第3章代数式期中考专题复习讲义（期中考情分析13大常考题型检测）七年级数学上学期新教材人教版（原卷版）

第3章代数式第1部分期中考情分析《代数式》是七年级数学从“算术计算”向“代数抽象”过渡的核心章节，是后续学习一元一次方程、函数的基础框架，期中考试中覆盖选择、填空、解答全题型。其中，列代数式（结合实际情境）、整式概念辨析是基础必考点，代数式求值常与有理数运算结合形成中档题，整体难度梯度清晰，侧重考察“从具体到抽象”的数学思维转化。期中考点复习目标考察形式1.代数式的定义与书写规范1.明确定义：用运算符号连接数/字母的式子（单独数或字母也是代数式）；2.掌握规范：数字写字母前（如3a)、除法写分数(如a2)、带分数化假分数(如2123.区分代数式与等式/不等式(不含“=”“>”“<”)1.基础必考题，多为选择/填空(1题)；2.典型考法：判断是否为代数式、改正不规范书写；3.偶考新定义符号(如“※”)的代数式判断2.列代数式1.结合情境(行程：路程=速度×时间；价格：总价=单价×数量；几何：周长/面积)析数量关系；2.翻译文字：如“比a大3”为a+3，“b2的2倍”为23.注意隐含条件：如“减少20%”即“原数×(120%)”1.高频重点题，覆盖多题型：基础题：选择/填空(12题)列简单式；中档题：解答题(1题)列复杂式(如分段收费)；2.常考结合图表提信息列代数式3.代数式的值1.掌握步骤：①代入(注意符号、分母≠0)；②计算(遵有理数运算顺序)；2.理解值的意义：如2x+5中，x=3时值为11；3.处理特殊值：x=−2时x2=4，x=1.期中必考题，覆盖全题型：基础题：选择/填空(1题)直接代入；中档题：解答题(1小问)化简后代值；2.偶考代入x=1,2,3找值的规律4.单项式1.明确定义：数与字母的积(单独数/字母也是，如5、a)；2.核心要素：①系数(含符号，如−3xy2系数为3，πr2系数为π)；②次数(字母指数和，如3.区分非单项式(如x+y、2x1.高频基础题，多为选择/填空(1题)；2.典型考法：判断是否为单项式、求系数/次数(易错：漏系数符号、误将π当字母)5.多项式1.明确定义：几个单项式的和(如2x2.核心要素：①项(含符号，如x3−2x+5的项为x3、−2x3.正确命名多项式1.高频易错点，多为选择/填空(1题)；2.典型考法：求项/常数项/次数、判断命名是否正确(易错：漏项的符号、误判最高次项)6.整式的概念与分类1.明确定义：单项式和多项式统称整式；2.区分非整式：分母含字母的式子(如xy、13.按标准分类：①单项式/多项式；②按次数（如一次、二次整式），常数项属0次整式1.高频基础题，多为选择/填空（1题）；2.典型考法：筛选整式并分类、判断是否为整式；3.偶考与有理数分类逻辑类比第2部分期中必备知识点知识点01代数式的概念与识别1.定义用运算符号（加、减、乘、除、乘方，注意：不含等号“=”、不等号“>”“<”“≥”“≤”“≠”）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。 单独的一个数（如5、3、π）或一个字母（如x、a、b）也是代数式（可看作“运算符号连接0个运算的式子”）。2.核心要点类别示例是否为代数式理由分析代数式2x+3、a2−b、−7是仅含运算符号（或单独数/字母）非代数式2x+1=5、3y<8否含等号/不等号，属于等式/不等式3.易错提示 不要将“代数式”与“等式”“不等式”混淆：关键看是否含“=”“<”“>”等关系符号，有则不是代数式。 代数式的书写不影响其本质：如x×3（可写成3x)、a÷2(可写成a2知识点02列代数式1.核心原则“先读先写、先算先括”——根据文字描述的顺序，先出现的数量先写，需要先计算的部分用括号括起来。2.常见数量关系与规范写法文字描述代数式书写规范提示比x的2倍多32x+3“倍”用乘法，“多”用加法a的平方与b的差a“平方”先算，直接写ax与y的和的平方(x+y“和”先算，必须加括号，避免写成x+m的131分数系数写在字母前，倒数表示为“1/字母”温度由t℃下降5t−5“下降”用减法，单位不写入代数式单价为a元的商品，买n件的总价an数字与字母、字母与字母相乘，乘号可省略(不写成a×n)3.易错提示 带分数与字母相乘：需将带分数化为假分数，如“212与x的积”应写成52x，而非 除法运算：优先用分数表示，如“a除以b(b≠0)”应写成ab，而非a÷b 负数或分数代入时的括号：若描述中含负数，列代数式时可保留符号，如“比2大x的数”写成−2+x。知识点03代数式的值1.定义用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算顺序计算出的结果，叫做代数式的值(代数式的值随字母取值的变化而变化)。2.求代数式值的步骤1.代入：将字母的具体值代入代数式中对应的位置，注意： 若代入的是负数、分数或含运算的式子，需加括号(如x=3时，x2应写成(−3)2 代入后，原代数式中的运算符号、括号保持不变。计算：按照“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里”的运算顺序计算。3.示例已知x=−2，求代数式3x解： 代入：3×(−2 计算：3×4+4+1=12+4+1=174.易错提示 符号错误：代入负数时漏加括号，如将(−2)2算成 运算顺序错误：如计算2x−3(x=5)时，误算为(2×5)−3=7(正确)，但计算2(x−3)(x=5)时，漏算括号导致2×5−3=7(正确应为2×2=4)。知识点04单项式1.定义由数与字母的积组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个字母也是单项式，如5、a)。 特征：不含加法、减法运算(若含，需能化简为积的形式，如2x+3x=5x，化简后5x是单项式，但原式2x+3x是多项式)。2.单项式的两个核心要素要素定义示例分析(以−23x2y系数单项式中的数字因数(包括前面的符号)−23x2y的系数是−23；次数单项式中所有字母的指数之和(不含数字的指数)−23x2y3.易错提示 系数符号：不要忽略系数的负号，如−5xy的系数是−5，而非5； π的处理：π是无理数(常数)，不是字母，因此2πa的次数是1(仅a的指数)，系数是2π； 单独字母的系数与次数：如“a”的系数是1(省略不写)，次数是1(省略不写)，不要误判为系数0或次数0； 数字单项式的次数：如“8”“3”等常数项，次数均为0(无字母，指数和为0)。知识点05多项式1.定义几个单项式的和叫做多项式(多项式中必含加法或减法运算)。 示例：2x2−3x+5(由单项式2x22.多项式的核心要素要素定义示例分析(以3x项多项式中的每个单项式(包括前面的符号)项为：3x3y、−2x2常数项多项式中不含字母的项常数项是−7(单独的数)次数多项式中次数最高的项的次数(即“最高次项的次数”)最高次项是3x项数多项式中单项式的个数(项的个数)共4项，因此该多项式是“四次四项式”3.多项式的命名规则“几次几项式”——先写“次数”(最高次项的次数)，再写“项数”(项的个数)，如： x2−4：最高次项是 −5a3b+2ab−14.易错提示 项的符号：多项式的项包含前面的符号，如x−y+2的项是x、−y、2，而非x、y、2； 次数判断：误将“所有项的次数之和”当作多项式的次数，如x2+xy的次数是2(最高次项x2 项数计数：不要漏数常数项，如3x−1是二项式(含3x和−1)，而非一项式。知识点06整式的概念1.定义单项式和多项式统称为整式(整式的本质是“分母中不含字母”，若分母含字母，则为分式，不属于整式)。2.整式的分类(知识体系)整式：单项式：单独的数、单独的字母、数与字母的积(如5、a、3xy^2)多项式：几个单项式的和(如2x+1、x^2xy+3)3.整式与非整式的区分式子是否为整式理由分析3x2是分别为单项式、多项式，分母不含字母2x、x+1否分母含字母(x、y)，属于分式π、2πr是π是常数，分母不含字母4.易错提示 分式与整式的混淆：如x2是整式(分母是常数2，可看作12x 含根号的式子：若根号下不含字母(如2)，是整式(常数项)；若根号下含字母(如x），初中阶段暂不归类为整式（后续学习无理式）。第3部分期中常考题型【题型1】代数式的识别与书写规范1.期中考考点总结 考点1：判断一个式子是否为代数式（不含“=”“>”“<”“≥”“≤”“≠”等关系符号，单独的数或字母也是代数式）； 考点2：代数式的书写规范（乘号省略/用“⋅”、除法写成分数、数字在前字母在后、带分数化假分数）。2.解题攻略 第一步：判断式子是否含关系符号，含则不是代数式； 第二步：若为代数式，按书写规则逐一检查（如“a×3”需改为“3a”，“112a【例题1】．（20242025•榆中县期末）下列式子中，符合代数式书写格式的是（）A．a÷c B．a×5 C．2nm D．【变式题11】．（20242025•西吉县校级期末）下列各式中，书写格式正确的是（）A．3⋅12 B．mn C．213【变式题12】．（20242025•通道县期末）下列各式中，代数式的个数是（）①12；②26+38；③ab＝ba；④1x+y；⑤2a﹣1；⑥a；⑦12(aA．5 B．6 C．7 D．8【变式题13】．（20242025•湛江校级期末）下列各式中，符合代数式书写规范的是（）A．a÷﹣b B．2a3 C．4×m D．1【题型2】代数式意义的解读1.期中考考点总结 考点1：理解代数式所表示的数量关系(如“a2−5”表示“a的平方与 考点2：结合实际场景解读代数式含义(如“3x”可表示“3千克苹果，每千克x元的总价”)。2.解题攻略 第一步：按运算顺序拆分代数式(先算乘方/乘除，后算加减)； 第二步：结合题干场景(如购物、几何、行程)，用文字清晰表述运算关系，避免混淆运算顺序(如“(a+b)2”与“【例题2】．（20242025•昭阳区期末）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价为x元的衣服以(710x+4)A．原价加上4元后再打7折 B．原价打7折后再加上4元 C．原价加上4元后再打3折 D．原价打3折后再加上4元【变式题21】．（20242025•威县校级期末）下列代数式用自然语言的表示中错误的是（）A．a2﹣2ab+b2表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．m+2n表示m与n的2倍的和 C．a2+b2表示a与b的平方的和 D．（a+b）（a﹣b）表示a，b两数的和与差的乘积【变式题22】．（20242025•平城区期末）代数式（a﹣b）2的意义是（）A．a，b两数的平方差 B．a与b的差的平方 C．a与b的平方的差 D．b，a两数的平方差【变式题23】．（20242025•邗江区期末）九月开学季，书店开展优惠活动，某套名著原价为m元，现售价为（0.7m﹣10）元，则下列说法符合题意的是（）A．原价减10元后再打7折 B．原价打7折后再减10元 C．原价打3折后再减10元 D．原价减10元后再打3折【题型3】列代数式(基础实际问题)1.期中考考点总结 考点1：抓取实际问题中的关键词(如“多”“少”“倍”“分”“和”“差”“积”“商”)； 考点2：将文字描述的数量关系转化为代数式(如“x的2倍与3的差”表示为“2x−3”)。2.解题攻略 第一步：确定核心变量(用字母表示未知量，如设“单价为x元”)； 第二步：根据关键词确定运算顺序(如“比x的12多5”先算“12x”，再算“+5 第三步：若结果带单位且代数式为和/差形式，整体加括号(如“(2x+3)元”)。【例题3】．（20242025•蓬溪县校级期末）对于“x，y两数和的平方的2倍”，下列用代数式表示正确的是（）A．2x2+y2 B．2x2+2y2 C．2（x+y）2 D．2（x+y）【变式题31】．（20242025•长沙校级开学）男生有a人，女生人数比男生的4倍少5人，下面可以表示女生人数的式子是（）A．4a﹣5 B．4a+5 C．（a﹣5）÷4 D．a÷4﹣5【变式题32】．（20242025•江陵县期末）超市出售某商品，先在原标价a的基础上提价20%，再打8折，则商品现售价为（）A．0.2×（1+20%）a B．0.2×（1﹣20%）a C．0.8×（1+20%）a D．0.8×（1﹣20%）a【变式题33】．（20242025•延长县期末）小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为11cm；如图②，5个纸杯的高度为13cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（）A．（n+10）cm B．（n+8）cm C．（2n+5）cm D．（2n+3）cm【题型4】直接代入求代数式的值1.期中考考点总结 考点1：代数式的值的定义(用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算的结果)； 考点2：代入时的符号处理(如字母取负数/分数时需加括号)、运算顺序(先乘方，再乘除，后加减)。2.解题攻略 第一步：“代”——用已知数值替换代数式中的字母(如x=−2时，x2需写为“(−2)2 第二步：“算”——按“先乘方、再乘除、后加减”的顺序计算(有括号先算括号内)； 第三步：“验”——检查代入符号是否正确、运算步骤是否有误。【例题4】．（20242025•海南一模）已知m＝1，n＝﹣2，则代数式2m﹣n的值为（）A．﹣4 B．3 C．﹣3 D．4【变式题41】．（20242025•琼中县一模）当x＝4时，则2x+1的值是（）A．3 B．7 C．8 D．9【变式题42】．（20242025•乳山市期末）当x＝1时，多项式ax3+bx﹣2的值为2，则当x＝﹣1时，该多项式的值是（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2【变式题43】．（20242025•鼓楼区校级月考）若a＝﹣2，则a2A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【题型5】正反比例关系的判断1.期中考考点总结 考点1：正比例关系(两个量比值一定，即y=kx，k≠0)； 考点2：反比例关系(两个量乘积一定，即xy=k，k≠0)； 考点3：区分“相关联的量”与“成比例的量”(如“长方形周长一定，长和宽”不成比例)。2.解题攻略 第一步：确定两个相关联的量(如“路程、速度、时间”中的“速度”和“时间”)； 第二步：判断两个量的积是否为定值(反比例)或比值是否为定值(正比例)； 第三步：排除非定值情况(如“差一定”“和一定”的两个量不成比例)。【例题5】．（20242025•威县校级开学）下面各项中，两种量不成正比例关系的是（）A．单价一定，总价和数量 B．圆柱体底面积一定，体积和高 C．长方形的长一定，面积和宽 D．工作总量一定，工作效率与工作时间【变式题51】．（20242025•东港区校级开学）当a（a≠0）一定时，下面式子中x和y成正比例的是（）A．xy÷a＝1 B．x÷1a=y C．a÷x＝y D．a+【变式题52】．（20242025•路北区期末）下列等式中，a，b两个量成反比例关系的是（）A．a+b＝0 B．ab＝﹣1 C．2a＝3b D．b＝2a【变式题53】．（20242025•德城区期末）如表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（）x7△y514A．19.6 B．2.5 C．3.5【题型6】整体代入求代数式的值(提升)1.期中考考点总结 考点1：整体思想的应用(无法单独求字母值时，将含字母的式子视为一个整体)； 考点2：待求式与已知式的变形关联(如已知“a−2b=3”，求“2a−4b+5”需先变形为“2(a−2b)+5”)。2.解题攻略 第一步：观察已知式与待求式的结构(找相同的“整体”，如“a2+a”“ 第二步：对已知式或待求式进行等价变形(如将“4a2−6b 第三步：将整体值代入变形后的待求式，计算结果(注意符号和系数)。【例题6】．（20242025•古蔺县期末）若2x﹣3y＝5，则10﹣4x+6y＝（）A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣2【变式题61】．（20242025•淮南期末）若x2+x+1的值是8，则4x2+4x+9的值是（）A．37 B．25 C．32 D．0【变式题62】．（20242025•河南期末）已知x2+3x+5的值为3，则代数式3x2+9x﹣3的值为（）A．0 B．﹣9 C．﹣7 D．3【变式题63】．（20242025•隆回县期末）若3a﹣2b＝5，则8+9a﹣6b＝．【题型7】程序框图中的代数式求值(提升)1.期中考考点总结 考点1：理解程序框图的逻辑分支(如“x≥0”与“x<0”对应不同代数式)； 考点2：含循环结构的程序中循环周期的寻找(如多次运算后结果重复出现)； 考点3：程序与代数式的转化(将流程转化为分段代数式)。2.解题攻略 第一步：理清程序流程(从输入到输出的每一步判断条件和运算，标注关键分支)； 第二步：若输入值明确，按流程分步计算(如输入x=5，先判断x是否满足条件，再代入对应代数式)； 第三步：若含循环(如多次输出)，计算前3−5次结果，找循环周期(如“5→1→5→1⋯”周期为2)，再用“总次数÷周期”求余数确定结果。【例题7】．（20242025•鼓楼区校级月考）如图是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣9，则最后输出的结果是．【变式题71】．（20242025•五莲县期末）根据如图所示的计算程序，若输出的值为y＝﹣1，则输入的值x为（）A．﹣5或1 B．﹣5或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣5或1或﹣1【变式题72】．（20242025•峄城区期末）如图所示是计算机程序计算，若开始输入−3A．﹣2 B．﹣9 C．﹣7 D．﹣27【变式题73】．（20242025•平舆县期末）按照如图所示的操作步骤进行计算，若输入的值为﹣4，则输出的值为（）A．﹣10 B．28 C．﹣52 D．80【题型8】几何图形中列代数式与求值(提升)1.期中考考点总结 考点1：结合几何公式(面积、周长、体积)列代数式(如长方形面积=长×宽，用字母表示长/宽)； 考点2：不规则图形的面积拆分(如阴影面积=整体面积−空白面积)； 考点3：代入数值计算几何量(需注意单位统一)。2.解题攻略 第一步：确定图形类型，回忆对应公式(如圆的面积S=πr2，梯形面积 第二步：用字母表示未知量(如设圆的半径为r，梯形的上底为a)，根据公式列代数式； 第三步：若求不规则图形面积，采用“补全法”或“拆分法”转化为规则图形，再列代数式； 第四步：代入已知数值(如π取3.14，r=2)，计算结果并标注单位。【例题8】．（20242025•宁阳县期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（）A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．x2+3（x+2） D．（x+3）（x+2）﹣2x【变式题81】．（20242025•上城区期末）如图，在周长为60的长方形ABCD中放入6个相同的小长方形，若小长方形面积为S，长为x，宽为y（x＞y），则（）A．若x＝2y，则AD＝AB B．若x＝4y，则AD＝2AB C．若x＝5，则S＝19 D．若x，y为整数，则S＝18【变式题82】．（20242025•桓台县期末）如图1，将一张长方形纸板的四角各减去一个边长为a的小正方形（阴影部分），制成如图2的无盖纸盒．若该纸盒的容积为2a2b，则原长方形纸板的周长为（）A．4a+2b B．2ab C．12a+2b D．4ab【变式题83】．（20242025•西岗区期末）如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为a，半圆形弯道的直径为b．用代数式表示这条跑道的周长为（）A．a+2πb B．2a+πb C．a2+πb2 D．2a+πb2【题型9】数式规律探索(单维度)(提升)1.期中考考点总结 考点1：数字序列的规律(如差值恒定、比值恒定、与序号的乘方关系，如“2,5,8,11⋯”差值为3)； 考点2：等式序列的规律(如“1×3+1=22， 考点3：用含n(序号)的代数式表示第n项规律。2.解题攻略 第一步：列出“序号n”与“对应数值/等式”的表格(n=1,2,3,⋯)； 第二步：分析数值变化规律——若差值恒定(如每次加3)，则第n项为“首项+3(n−1)”；若与乘方相关(如21,22, 第三步：验证规律(将n=1,2,3代入代数式，看是否与已知值一致)； 第四步：根据规律求指定项(如n=2024时的数值)。【例题9】．（20242025•科左后旗期末）观察下面的等式：第1个等式：13第2个等式：44第3个等式：75第4个等式：106…按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）：．【变式题91】．（20242025•乐清市期末）在一些日历牌上，我们可以发现日期数满足某些规律．如图是2025年6月的日历牌．若任意选择纵向的连续三个日期数，计算第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方，发现：9×23﹣162＝﹣49；5×19﹣122＝﹣49．（1）根据题目所给规律，再选择一个试一试，看看结果是否都相同．（2）请用代数式运算的知识说明理由．【变式题92】．（20242025•濉溪县校级期中）阅读下面的文字，完成后面的问题．我们知道11×2=1−12（1）依照上述规律，则可列式14×5=，12024×2025（2）用含n的式子表示你发现的规律：．（3）求式子11×2【变式题93】．（20242025•南宁期末）【问题提出】妹妹：“哥哥，我有一种快速算出75×75的方法，先用100×7×8，再加上25，得到结果是5625．”妹妹的话引发了哥哥的兴趣．他通过查阅资料，围绕速算“两个两位数相乘的积”的规律开展了一系列探究活动．【活动1】阅读材料：用ab表示一个两位数，a代表十位上的数，b代表个位上的数，即ab=10a+b观察思考：请观察下列运算规律15×15＝100×1×2+5×5＝225，25×25＝100×2×3+5×5＝625，35×35＝100×3×4+5×5＝1225，……（1）根据阅读材料，可知：a5=（2）观察运算规律，猜想：a5×a5【推理证明】（3）结合以上内容，请你证明（2）中的猜想．【活动2】（4）如果b+c＝10，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算ab×【题型10】图形规律探索(多维度)(培优)1.期中考考点总结 考点1：图形数量与序号的多维度关联(如图形由“固定部分+变化部分”组成，变化部分与n的倍数/乘方相关)； 考点2：图形结构的规律(如“第n个图形由n层组成，每层有特定数量的小图形”)； 考点3：复杂图形的拆分分析(如“小正方形拼接的大图形，分内层和外层计数”)。2.解题攻略 第一步：拆分图形组成(如将“三角形图案”拆分为“顶点部分+边上部分”，或“固定1个+每次增加3个”)； 第二步：列多组“序号n−图形数量”数据(如n=1时4个，n=2时7个，n=3时10个)，计算相邻数量的差值/比值； 第三步：推导通项公式(如差值为3，首项为4，则第n项为“3n+1”)，并验证3组以上数据； 第四步：若图形有多层/多部分，分别列各部分的代数式，再求和得到总数量。【例题10】．（20242025•抚顺县期末）某种杯子的高度是15cm，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图，n个这样的杯子叠放在一起高度是（用含n的式子表示）．【变式题101】．（20242025•乐陵市校级开学）下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第n个这样的“小屋子”需要枚棋子．【变式题103】．（20242025•蚌埠三模）数学兴趣小组在计算15×15，25×25，36×34等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为10的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算：由上图可得15×15＝10×20+5×5＝225；由上图可得25×25＝20×30+5×5＝625；由上图可得36×34＝30×40+6×4＝1224．（1）请你帮助数学兴趣小组画出计算62×68的面积分解图并计算；（2）设这两个两位数的十位数字为a，个位数字分别为b，c，请用含a，b，c的代数式表示出你发现的计算规律，并证明．【题型11】代数式与实际问题综合(分段计费/方案选择)(培优)1.期中考考点总结 考点1：分段计费场景的代数式表示(如打车费=起步价+超里程费用，分“里程≤3km”和“里程>3km”)； 考点2：方案选择中的代数式比较(如两种收费方式，计算不同用量下的费用，选择更优方案)； 考点3：实际问题中的取值范围(如人数、数量为正整数)。2.解题攻略 第一步：确定分段标准(如打车的3km、水费的10吨)，分情况列代数式； 第二步：明确每段的单价/计费规则(如超3km后每千米2.4元)，写出对应代数式(如里程x>3时，费用=10+2.4(x−3))； 第三步：方案选择时，设未知量(如用量为x)，分别列两种方案的代数式W1、W2，解方程 第四步：结合实际取值范围(如x为正整数)，确定最终方案。【例题11】．（20242025•吉林二模）某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知某辆车某日17：00进入该停车场，停了x小时（x为正整数），若该辆车于当日的21：00～24：00间离场，则此次停车的费用为元．（用含有x的式子表示）停车时长收费标准不超过3小时的部分5元/小时超过3小时的部分3元/小时【变式题111】．（20242025•南昌期末）如图是某种窗户的形状（实线为窗框），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为am．（结果用π表示）（1）求窗户的面积；（2）求窗框的总长；（3）若a＝1，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米25元，窗框每米20元，窗框的厚度不计，求制作这种窗户需要的费用．【变式题112】．（20242025•石狮市期末）某超市在春节期间对顾客实行优惠促销活动，规定如下：一次性购物优惠办法低于200元不予优惠不低于200元，但低于500元九折优惠不低于500元500元部分给八折优惠，超过500元部分给七折优惠春节期间，小亮两次到该超市购物，已知这两次优惠前的货款共计800元，其中第一次优惠前的货款为a元（200＜a＜300），若用含a的代数式表示两次购物的总付费，则小亮应付的总费用是元．【变式题113】．（20242025•沙坪坝区校级月考）某家具厂设计一款新中式屏风，结构如下：屏风整体为长方形，其中包含3个形状、大小完全相同的“梅花”艺术造型．每个“梅花”造型是由1个正方形和4个半圆形构成，该造型采用艺术玻璃制作，屏风其余部分使用实木材料（本题中π取3，长度单位为米）．（1）制作一扇该屏风需要多少平方米的艺术玻璃？需要多少平方米的实木材料？（请用含x、y的代数式表示）（2）某酒店需要定制50扇该屏风，在同等工艺的前提下，甲、乙两个厂商报价如下：甲厂商：实木材料每平方米800元，艺术玻璃每平方米500元，总价打九折；乙厂商：实木材料每平方米700元，艺术玻璃每平方米600元，且每购买1平方米实木材料赠送0.1平方米的艺术玻璃．当x＝0.1，y＝2时，制作一扇该屏风分别需要多少平方米的艺术玻璃和实木材料？该酒店在哪家厂商购买屏风合算，最终总费用是多少元？【题型12】跨学科结合的代数式问题(培优)1.期中考考点总结 考点1：提取跨学科场景中的数量关系(如物理中的“路程=速度×时间”、化学中的“物质质量=密度×体积”)； 考点2：将学科关系转化为代数式(如设速度为v，时间为t，则路程s=vt)； 考点3：结合学科常识确定变量取值(如速度为正数，密度为定值)。2.解题攻略 第一步：回忆对应学科的核心公式(如科学中“功率P=Wt”，W为功， 第二步：用字母表示未知量(如设W为x，t为y，则P=x 第三步：若含变化关系（如“功率一定时，功与时间的关系”），判断正反比例（P一定，W与t成正比例，即W=Pt）； 第四步：代入学科数据（如P=20W，t=5s），计算代数式的值，结合学科单位作答。【例题12】．（20242025•上蔡县校级月考）物理学中的杠杆原理可用公式“F1•L1＝F2•L2”表示．若L1＝1，L2＝2，F1＝6，则F2＝．【变式题121】．（20242025•绥棱县校级期中）在物理电学中，常用公式U＝IR1+IR2+IR3求串联电路的总电压，当R1＝28.3，R2＝61.5，R3＝10.2，I＝3.1时，电压U的值为（）A．200 B．210 C．300 D．310【变式题122】．（20242025•嘉定区校级期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：（整个接水过程不计热量损失）物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度”．例：10ml的开水与25ml温水混合至50度，热传递关系为：10×（100﹣50）＝25×（50﹣30）（1）王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，且水杯中的水温为t℃．①王老师的水杯容量为ml；②开水放出的热量为（结果用含t的代数式表示）（2）小李同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为420ml，温度为40℃的水，求小李同学接温水和开水的时间分别为多少秒？【变式题123】．（20242025•莲湖区期末）睡眠是打开创造力大门的一把神奇钥匙．科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间H（小时）可用公式H=110−N10（A．8.6 B．8.8 C．9.6 D．9.8【题型13】新定义下的代数式应用(培优)1.期中考考点总结 考点1：理解新定义规则(如定义“a※b=a2−2b 考点2：将新定义转化为常规代数式运算(如根据“a※b”的规则，代入具体数值计算)； 考点3：新定义与规律、求值的结合(如按新定义找序列规律)。2.解题攻略 第一步：逐字分析新定义(圈画关键运算，如“a※b=(a+b)(a−b)”本质是平方差)； 第二步：将新定义中的字母替换为已知数值或代数式(如a=3，b=2时，3※2=(3+2)(3−2)=5)； 第三步：若含多步新定义运算(如“a※(b※c)”)，先算括号内的“b※c”，再算外层运算； 第四步：若与规律结合，按新定义计算前3项，推导第n项的代数式。【例题13】．（20242025•沾化区期末）定义a﹣b＝0，则称a、b互容，若2x2﹣2与x+4互容，则6x2﹣3x﹣9＝．【变式题131】．（20242025•和平区期末）定义一种运算“△”，对于两个有理数a和b，有a△b＝ab﹣（a+b），例如：﹣3△2＝﹣3×2﹣（﹣3+2）＝﹣6+1＝﹣5，则（﹣1）△（m﹣2）＝（用含m的代数式表示）．【变式题132】．（20242025•东阳市期末）在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：a★b＝■，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题：2★4＝2×4﹣2﹣4＝2；3★（﹣1）＝3×（﹣1）﹣3+1＝﹣5；（﹣9）★5＝（﹣9）×5+9﹣5＝﹣41．（1）请你补全定义内容：a★b＝．（用含a，b的代数式表示）（2）先计算（﹣7）★2和2★（﹣7），再说明新定义的运算“★”是否满足交换律，即a★b＝b★a是否成立．（3）若m★（﹣8）＝11★m，求m的值．【变式题133】．（20242025•深圳期末）类比用字母表示数，我们用“σ”来表示某种运算．对于任意元素a，b，若aσb＝bσa，那么这种运算满足交换律；若存在元素e，满足aσe＝eσa＝a，则称e为“σ运算”下的单位元；若两个元素经过“σ运算”后得到单位元，则这两个元素互为“σ运算”下的逆元．例如，在有理数范围内，加法满足交换律，减法则不满足交换律，加法运算下的单位元是0，互为相反数的两个有理数也互为加法运算下的逆元．（1）在有理数范围内，乘法运算下的单位元是，﹣5在乘法运算下的逆元是；（2）若a，b表示两个有理数，定义运算“*”，其运算法则为：a*b＝2ab﹣a﹣b+1，例如，若a＝2，b＝3，则a*b＝2×2×3﹣2﹣3+1＝8．①“*运算”是否满足交换律．（填“是”或“否”）；②求出“*运算”下的单位元；③是否存在有理数在“*运算”下不存在逆元？若有，求出这个（些）数；若没有，请说明理由．同步练习一．选择题（共5小题）1．下列代数式符合书写要求的是（）A．112m B．m×3 C．m÷2n2．某班有45名学生，其中25名男生的平均身高为m厘米，20名女生的平均身高为n厘米，则全班45名学生的平均身高为（）厘米．A．m+n2 B．m+nC．25m+20n45 D．3．当x＝2时，ax+3的值是5；当x＝﹣2时，代数式ax﹣3的值是（）A．﹣5 B．1 C．﹣1 D．24．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（）A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x5．下列问题情境中，不能用代数式“4b”表示的是（）A．购买4瓶单价为b元的饮料所需的钱数 B．购买b瓶单价为4元的饮料所需的钱数 C．若一个正方形的边长为b，则4b表示该正方形的周长 D．若一个两位数的十位数字是4，个位数字是b，则4b表示这个两位数二．填空题（共5小题）6．若m＝4，n=−34，则代数式﹣2m﹣4n的值是7．若a2﹣2a﹣4＝0，则代数式3a2﹣6a+1＝．8．鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具（图（1）），其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图（2）所示，这个面的面积为．9．用代数式表示“m与n和的平方”：．10．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且|m|＝3，则a+b2024+c