勾股定理的应用学案讲义北师大版(2024)八年级数学上册

方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南（3）画方向角以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．一．选择题（共5小题）1如图，瓢虫在地图上从A点先向南爬7cm，又向东爬4cm，再向北爬2cm，又向东爬4cm，再向南爬1cm到B点，如此爬行比从A点直接爬到B点多爬行()A．8cmB．7cmC．6cmD．5cm2《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF＝1尺如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是()A．10尺B．12尺C．13尺3松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为12mBD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为15m；③松松身高AB为1.6m，若松松同学想使风筝沿CD方向下降4m，则他应该往回收线米．A．2B．54如图，李伯伯家有一块四边形田地ABCD，其中∠A＝90°,AB＝3m，BC=12m，CD＝13m，AD＝4m，则这块地的面积为()A．36m2B．42m2C．66m2D．76m25如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程A．x2+62＝102B10x）2+62＝x2C．x2+6210x）2二．填空题（共5小题）6如图，某会展中心准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要元．7如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿方向航行．8如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为．9如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米．10荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度BC＝0.5m，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点D的位置，测得推送的水平距离为2m，即DE=2m，此时秋千踏板离地面的垂直高度DF＝1.5m，那么绳索AB的长度为m．三．解答题（共5小题）11消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米．（1）求B处与地面的距离．（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？12图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°),通过计算说明该车是否符合安全标准．13如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．14星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD1.3米处，在距离鱼线1.2米处D点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到这鱼饵处？152025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日～21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D．已知AB＝160m，AC＝200m，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处．（1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；（2）如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．一．选择题（共5小题）题号12345答案ACAAC一．选择题（共5小题）1如图，瓢虫在地图上从A点先向南爬7cm，又向东爬4cm，再向北爬2cm，又向东爬4cm，再向南爬1cm到B点，如此爬行比从A点直接爬到B点多爬行()A．8cmB．7cmC．6cmD．5cm【答案】A【分析】过点B作BC⊥AC于C，根据勾股定理求出AB即可求出答案．【解答】解：过点B作BC⊥AC于C，在Rt△ABC中，AC＝72+1＝6（cmBC＝4+4＝8（cm∴AB=AC2+BC2=62+82=10（cm答：如此爬行比从A点直接爬到B点多爬行了8cm．故选：A．2《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF＝1尺如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是()A．10尺B．12尺C．13尺【答案】C【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深GF长为x尺，则芦苇GE＝AGx+1）尺，∵GF2+AF2＝AG2，解得：x＝12，则芦苇的长度为x+1＝12+1＝13（尺故选：C．3松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为12mBD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为15m；③松松身高AB为1.6m，若松松同学想使风筝沿CD方向下降4m，则他应该往回收线米．A．2B．5【答案】A【分析】由勾股定理求出CD的长，再由勾股定理求出BM的长，即可解决问题．【解答】解：∵BD⊥CE，在Rt△CDB中，由勾股定理得：CD=BC2BD2=152122=9（m设风筝沿CD方向下降9m至点M，连接BM，如图，则CM＝4m，即松松同学应该往回收线2米，故选：A．4如图，李伯伯家有一块四边形田地ABCD，其中∠A＝90°,AB＝3m，BC=12m，CD＝13m，AD＝4m则这块地的面积为()A．36m2B．42m2C．66m2D．76m2【答案】A【分析】连接BD，运用勾股定理逆定理可证△DBC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和．【解答】解：如图，连接BD，由勾股定理得：BD2＝AB2+AD2＝32+42＝25，∴BD＝5（负值已舍去在△DBC中，CD2＝169，DB2+BC2＝25+122＝169，∴DC2＝BD2+BC2，故选：A．5如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程A．x2+62＝102B10x）2+62＝x2C．x2+6210x）2【答案】C【分析】根据图形和勾股定理，可以得到x2+6210x）2，然后即可得到哪个选项符合题意．【解答】解：由图可得，故选：C．二．填空题（共5小题）6如图，某会展中心准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要1020元．【答案】1020．【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．【解答】解：由勾股定理得则地毯总长为12+5＝17（m则地毯的总面积为17×2＝34（平方米所以铺完这个楼道至少需要34×30＝1020（元故答案为：1020．7如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿西北方向方向航行．【答案】西北方向，【分析】根据题意，得出△PRQ的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出△PRQ是直角三角形，再求解即可．【解答】解：由题知，PQ＝16×1.5＝24海里，PR＝12×1.5＝18海里，QR＝30海里，∠SPQ＝45°,∵PQ2+PR2＝242+182＝900，QR2＝900，∴PQ2+PR2＝QR2，∴∠SPR=∠RPQ∠SPQ＝90°45°=45°.故答案为：西北方向．8如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为4m．【答案】4m．【分析】先利用勾股定理求出AB，再计算少走的路长即可．【解答】解：由题意知∠ACB＝90°,在Rt△ACB中，AC＝6m，BC＝8m，由勾股定理得∴他们少走的路长为4m，故答案为：4m．9如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了9米．【答案】见试题解答内容【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝ABAD可得BD长．【解答】解：在Rt△ABC中：答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．10荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度BC＝0.5m，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点D的位置，测得推送的水平距离为2m，即DE=2m，此时秋千踏板离地面的垂直高度DF＝1.5m，那么绳索AB的长度为2.5m．【答案】2.5．【分析】可设秋千的绳索长为xm，根据题意可知AEx1）m，利用勾股定理可得x2＝22+（x1）2，即可得出答案．【解答】解：∵EC＝DF＝1.5m，BC＝0.5m，在Rt△AED中，AD2＝AE2+ED2，ED＝2m，设秋千的绳索长为xm，则AEx1）m，解得：x＝2.5．答：绳索AB的长度为2.5m，故答案为：2.5．三．解答题（共5小题）11消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米．（1）求B处与地面的距离．（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？【答案】见试题解答内容【分析】（1）在Rt△OAB中，根据勾股定理求出OB的长，进而可得出结论；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OA的长，利用OC＝OAOC即可得出结论．【解答】解1）在Rt△OAB中，“AB＝25米，OA＝15米，OE＝4米，:BE＝OB+OE＝20+4＝24（米答：B处与地面的距离是24米；（2）由题意得BD＝4米，“CD＝25米，OD＝OB+BD＝20+4＝24（米:AC＝OAOC＝157＝8（米答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米．12．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC丄CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°),通过计算说明该车是否符合安全标准．【答案】见试题解答内容【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD，在△BCD中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即【解答】解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2AB2＝9262＝45，在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，∴BC2+CD2＝BD2，∴BC⊥CD．故该车符合安全标准．13如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．【解答】解1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°;（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积∵AC+BC＝160m+120m＝280m，CH+AH+BH＝CH+AB＝96m+200m＝296m，∴AC+BC＜CH+AH+BH，∴甲方案所修的水渠较短．14星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD1.3米处，在距离鱼线1.2米处D点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，