2024~2025学年上海市徐汇区高三上学期学业质量第二次抽查试卷数学试卷

2024~2025学年上海市徐汇区高三上学期学业质量第二次抽查试卷数学试卷一、填空题(★)1.已知集合，集合，则____________.(★)2.若复数（是虚数单位），则____________.(★)3.已知等差数列满足，，则____________.(★★★)4.某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是_________．(★★)5.为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断_________原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．）(★)6.已知随机变量的分布是，则其方差_________．(★★)7.已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为__________.(★★)8.已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则__________.(★★)9.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________．(★★★)10.已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为______．(★★★)11.已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为______．（精确到0.1°）(★★★★★)12.定义的区间长度为．若且关于的不等式的解集的区间长度之和为，则当取最大值时，实数的值为______．二、单选题(★★)13.已知，则（）

A．B．C．D．(★★★)14.某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）

x3456y56.27.4m

A．变量x、y之间呈正相关B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本C．D．拟合误差(★★★)15.已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（）①；②；③函数有最小值.

A．0B．1C．2D．3(★★★★)16.设为正整数，空间中个单位向量构成集合，若存在实数，满足对任意，都有，则当取得最大值时，的值为（）．

A．B．C．D．三、解答题(★★★)17.如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径.(1)求证：；(2)若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小.(★★★)18.已知向量．(1)求函数的单调递减区间；(2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围．(★★★)19.某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差.已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布.(1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）；(2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为.求的分布和期望（精确到）.参考数据：，，，其中为标准正态分布函数.(★★★★★)20.已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点.(1)求的周长；(2)若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围；(3)记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.(★★★★★)21.已知函数在定义域上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，使得，则称为在定义域上的一个“分割数对”．(1)已知，判断数对是否为