专题512弧度制（高效培优讲义）（原卷版）

专题5.1.2弧度制教学目标1.理解弧度制的定义，能区分弧度与角度的本质差异（角度是“量”，弧度是“比”，无实际单位）；3.能运用弧度制表示弧长公式与扇形面积公式：推导并掌握两个公式，能结合公式解决弧长、扇形面积计算问题.教学重难点1.重点：（1）弧度制的定义理解：核心是“1弧度角”的几何意义——必须紧扣“弧长=半径”这一关键条件，能结合圆的图形直观识别1弧度角的大小，避免将“弧度”等同于“角度”的单位.（2）角度与弧度的互化：重点掌握“特殊角的互化”，能快速准确完成常见角度的互化，为后续三角函数学习奠定基础.（3）弧度制下弧长与扇形面积公式的应用：重点是公式的“推导逻辑”（从圆的周长、面积公式出发，结合圆心角占比推导）与“实际应用”（能根据已知条件选择公式计算弧长、面积或圆心角）.2.难点：（1）弧度制概念的抽象理解.（2）角度与弧度互化的计算细节.（3）弧度制公式与角度制公式的区分应用.知识点01角度制、弧度制的概念角度制：把周角分成360等份，每一份叫作1度的角，这种用“度”作单位来度量角的单位制叫作角度制；1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，“弧度”用符号rad表示；弧度制：以“弧度”为单位来度量角的单位制叫作弧度制.【即学即练】（多选）（2022上·重庆·高一校联考阶段练习）下列命题正确的是（

）知识点02角度制与弧度制的换算关系180∘=πrad，1°=rad，【即学即练】（2023下·新疆阿克苏·高一校考期中）将下列各角度化成弧度，弧度化成角度.知识点03弧长及扇形面积的计算公式弧度制下弧长公式：（3）扇形面积公式：【即学即练】（2526高一上·全国·单元测试）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（

）题型01弧度的概念【典例1】（2425高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（

）【变式11】（多选）（2526高一上·全国·课后作业）（多选）关于弧度制说法正确的是（

）A．角的度数和弧度数是一一对应的B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角D．用弧度制度量角，该角必为正角【变式13】（2425高一下·上海徐汇·期中）1小时内秒针转过了．（用弧度制表示）题型02角度化弧度【典例2】（2526高一上·全国·单元测试）将下列角度与弧度互化．（不必求近似值）(1)；(3)1.2；【变式22】（2425高一下·广西梧州·期末）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（

）A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度【变式23】（2425高一下·安徽·阶段练习）将75°化为弧度是（

）A． B． C． D．题型03弧度化角度【典例3】（多选）（2025高一·全国·专题练习）下列结论中正确的是（

）B．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角C．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是【变式31】（2425高一上·广东·期末）在半径为4的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为（

）A． B． C． D．【变式32】（2526高一上·全国·课前预习）将化成角度为．题型04弧长公式的应用【变式41】（多选）（2425高一下·广西柳州·开学考试）以下说法正确的有（

）D．在半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为【变式42】（2425高一下·上海·期中）已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是．【变式43】（2425高一下·安徽·阶段练习）半径为4厘米、弧长为8厘米的弧所对的圆心角的弧度数是．题型05扇形面积公式的应用【变式51】（2425高一下·安徽·阶段练习）已知扇形的周长为8，面积为4，则扇形圆心角的弧度数为（

）A．2 B．2或 C．4 D．4或2【变式52】（2425高一下·上海·阶段练习）已知半径为的扇形面积为，则该扇形圆心角的弧度为．题型06弧长公式、扇形面积公式的综合应用(1)求的长；【变式61】（2425高一上·天津·阶段练习）一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（

）A． B． C． D．【变式63】（2425高一下·江西上饶·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l．题型07扇形中的最值问题(1)求关于x的函数关系式；【变式72】（2324高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为．(2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值.题型08用弧度表示角的集合【典例8】（2223高一·全国·随堂练习）写出终边与坐标轴重合的角的集合．【变式81】（2021高一·江苏·课后作业）分别用弧度制表示下列角的集合：（1）终边落在x轴上的角；（2）终边落在y轴上的角．【变式83】（2425高一上·全国·课前预习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合．一、单选题1.（2015·山东·统考高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（

）3．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A．

B．

C．

D．

5．（2425高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（

）A． B． C． D．6．（2526高三上·陕西商洛·阶段练习）若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为，面积之比为，则甲与乙的半径之比为（

）7．（2425高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2425高一下·辽宁大连·期中）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（

）A．扇形的圆心角为2 B．扇形的弧长为610．（2025高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（

）A．若角是三角形的一个内角，则角必是第一、二象限角三、填空题13．（2526高一上·全国·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：