函数的零点与方程的解教学设计-高一上学期数学人教A版-1

高中数学《必修1》4.5函数的应用（二）4.5.1函数的零点与方程的解【教学内容分析】为了突出函数应用的广泛性，加强函数与其他数学知识的联系性，本节在函数应用（一）的基础上，进一步展开函数应用，第一小节是为了建立求方程近似解的理论依据，根据从函数特征判定方程实数解的存在性，为第二小节的二分法提供理论依据。【课程标准要求】力图进一步采用从特殊到一般的方式，帮助学生从函数的观点认识方程，了解求方程解的情况的思路、步骤和算法，强化函数与方程思想，稳步提升学生数学运算素养。【学情分析】从学习背景来看，学生在此前已经学习了二次函数的零点概念，对零点问题有了初步的认识。这为学生进一步学习一般函数的零点定义奠定了坚实的基础，故概念的理解应该可以通过阅读教材获得。在认知能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理和归纳猜想能力，能够通过观察和分析来探索数学规律。因此，在教学过程中，教师可以充分利用学生的这些能力，引导他们通过小组讨论——举反例的方式辨析零点存在定理的性质。此外，学生的兴趣点也是学情分析中不可忽视的因素。通过设置教学情境和小组活动，激发学生的学习兴趣和探究欲望，使他们能够主动参与到学习活动中来。同时，教师还需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习能力和学习风格，提供个性化的指导和帮助。【教学目标】1、识记函数零点的概念，掌握利用函数的观念研究相应方程根的思想.2、掌握函数零点存在定理，并能应用其判定方程的解的情况.3、学习函数的零点的概念与方程的解的关系，培养学生的转化与化归思想、数形结合等思想.4、在掌握函数零点存在定理的过程中，提升数学抽象素养和逻辑推理素养.【教学重难点】重点：1.理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法.2.掌握函数零点存在定理并能应用.难点：数形结合思想、转化与化归思想的培养与应用.【教学方法、手段】自主探究、合作学习、归纳总结【教学过程】一、创设情景，引入课题观看视频——方程及其解的发展史设计意图：了解方程和解方程的发展和意义，感悟此过程中数学给生活生产带来的便捷和创造力，提升学生的学习兴趣。二、问题导入你会解下列方程吗？3x9=0;x22x6=0;lnx=0;lnx+2x6=0.设计意图：学生回答各个方程的解的情况，最后一个方程都不会，带着此问题学习本节内容。三、阅读教材，回答以下问题，填好学案上的知识点函数的零点的定义是什么？函数零点存在定理是什么？设计意图：放手“阅读权”，让学生通过读书、看书，习得基础知识，提升阅读能力和数学抽象素养。四、新课探究1、函数的零点二次函数的零点函数的零点定义对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点；对于函数y=f(x)，我们把使_________的实数x叫做函数f(x)的零点；等价关系函数y=ax2+bx+c有零点方程ax2+bx+c=0有实数解(数)函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点(形)函数y=f(x)有零点______________________________________思考：(1)函数的零点是点吗？(2)是不是所有的函数都有零点？2、函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条的曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的根．小组活动：两人一组，讨论下面3个问题，若判断是对，给出证明，不对，给出反例，图形语言最佳.5分钟后选择两组同学展示成果.思考1：若只有f(a)·f(b)<0，能保证函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定有零点吗？思考2：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？追问：加上函数的什么性质，可以确实唯一的零点呢？思考3:函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0？小结：零点存在定理具有连续性、不唯一性、不可逆性，并且只能判断变号零点.设计意图：实现教师主导，学生主体的课堂，通过教师的问题设置，活动安排，突出重点，突破难点，提升学生的合作学习的能力，以及逻辑推理能力。五、例题讲解例、求方程lnx+2x−6=0的实数解的个数.分析：法一（借助计算工具）画出函数y=lnx+2x−6的图象，直接观察，易知一个零点，即一个解；变式1、利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：f(x)=2xln(x2)3;f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x.设计意图：让学生接触数学软件，并会初步操作，如GGB、网络画板、几何画板，这些软件都能很好地服务于直观教学，学生的学习兴趣也会被提升.法二：令函数f(x)=lnx+2x−6,x>0易知f(1)<0,f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0,且函数在定义域内单调递增（你能证明吗？），所以此函数在区间（2,3）有且只有一个零点，即对应方程lnx+2x−6=0有且只有一个解.小结：准确的运用零点存在定理解决零点个数问题，我们知道定理本身是无法判断零点个数问题的，但是结合单调性的话，就可以判断唯一变号零点，在函数单调性的判断环节注意定义法、分析法的合理运用。变式2、在下列区间中，方程ex+4x+3=0的解所在的区间为（）A(-14,0)B(0,14设计意图：准确理解和运用零点存在定理，辨析定理的优势和不足，提升学生严谨的思维习惯。法三：方程lnx+2x−6=0等价于lnx=2x+6转化为两个熟悉的基本函数的交点问题y1=lnx与y2=2x+6,且交点的横坐标就是零点值.我们可以画出大致图象，从而判断个数.设计意图：提升学生数形结合的能力和转化能力.超越函数的图象无法画出，考场内没有计算机，没有软件的帮助，那应该怎么办呢？分割超越函数为我们能画出图象的基础函数。六、随堂检测1.函数f(x)＝－x3＋1的零点是()A．(1，0)B．1C．－1D.（－1，0）2.函数f(x)的图象如下图，其零点是__________________;3.方程lnx＋x3－9=0的根所在的区间为()A．(4，5) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)设计意图：在课堂内落实学生对基础知识和基本思想方法的掌握，放手“演算权”。七、课堂小结这节课你收获了什么？设计意图：放手“总结权”,让学生自己构建知识体系，掌握学习的主动权。【板书设计】4.5.1函数的零点与方程的解1、函数零点定义2、转化关系3、函数零点存在定理例1、lnx+2x6=0法一法二法三【作业设计】1、已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：x123456y函数y=f(x)在哪几个区间一定有零点？为什么？2、已知函数f(x)=x32x+1，求证：方程f(x)=x在(1,2)内至少有两个实数解.若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)=bx2ax的零点是.已知函数f(x)=3ax+12a在[1,1]存在一个零点，则a的取值范围是.利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=x33x+5;（2）f(x)=ex1+4x4.已知aR讨论关于x的方程【教学反思】这堂课最大的特点就是解决了问题，如何解超越方程的解，带着这个问题开启课堂，最后也是这个问题结束课堂，还为后面二分法的学习做了铺垫。这节课我们是用函数的观点来研究方程，顺便学习了零点和存在性定理，在定义和定理的学习中，老师也设计活动和习题，学生参与度高。这堂课的亮点就