专题12常用逻辑用语（举一反三讲义）

专题1.2常用逻辑用语（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1充分条件与必要条件的判断】 3【题型2根据充分条件、必要条件求参数】 4【题型3全称量词命题与存在量词命题的真假】 5【题型4全称量词命题与存在量词命题的否定】 6【题型5根据命题的真假求参数】 7【题型6常用逻辑用语与集合综合】 91、常用逻辑用语考点要求真题统计考情分析(1)必要条件、充分条件、充要条件(2)全称量词与存在量词(3)全称量词命题与存在量词命题的否定2022年天津卷：第2题，5分2023年新高考I卷：第7题，5分2024年新课标Ⅱ卷：第2题，5分常用逻辑用语是高考数学的重要考点，从近几年高考情况来看，常用逻辑用语较少单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中，难度不大.重点关注以下两点：①集合与充分、必要条件相结合的问题的求解；②命题的否定和全称量词命题与存在量词命题的真假判断.知识点1常用逻辑用语1．充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题"若p,则q"是假命题推出关系及符号表示由p通过推理可得出q，记作：p⇒q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．2．充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．3．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”4．存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”5．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．【方法技巧与总结】1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.【题型1充分条件与必要条件的判断】【例1】（2025·天津滨海新·三模）已知a、b∈R，则“a≠b”是“a2≠b2”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】求出a2【解答过程】由a2≠b2可得因为“a≠b”⇒“a≠b且a≠−b”，“a≠b”⇐“a≠b且a≠−b”，因此，“a≠b”是“a2故选：B.【变式11】（2025·陕西渭南·三模）设x,y∈R，则“xy>0”是“x2+yA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义结合特殊值法即可判断.【解答过程】由xy>0可知x>0，y>0或x<0，y<0，此时x2即“xy>0”⇒“x2但当x2+y2>0时，取x=1即“x2+y2>0综上所述，“xy>0”是“x2故选：A.【变式12】（2025·河南·模拟预测）已知集合A=x|3ax−2≤0，则使得“1∈A且2∉A”成立的一个充分不必要条件是（

A．13<a<23 B．a<0 C．【解题思路】当1∈A且2∉A时求出a的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案.【解答过程】由题可知1∈A且2∉A⇔3a−2≤06a−2>0，解得所以使得“1∈A且2∉A”成立的一个充分不必要条件是集合a1因为只有选项A中的a13<a<故选：A.【变式13】（2025·天津河东·二模）已知x∈R，命题p：x3≠1，命题q：|x|≠1，则p是qA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【解题思路】由命题间的必要不充分条件判断即可.【解答过程】命题p：x3≠1即命题q：|x|≠1即x≠±1，所以命题q能推出命题p，而命题p不能推出命题q，所以p是q的必要不充分条件.故选：C.【题型2根据充分条件、必要条件求参数】【例2】（2025·吉林延边·一模）若“x≥m”的充分不必要条件是“0≤x<1”，则实数m的取值范围是（

）A．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥0【解题思路】根据充分不必要条件的判断即可得到实数m的取值范围.【解答过程】由＂x≥m＂的充分不必要条件是＂0≤x<1＂，得{x∣0≤x<1}⊆{x∣x≥m}，但{x∣0≤x<1}≠{x∣x≥m}，所以m≤0．故选：B.【变式21】（2025·山东济南·二模）已知A={x∣1<x<2},B={x∣x<a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是（

）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2【解题思路】利用充分不必要条件求参数，得到A⊆B，即可求解.【解答过程】因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⊆B，所以a≥2.故选：D.【变式22】（2025·山东泰安·模拟预测）已知p：x≥a，q：x+2a<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（

A．−∞，−1 B．−∞，−1 C．1，+∞ D．1，+∞【解题思路】利用绝对值不等式的解法化简q:−2a−3<x<−2a+3，再由充分条件与必要条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可.【解答过程】因为q：x+2a<3所以q:−2a−3<x<−2a+3，记A=x|−2a−3<x<−2a+3p:x≥a，记为B=x|x≥a因为p是q的必要不充分条件，所以A⫋B，所以a≤−2a−3，解得a≤−1．故选：A．【变式23】（2025·江西萍乡·二模）集合A={x∣−1<x<2},B={x∣−2<x<m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是（

）A．−1,2 B．2,+∞ C．−2,2 D．【解题思路】根据题意A是B的子集，从而求解.【解答过程】A={x∣−1<x<2},B={x∣−2<x<m}，因为x∈B的充分条件是x∈A，所以A⊆B，则m≥2，故选：B.【题型3全称量词命题与存在量词命题的真假】【例3】（2025·河北唐山·一模）已知命题p:∀x∈R,x2>0；命题q:∃x>0,A．p和q都是真命题B．p是假命题，q是真命题C．p是真命题，q是假命题D．p和q都是假命题【解题思路】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说明.【解答过程】对于命题p:∀x∈R,x2>0，因为当x=0时，x对于命题q:∃x>0,lnx<0，当x=1e时，故选：B.【变式31】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，∣1−x∣≤1，命题q:∃x>0，x2=x，则（A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【解题思路】判断出p、q的真假，即可得出结论.【解答过程】对于命题p，不妨取x=3，则1−3>1，则命题p对于命题q，由x2=x可得x=0或x=1，则命题因此，¬p和q都是真命题.故选：B.【变式32】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，∣1−x∣≤1，命题q:∃x>0，x2=x，则（A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【解题思路】判断出p、q的真假，即可得出结论.【解答过程】对于命题p，不妨取x=3，则1−3>1，则命题p对于命题q，由x2=x可得x=0或x=1，则命题因此，¬p和q都是真命题.故选：B.【变式33】（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题p:∀x∈R,x2+1>x，命题A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【解题思路】利用x2+1>x2判断命题p【解答过程】由x2+1>x2当x=12时，x=22,x综上，p和q都是真命题.故选：A.

【题型4全称量词命题与存在量词命题的否定】【例4】（2025·贵州黔东南·三模）命题“∀x∈R,x+|x|≥0”的否定是（A．∃x∈R,x+|x|≥0 C．∀x∈R,x+|x|<0 【解题思路】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解.【解答过程】由全称量词命题的否定可知，命题∀x∈R,x+|x|≥0的否定是故选：D.【变式41】（2025·甘肃白银·模拟预测）命题“∀x∈(0,2)，2x−x2≥A．∀x∉(0,2)，2x−x2≥sin(C．∃x∈(0,2)，2x−x2<sin(【解题思路】根据全称量词命题否定的规律，改变量词否定结论，找出结果.【解答过程】易得全称量词命题“∀x∈(0,2)，2x−x2≥sin(故选:C.【变式42】（2025·云南·模拟预测）命题“∀x∈R,x2+x−5≥0A．∀x∈R，x2+x−5<0 B．∃C．∀x∉R，x2+x−5<0 D．∃【解题思路】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果.【解答过程】命题“∀x∈R,x2+x−5≥0”的否定是“∃故选：B.【变式43】（2025·湖南邵阳·二模）命题“∀x>1，ex−2>0”的否定为（A．∀x≤1，ex−2>0 B．∀x>1C．∃x≤1，ex−2>0 D．∃x>1【解题思路】根据全称量词命题的否定是特称量词，改量词否定结论即可.【解答过程】命题“∀x>1，ex所以命题“∀x>1，ex−2>0”的否定为“∃x>1，故选：D.【题型5根据命题的真假求参数】【例5】（2025·河北·模拟预测）若命题“∃x∈R,x2+2x+a≤0”为真命题，则aA．(−∞,1] B．(−∞,1) C．【解题思路】根据存在性命题真假性可得Δ≥0【解答过程】若命题“∃x∈R,x则Δ=4−4a≥0，解得a≤1所以a的取值范围是(−∞故选：A.【变式51】（2425高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“∀x∈R，x2−2ax+6a>0”是假命题，则A．0，6 C．0，6 【解题思路】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得a的取值范围》【解答过程】命题“∀x∈R，则∃x∈R，∴Δ=4解得：a≥6或a≤0，即a的范围是−∞,0故选：D.【变式52】（2526高一上·全国·单元测试）已知命题“∃x0∈{x|−1≤x≤1},−x0A．a|a<−2 B．a|a<4 C．aa>−2 D．【解题思路】根据命题是真命题的意思求解即可.【解答过程】因为命题“∃x所以命题“∃x所以x0∈x因为y=x所以当x∈x−1≤x≤1时，ymin所以x0∈x−1≤x≤1时，a>x故选：C.【变式53】（2425高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题p:∀x∈x|1≤x≤2，都有x2−a≥0，命题q:存在x0∈R,x02+2aA．a|a≤−2 B．a|a≤1C．a|a≤−2或a=1 【解题思路】求得p为真命题，实数a的取值范围；q为真命题，实数a的取值范围；进而可得p与q全为真命题时，实数a的取值范围，进而可得结论.【解答过程】若p为真命题，则a≤(x2)min，又x∈若q为真命题，则x02+2a解得a≥1或a≤−2，所以p与q全为真命题时，实数a的取值范围是{a|a≤−2或a=1}，所以p与q不全为真命题，则实数a的取值范围是a|−2<a<1或a>1.故选：D.【题型6常用逻辑用语与集合综合】【例6】（2025·广东茂名·二模）设集合A=x−5x+6<0,B=xx>−2，则x∈AA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据已知条件，推得A是B的真子集，即可判断．【解答过程】∵集合A=x∴A=x∴A是B的真子集，x∈A是x∈B的充分不必要条件．故选：A．【变式61】（2025·甘肃兰州·一模）已知集合A={−1,0,1},B={1,2,3}，以下判断正确的是（

）A．x∈A是x∈B的充分条件 B．x∈A∩B是x∈B的既不充分也不必要条件C．x∈A是x∈A∪B的必要条件 D．x∈A∩B是x∈{1}的充要条件【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误.【解答过程】对于A，当x=−1时，x∈A成立，x∈B不成立，所以x∈A不是x∈B的充分条件，故A错误；对于B，因为A={−1,0,1},B={1,2,3}，所以A∩B={1}，因为x∈A∩B，所以x=1，所以x∈B，所以x∈A∩B是x∈B的充分条件，故B错误；对于C，因为A={−1,0,1},B={1,2,3}，所以A∪B={−1,0,1,2,3}，当x=2时，x∈A∪B成立，但x∈A不成立，所以x∈A不是x∈A∪B的必要条件，故C错误；对于D，因为A∩B={1}，x∈A∩B，所以x=1，所以x∈{1}，所以x∈A∩B是x∈{1}的充分条件，由x∈{1}，可得x=1，所以x∈A∩B，所以x∈A∩B是x∈{1}的必要条件，所以x∈A∩B是x∈{1}的充要条件，故D正确.故选：D.【变式62】（2425高一上·甘肃甘南·期末）已知集合P=xa+1≤x≤2a+1，(1)若a=4，求∁R(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）当a=4时，求出集合P，利用补集和交集的定义可求得集合∁R（2）分析可知P是Q的真子集，分P=∅、P≠∅两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数a的不等式（组），综合可得出实数a的取值范围.【解答过程】（1）当a=4时，集合P=x5≤x≤9，可得∁R因为Q=x−2≤x≤5，所以（2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，所以P是Q的真子集，当a+1>2a+1时，即a<0时，此时P=∅，满足P是Q的真子集；当P≠∅时，则满足2a+1≥a+12a+1≤5a+1≥−2，解得当a=0时，P=1，此时P是Q当a=2时，P=x3≤x≤5，此时P是综上，实数a的取值范围为aa≤2【变式63】（2425高一上·福建厦门·阶段练习）设全集U=R，集合A=x1≤x≤5，集合(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(2)若命题“∀x∈B，则x∈A”是假命题，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解．（2）将真命题转化成B是A的子集，然后分情况讨论集合B为空集和非空集合，即可求解．【解答过程】（1）由题意可知：集合A是集合B的真子集，因此−1−2a<1a−2≥5或−1−2a≤1a−2>5，解得所以实数a的取值范围为{a|a≥7}．（2）若命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，则有B⊆A，当B=∅时，−1−2a>a−2，解得a<13，符合题意，因此当B≠∅时，而A={x|1≤x≤5}，B={x|−1−2a≤x≤a−2}，则1≤−1−2a≤a−2≤5，无解，所以“∀x∈B，则x∈A”是真命题，实数a的取值范围a<1那“∀x∈B，则x∈A”是假命题时，a≥1一、单选题1．（2025·辽宁·三模）“a>b”是“a2>bA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】举反例a=−1,b=−2和a=−2,b=−1可得出.【解答过程】若a=−1,b=−2，则满足a>b，但不满足a2>b2，故若a=−2,b=−1，则满足a2>b2，但不满足a>b，故故“a>b”是“a2故选：D.2．（2025·天津和平·三模）命题“∃x∈N，x2>1”的否定是（A．∀x∉N，x2<1 B．∀x∈NC．∀x∉N，x2≤1 D．∀x∈N【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.【解答过程】命题“∃x∈N，x2>1”的否定是“∀x∈N，故选：D.3．（2025·上海静安·模拟预测）“−2≤x≤2”是“x+2+x−2≤4A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【解题思路】分类讨论求解x+2+【解答过程】当x>2时，x+2+当x<−2时，x+2+当−2≤x≤2时，x+2+所以“−2≤x≤2”是“x+2+故选：C．4．（2025·甘肃·模拟预测）若命题p:∀x>1,x2−3x+2>0A．p是真命题，且¬p:∃x>1,B．p是真命题，且¬p:∃x≤1,C．p是假命题，且¬p:∃x>1,D．p是假命题，且¬p:∃x≤1,【解题思路】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解.【解答过程】当x=32时，所以p是假命题，且¬p:∃x>1,x故选：C.5．（2025·吉林·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，|x|>0，命题q:∃x>0，x3=xA．p和q都是真命题 B．p和¬q都是真命题C．¬p和q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【解题思路】举出反例证明p为假命题，所以¬p为真；找出实例证明q为真命题，所以¬q为假；由此即可求解.【解答过程】对于命题p，x=0时，x=0所以p:∀x∈R，x>0为假命题，¬p对于命题q，x3=x，解得x=0，x=−1或所以q:∃x>0，x2=x，为真命题，所以¬p和q都是真命题.故选：C.6．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可.【解答过程】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A⇒B⇔C⇐D，则A是D的既不充分也不必要条件.故选：D.7．（2025·湖北宜昌·二模）已知命题p:∀x∈R，∣1−x∣≤1，命题q:∃x>0，x2>A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【解题思路】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案.【解答过程】对于命题p，不妨取x=3，则1−3>1，则命题p对于命题q，不妨取x=3，由9>8，则命题q为真命题，因此，¬p和q都是真命题.故选：B.8．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“∃x∈0,+∞，2x2−ax+1<0A．−∞,22C．−∞,1 【解题思路】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数a的取值范围.【解答过程】已知命题“∃x∈(0,+∞可知其否定“∀x∈(0,+∞由2x2−ax+1≥0，x∈(0,+因为x>0，两边同时除以x，得到a≤2x+1在2x+1x中，因为x>0，所以2x和当且仅当2x=1x，即因为a≤2x+1x在(0,+∞)上恒成立，所以a要小于等于即a≤22，所以实数a的取值范围是(−实数a的取值范围是(−∞故选：A.二、多选题9．（2425高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．“1a>1B．A∩B=∅.是A=∅的必要不充分条件C．若a，b，c∈R，则“ac2>bD．若a，b∈R，则“a2+b【解题思路】根据充分必要条件的定义判断即可得解．【解答过程】A选项：当a=2，b=−2时，满足1a>1反之当a=−2，b=2时，满足a<b，但是不能推出1aB选项：当A=1，B=2，当A=∅时，A∩B=∅，故B正确；C选项：当c=0时，不能由a>b推出acD选项：a2+b2≠0故选：BD.10．（2025·重庆·三模）命题“存在x>0，使得mxA．m>−2 B．m>−1 C．m>0 D．m>1【解题思路】根据题意，转化为存在x>0，设定m>1−2xx2，利用二次函数的性质，求得1−2xx2【解答过程】由题意，存在x>0，使得mx2+2x−1>0当1x−1=0时，即x=1时，1−2xx2的最小值为所以命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0结合选项可得，C和D项符合条件.故选：CD.11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合A=a,a2,B=x∣1≤x≤4，若“x∈A”是“x∈BA．1 B．2 C．2 D．4【解题思路】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即可.【解答过程】由题意得1≤a≤41≤a2故选：BC.三、填空题12．（2025·四川成都·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，2x>1，则¬p是【解题思路】根据全称量词命题的否定要求即得.【解答过程】由p:∀x∈R，2x>1故答案为：∃x13．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：∀x>0，x2−7x+6≤0，则命题p的否定为∃x>0【解题思路】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案.【解答过程】命题p：∀x>0，x2−7x+6≤0的否定为：故答案为：∃x>0，14．（2025·西藏拉萨·一模）已知命题：“∀x∈R，m2−1=m+m2x【解题思路】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可.【解答过程】因为命题：“∀x∈R，m即等式m2则m2解得m=−1，故答案为：−1.四、解答题15．（2526高一上·全国·课后作业）写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由．(1)p:∃x∈R,x(2)p：不论m取何实数，关于x的方程m2(3)p：有的平行四边形的对角线相等；(4)p：有些实数的绝对值是正数．【解题思路】先求出命题的否定，再判断真假即可.【解答过程】（1）因为p:∃x∈R,x显然当x∈R时，x2≥0,x2（2）因为p：不论m取何实数，关于x的方程m2x2+x−1=0必有实数根，所以¬p：存在实数m，关于当m=0时，方程x−1=0有实根；当m≠0时，方程m2x2+x−1=0的判别式Δ=1+4（3）因为p：有的平行四边形的对角线相等，所以¬p：所有平行四边形的对角线都不相等．命题p是真命题，命题p的否定是假命题．（4）因为p：有些实数的绝对值是正数，所以¬p：所有实数的绝对值都不是正数．命题p为真命题，命题p的否定是假命题．16．（2425高一上·四川绵阳·阶段练习）设p:实数x满足x2−2ax−3a2<0a>0，(1)若a=1，且p,q都为真命题，求x的取值范围；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【解题思路】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可.(2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知q所代表的范围是p所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得.【解答过程】（1）a=1时，x2−2x−3<0，即p:−1<x<3，由q得(x−4)(x−2)<0，解得2<x<4又q:2<x<4，而p，q都为真命题，所以2<x<3；（2）a>0，x2−2ax−3a由q是p的充分不必要条件，则−a≤23a≥4等号不同时成立，又因为a>0所以a≥417．（2425高一下·河北保定·阶段练习）已知a∈R，命题p:∀x∈[1,2]，x2≥a；命题q:∃x(1)若p是真命题，