﹣∞，−3]∪[3故答案为：（﹣∞，−3]∪[313．设函数f（x）＝loga（x﹣2）+6过定点P（m，n），则log3【答案】4．【解答】解：∵f（x）＝loga（x﹣2）+6过定点P（m，n），∴m−2=1lo解得m＝3，n＝6，∴log故答案为：4．14．关于函数y＝log2（x2﹣2x+3）有以下4个结论：①该函数是偶函数；②定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）；③递增区间为[1，+∞）；④最小值为1；其中正确结论的序号是③④．【答案】见试题解答内容【解答】解：函数y＝f（x）＝log2（x2﹣2x+3）的定义域为R，故②错误；f（﹣x）＝log2（x2+2x+3）≠f（x），故f（x）不是偶函数，故①错误；令t＝x2﹣2x+3，则y＝log2t，由t＝x2﹣2x+3的单调递增区间为[1，+∞）；y＝log2t为增函数，故函数y＝log2（x2﹣2x+3）的递增区间为[1，+∞），故③正确；当x＝1时函数取最小值为1，故④正确；故正确结论的序号是：③④．故答案为：③④四．解答题（共5小题）15．（1）化简3lo（2）已知x+y＝11，xy＝9，求x1【答案】（1）0；（2）17103【解答】解：（1）3lo（2）因为(x12又x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝121﹣18＝103，故x116．已知f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．（1）若f（x）在[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，求实数a的值；（2）若f（2a﹣1）＞f（a+2），求实数a的取值范围．【答案】（1）a＝2或a=1（2）{a|12＜a＜1或【解答】解：（1）因为f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在[a，2a]上为单调函数，且f（x）在[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，所以|loga（2a）﹣logaa|＝|loga2|＝1，解得a＝2或a=1（2）①当0＜a＜1时，函数f（x）＝logax在（0，+∞）上单调递减，所以0＜2a﹣1＜a+2，解得12＜a＜3，此时1②当a＞1时，函数f（x）＝logax在（0，+∞）上单调递增，所以0＜a+2＜2a﹣1，解得a＞3；综上，a的取值范围是{a|12＜a＜1或17．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1），在区间[1（1）求a的值；（2）若函数g(x)=log2(x2−2ax+1)的定义域为【答案】（1）12（2）（﹣log23，+∞）．【解答】解