11.1 坐标规律问题（压轴题专项讲练）（沪科版）（教师版）

专题11.1坐标规律问题方法技巧方法技巧当我们在平面直角坐标系中寻找规律时,可以运用以下几种技巧：1．观察坐标轴的刻度间隔：在坐标轴上的刻度间隔通常是相等的。观察坐标轴的刻度间隔可以帮助我们找到规律。例如，如果我们在某轴上的刻度间隔逐渐增加，则很可能是一个等差数列的规律。2．寻找特殊点的坐标：在直角坐标系中,某些特殊点的坐标往往具有特殊的规律。例如，原点（0，0）是某轴和y轴的交点，通常具有特殊性质。另外，对称点和轴对称图形的坐标也具有一定的规律性。3．观察点的坐标之间的关系：在确定一系列点的规律时，观察点的坐标之间的关系是很关键的。例如，可以观察相邻两个点的某坐标或y坐标之间的差值是否存在规律。典例分析典例分析【典例1】一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到0,1，然后接着按图中箭头所示方向运动[即0,0→0,1→1,1→1,0【思路点拨】应先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，9…，此时点在坐标轴上，进而得到规律．【解题过程】解：由题意可知，这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为x,到达1,0时用了3秒，到达2,0时用了4秒，从2,0到0,2有4个单位长度，则到达0,2时用了4+4=8秒，到0,3时用了9秒；从0,3到3,0有6个单位长度，则到达3,0时用9+6=15秒，到4,0时用16秒；从4,0到0,4有8个单位长度，则到达0,4时用16+8=24秒，到0,5时用了25秒；从0,5到5,0有10个单位长度，则到达5,0时用25+10=35秒，到6,0时用了36秒；…，可得在x轴上，横坐标为偶数时，所用时间为x2秒，在y轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为y∵45×45=2025，2025→0,45，2026→1,45，2024→0,44∴第2023秒时这个点所在位置的坐标为1,44，故答案为：1,44．学霸必刷学霸必刷1．（2023上·安徽·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系上有点A1,0，点A第一次跳动至点A1-1,1，第二次向右跳动3个单位至点A22,1，第三次跳动至点A3-2,2，第四次向右跳动5个单位至点A43,2，A．(-1010,1010) B．-1011,1011 C．-1012,1012 D【思路点拨】本题考查了点坐标规律探索，解题的关键是先分别求出点A1，A3，A5【解题过程】解：由题意得：点A5的坐标为A点A6的坐标为A6(-3+7,3)点A7的坐标为A观察可知，点A2×1-1的坐标为(-1,1)点A2×2-1的坐标为(-2,2)点A2×3-1的坐标为(-3,3)点A2×4-1的坐标为(-4,4)归纳类推得：点A2n-1的坐标为∵2023=2×1012-1，∴点A2023的坐标为(-1012,1012)故选：C．2．（2023下·广东肇庆·七年级统考期中）如图，点A在x轴正半轴及y轴正半轴上运动，点A从原点出发，依次跳动至点A1(0,1)、A2(1,0)、A3(2,0)、A4(0,2)、A5(0,3)、A6(3,0)

A．(0,1011) B．(1011,0) C．(0,1012) D．(1012,0)【思路点拨】根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，2023=4×505+3，故点A2023是第506组的第3个点，则A2023在x轴上，其非零坐标即横坐标为【解题过程】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组，第1组：A1(0，1)，A2(1，0)，A3(2，0)，A4(0，2)，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，1=2×1-1，2=2×1；第2组：A5(0，3)，A6(3，0)，A7(4，0)，A8(0，4)，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，3=2×2-1，4=2×2；……以此类推，2023=4×505+3，则点A2023是第506组的第3个点，则A2023在x轴上，其非零坐标即横坐标为2×506=1012，故点A2023故选：D．3．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A从A1-4，0依次跳动到AA．2023,0 B．805,0 C．804,1 D．805,1【思路点拨】此题考查点坐标的规律探究，由图可知，10个坐标的纵坐标为一循环，因此判断A2023对应的坐标是A3-3,1，那么纵坐标为1，横坐标每多一个循环则大【解题过程】解：观察图形可知，n为正整数时，An的纵坐标为0，1，3，-纵坐标为0的点：A纵坐标为1的点：A纵坐标为3的点：A纵坐标为-3的点：可以看出纵坐标为1，3，-3时，n取连续的两个数为一组，则10个10∵2023÷10=202……3，纵坐标为1的规律A∴A2023的纵坐标为1，A2023正好是A3又∵每个循环横坐标加4，∴A2023横坐标为∴A故选：D4．（2023下·湖南长沙·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点P1-1,-1；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，

A．1012,1012 B．-1012,-1012C．2012,2012 D．【思路点拨】先根据点坐标的平移变换规律求出点P2，P3，P4【解题过程】解：由题意得：P2-1+2,-1+2P31-3,1-3，即P4-2+4,-2+4P52-5,2-5，即观察可知，当n为奇数时，Pn在第三象限；当n为偶数时，P点P1的坐标为-1,-1，其中横纵坐标的点P3的坐标为-2,-2，其中横纵坐标的点P5的坐标为-3,-3，其中横纵坐标的以此类推得：点Pn的横纵坐标为-12n+1∴点P2023的横纵坐标为为-12故选：B5．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系上有个点A-1,0，点A第1次向上跳动1个单位至点A1(-1,1)，紧接着第2次向右跳动2个单位至点A21,1，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，

A．(506,1012) B．(506,1011) C．【思路点拨】设第n次跳动至点An，根据部分点An坐标的变化找出变化规律“A4n(-n-1，2n)，A【解题过程】解：设第n次跳动至点An观察，发现：A-1，0，A1(-1，1)，A21，1，A3(1，∴A4n(-n-1，∵2023=505×4+3，∴A2023故选：A.6．（2023下·四川广安·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,1、B-1,1、C-1,-2、D1,-2，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形

A．-1,-1 B．-1,1 C．-2【思路点拨】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点的坐标，找出规律即可解答．【解题过程】解：∵点A1,1、B-1,1、C∴AB=CD=1-∴矩形的周长为2×2+3由题意，经过1秒时，P、Q在点B-1,1处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为∴第二次相遇点是CD的中点0,-2，第三次相遇点是点A1,1第四次相遇点是点-1,-1第五次相遇点是点1,-1，第六次相遇点是点B-1,1，由此发现，每五次相遇点重合一次，∵2023÷5=404⋯⋯3，∴第2023次相遇点的坐标与第三次相遇点的坐标重合，即A1,1故选：D．7．（2023上·安徽合肥·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如1,0，2,0，2,1，1,1，1,2，2,2……根据这个规律，第2022个点的坐标为（

）

A．42,0 B．43,1 C．44,2 D．45,3【思路点拨】根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有n+1个点，连同前边所有正方形共有n+12个点，且终点为1,n；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有n+1个点，连同前边所以正方形共有n+12点，且终点为n+1,0．而2022=452-3，由【解题过程】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有4=22个点，且终点为第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有9=32个点，且终点为第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有16=42个点，且终点为第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有25=52个点，且终点为故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有n+1个点，连同前边所有正方形共有n+12当n为偶数时，第n个正方形每条边上有n+1个点，连同前边所以正方形共有n+12而2022=45则n+1=45解得：n=44由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为45,0，由图可知，再倒着推3个点的坐标为：45,3．故选：D8．（2023·河南驻马店·统考一模）如图，一个实心点从原点出发，沿下列路径0,0→0,1→1,0→1,1A．45 B．946 C．990 D．103【思路点拨】根据多点横坐标相同的情况，设第m次多点横坐标相同时横坐标为n，且实心点最多运动的次数为an，观察图形可知m=1，n=1，a1=4=22=1+12，且有3个点横坐标相同；m=2，n=3，a【解题过程】解：根据多点横坐标相同的情况，设第m次多点横坐标相同时横坐标为n，且实心点最多运动的次数为an①m=1，n②m=2，n③m=3，n∴可推导一般性规律为：第m次多点横坐标相同时横坐标为n=m×m+1∴令an解得43≤m当m=43时，n=43×当m=44时，n=44×44+12∵1936<1979<2017<2025，∴运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为990，故选C．9．（2023上·广西崇左·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)，我们把点P'(-y+1,x+1)叫做点P的“伴随点”．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点【思路点拨】根据伴随点的定义求出点A1,A【解题过程】解：∵点A1的坐标为(2,4)∴点A2的坐标为(-4+1,2+1)，即(-3，3)点A3的坐标为(-3+1,-3+1)，即(-2，-点A4的坐标为(2+1,-2+1)，即(3,-1)点A5的坐标为(1+1,3+1)，即(2,4)由此可知，每4个点为一个循环，∵2023=4×505+3，∴点A2023的坐标与点A3的坐标相同，即为则点A2023的伴随点的坐标为(2+1,-2+1)，即(3,-1)故答案为：(3,-1)．10．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）已知点A-1,1，B-1,-2，C3,-2，D3,1在平面直角坐标系中的位置如图所示，一只瓢虫从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿

【思路点拨】本题考查了了坐标系中坐标变化的规律问题，根据点的坐标，确定AB=1--【解题过程】解：∵点A-1,1，B-1,-2，∴AB=1-根据题意，运动第一秒时，向下运用2个单位，到达的位置是P1运动第二秒时，向下运用1个单位，向右移动1个单位，到达的位置是P2运动第三秒时，向右移动2个单位，到达的位置是P3运动第四秒时，向上运用1个单位，向右移动1个单位，到达的位置是P4运动第五秒时，向上运用2个单位，到达的位置是P5运动第六秒时，向左移动2个单位，到达的位置是P6运动第七秒时，向左移动2个单位，到达的位置是P7点的规律是每7秒循环，当运动2025秒时，2025÷7=289…2，与P2故答案为：0,-2.11．（2023下·河北承德·七年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如0，0→1，0→1，1→2，2→

【思路点拨】根据图中点的坐标，发现第n列有n个整点，最下边的点为n-1，0，最上边的点为n-【解题过程】解：由图可得：第一列有1个整数点，最下边的点为0，第二列有2个整数点，最下边的点为1，0，最上边的点为第三列有3个整数点，最下边的点为2，0，最上边的点为第四列有4个整数点，最下边的点为3，0，最上边的点为…∴第n列有n个整点，最下边的点为n-1，0，最上边的点为n-∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91，∴第100个点在第14列，自下而上第9个整数点，即13，故答案为：13，12．（2023下·辽宁抚顺·七年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点P1,-1，第2次运动到点A12,0，第3次运动到点A23,2，第4次运动到点A34,0，第5次运动到点A

【思路点拨】根据图形可得，当点A的下标为奇数时，该点在x轴上，再依次计算出△OPA1，△【解题过程】解：根据题意可得：A12,0，A34,0，A5∵P1,-1∴S△S△S△S△……S△当2n+1=2023时，解得：∴S△故答案为：1012．13．（2023下·广西南宁·七年级统考期中）如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形的顶点从第三象限开始，按顺时针方向，依次记为A1，A2【思路点拨】观察图形，由第四象限点的坐标的变化可得出“点A4n+3的坐标为n+1，n+1（n【解题过程】解：观察图形可知：点A1的坐标为-点A2的坐标为-点A3的坐标为1点A4的坐标为1点A5的坐标为-点A6的坐标为2……∴点A4n+1的坐标为-点A4n+2的坐标为-点A4n+3的坐标为n点A4n+4的坐标为n∵2023=4×505+3，∴点A2023的坐标为506故答案为：506，14．（2023上·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图将边长为1的正方形OAPB沿着x轴正方向连续翻转2022次，P点依次落在点P1、P2、P3、……、P2022的位置，那么点P【思路点拨】根据翻转的特点，依次得出P11,1、P22,0、P33,1、【解题过程】∵正方形的边长为1，∴P点的坐标为(-1，1)，根据连续翻转的特点可知，经过第一次翻转后，以后每翻转一次，p点的横坐标加1，而纵坐标则在1和0之间循环变化，即结合图形可得：第1次翻折后：P1第2次翻折后：P2第3次翻折后：P3第4次翻折后：P4第5次翻折后：P5第6次翻折后：P6．．．依次类推，可知翻转n次时，P点的横坐标为n，当n为偶数时，p点的纵坐标为0，当n为奇数时，p点的纵坐标为1，即可得第2022次翻折后：P2022故答案为：2022,0．15．（2022·江苏南京·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点案如下规律依序排列：(0,0)，(1,0)，(0,1)，(2,0)，(1,1)，(0,2)，(3,0)，(2,1)，(1,2)，(0,3)，(4,0)，(3,1)，(2,2)，(1,3)，…按这个规律，则(6,7)是第个点．

【思路点拨】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解．【解题过程】解：横纵坐标和是0的有1个点，横纵坐标和是1的有2个点，横纵坐标和是2的有3个点，横纵坐标和是3的有4个点，……，横纵坐标和是n的有(n6+7=13，∵1+2+……+12+13=1∴横纵坐标和是13的有14点，分别为：(13,0)、(12,1)、(11,2)、(10,3)、(9,4)、(8,5)、(7,6)、(6,7)、(5,8)、(4,9)、(3,10)、(2,11)、(1,12)、(0,13)、∴(6,7)是第91+8=99个点，故答案为：99．16．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）如图，小球起始时位于3，0处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于1，0处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是0，【思路点拨】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2024次碰到球桌边时小球的位置．【解题过程】解：由图可得，点1,0第一次碰撞后的位置的坐标为0,1，第二次碰撞后的位置的坐标为3,4，第三次碰撞后的位置的坐标为7,0，第四次碰撞后的位置的坐标为8,1，第五次碰撞后的位置的坐标为5,4，第六次碰撞后的位置的坐标为1,0，…，∴小球位置每6次为一个周期依次循环，∵2024÷6=337…2，∴小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是3,4，故答案为：3,4．17．（2023上·安徽六安·八年级校考阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动：第一次：原点(0，0)→P第二次：P1(-1，第三次：P2(-2，第四次：P3(-3，第五次：P4(-4，…归纳上述规律，完成下列任务．（1）直接写出下列坐标：P7:，P13:（2）第2023次运动后，P2023的坐标为________（3）点P199距x轴的距离为，点P199距y轴的距离为【思路点拨】本题考查点的坐标变化规律，能根据点P的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键．（1）根据动点P的运动方式，即可解决问题．（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．（3）求出点P199【解题过程】（1）由题知，因为P1(-1,2)，P2(-2,0)，P3所以点P2n的坐标为(-2n,0)，点P4n-3的坐标为令4n解得n=2所以1-4n即点P7的坐标为(-7,4)同理可得，点P13的坐标为(-13,2)，点P14的坐标为故答案为：(-7,4)，(-13,2)，(-14,0)．（2）根据（1）的发现可知，令4n解得n=506所以点P2023的坐标为(-2023,4)故答案为：(-2023,4)．（3）根据（1）的发现可知，令4n解得n=50所以点P199的坐标为(-199,4)则点P199到x轴的距离是4，到y轴的距离是199故答案为：4，199．18．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，即P1(1，（1）点P15的坐标为，点P16的坐标为；点P2023（2）在动点P的上述运动过程中，若有连续四点(x1，y1)，(x2，y2)，(【思路点拨】（1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，再运算求解；（2）根据（3）中的规律求解．【解题过程】（1）解：∵P∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，∵15÷4=3⋯⋯3，16÷4=4，点P15的坐标为(15，-4)，P16的坐标为(16∵2023÷4=505……3，∴P2023的纵坐标与P点P2023的坐标为(2023，-故答案为：(15，-4