2025-2026学年浙江省宁波市镇海区仁爱学校九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年浙江省宁波市镇海区仁爱学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（3分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件2．（3分）下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）3．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，AC，OB，则∠BOC的度数是（）A．80° B．90° C．100° D．110°4．（3分）如图，AB∥CD，AC，AE＝1，EC＝2，则AB的长为（）A． B． C．1 D．25．（3分）已知A（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x+2）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y1＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y36．（3分）一个不透明的袋子中有大小一样的5个红球，3个白球和2个黄球，现从中随意摸出1个球（）A． B． C． D．7．（3分）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（）A． B． C． D．8．（3分）当ab＜0，函数y＝ax2与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，△ABC为锐角三角形，BC＝6，点O为△ABC的重心，D为BC中点，使顶点A在△ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，设BC的中点为D，则线段OD的长度的取值范围为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AD＝7，则BC＝（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）⊙O半径为5cm，点A到圆心O距离为3cm，则A在⊙O．（填“上”、“外”或“内”）12．（3分）正十边形的每个内角度数为°．13．（3分）将二次函数y＝x2的图象向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点（1，﹣4）．14．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝．15．（3分）如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，过F点作FH⊥AC于点H．若，则BC的长为．三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（9分）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝21．（1）求a、b的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．18．（9分）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况．抽取的头盔数50010001500200030004000合格品数4919861470196429493932合格品频率0.9820.9860.980ab0.983（1）求出表中a＝，b＝；（2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是（精确到0.01）；（3）如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？19．（9分）如图，在直角坐标系中，点A（﹣2，3），B（﹣3，1）．（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后所得的图形△A1OB1．（2）点A1的坐标为．（3）求四边形AOA1B1的面积．20．（9分）如图，二次函数y1＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0）（0，﹣3），一次函数y2＝mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．21．（9分）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，⊙O表示日晷的晷面圆周，△OAB为等边三角形，OA，Q两点．点C，D是⊙O上两点，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，FM＝30cm，ME＝20cm．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．22．（9分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上点，且满足AB2＝DB•CE．（1）求证：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．23．（9分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A、B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若收购100kg的A原料会比收购100kg的B原料多花费150元．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x＞60且x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，则最大利润是多少元？24．（9分）如图1，△ABC内接于⊙O，点D为⊙O上一点，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠ACO；（2）如图2，过点B作AC的垂线，垂足为点F，且FG＝DE，若∠BAD＝α；（3）如图3，在（2）的条件下，点K为，连接BK、CK和AK，AK与BC相交于点Q，使CR＝KC，过点R作BK的垂线，延长BC交RH于点T，T，RT＝BK，连接CP，使∠BCP＝∠AKC+∠BAK．①求∠CBK的度数；②若RT＝4，AK＝12，求CP的长．

2025-2026学年浙江省宁波市镇海区仁爱学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BBCACDCAAC一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（3分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件【解答】解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．故选：B．2．（3分）下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）【解答】解：A．把x＝2代入y＝2x6得y＝2×25＝8≠1，故点（5．B．把x＝1代入y＝2x3得y＝2×12＝2，故点（1，C．把x＝5代入y＝2x2得y＝5×12＝6，故点（1．D．把x＝﹣1代入y＝4x2得y＝2×（﹣6）2＝2，故点（﹣5．故选：B．3．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，AC，OB，则∠BOC的度数是（）A．80° B．90° C．100° D．110°【解答】解：∵∠BAC＝50°，∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝100°．故选：C．4．（3分）如图，AB∥CD，AC，AE＝1，EC＝2，则AB的长为（）A． B． C．1 D．2【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，∵AE＝1，EC＝2，∴，故选：A．5．（3分）已知A（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x+2）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y1＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3【解答】解：∵抛物线y＝（x+2）2+m，∴该抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣7，∵A（﹣3，y1），B（2，y2），C（2，y2）是抛物线y＝（x+2）2+m上的三点，﹣8﹣（﹣3）＝1，6﹣（﹣2）＝4，∴y5＞y2＞y1，故选：C．6．（3分）一个不透明的袋子中有大小一样的5个红球，3个白球和2个黄球，现从中随意摸出1个球（）A． B． C． D．【解答】解：∵一个不透明的袋子中有大小一样的5个红球，3个白球和8个黄球，∴从中任意摸出1个球，一共有5+5+2＝10种可能性．∴从中任意摸出1个球，摸到黄球的概率是．故选：D．7．（3分）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（）A． B． C． D．【解答】解：连接OA、OB，∵OA＝OB＝AB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴的长为：＝，故选：C．8．（3分）当ab＜0，函数y＝ax2与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵ab＜0，∴a＞0，b＜3或a＜0，当a＞0，b＜5时2的函数图象的开口向上，顶点在原点、三、四象限，b＞0时8的函数图象的开口向下，顶点在原点、二、四象限；故选：A．9．（3分）如图，△ABC为锐角三角形，BC＝6，点O为△ABC的重心，D为BC中点，使顶点A在△ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，设BC的中点为D，则线段OD的长度的取值范围为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，AD⊥BC，由题意知OD＝AD，∵∠A＝45°，∴∠BEC＝90°，∴∠EBD＝∠BED＝45°，∴BD＝CD＝7，由勾股定理知BE＝3，∴AD＝DE+AE＝4+3，∵AD⊥BC时，AD最长，∴OD最大值为8+，∵△ABC为锐角三角形，∴临界情况为∠ABC＝90°，如图，∴此时AB＝BC＝6，∴AD＝4，∴OD＝∴＜OD≤．故选：A．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AD＝7，则BC＝（）A． B． C． D．【解答】解：如图，作∠ABD平分线BE交AC于点E，设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝7﹣x，∴，∵∠BDC＝3∠BAC＝∠BAC+∠ABD，∴，∴∠DBE＝∠ABE＝∠A，∴AE＝BE＝x，又∵∠BDE＝∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴，即BD2＝AD•DE＝7•（8﹣x），在直角三角形BCD中，由勾股定理得：BC2＝BD2﹣CD5，在直角三角形BCE中，由勾股定理得：BC2＝BE2﹣CE6，∴7（7﹣x）﹣32＝x2﹣（3+7﹣x）2，解得：，∴，故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）⊙O半径为5cm，点A到圆心O距离为3cm，则A在⊙O内．（填“上”、“外”或“内”）【解答】解：∵⊙O的半径r＝5cm，A到圆心O距离d＝3cm，∴d＜r，∴A在⊙O内．故答案为：内．12．（3分）正十边形的每个内角度数为144°．【解答】解：∵正十边形的每个外角的度数为360°÷10＝36°，∴正十边形的每个内角度数为180°﹣36°＝144°．故答案为：144．13．（3分）将二次函数y＝x2的图象向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点（1，﹣4）5．【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向下平移b（b＞0）个单位长度后得到的抛物线解析式为y＝x8﹣b，∵抛物线经过点（1，﹣4），∴﹣4＝1﹣b，解得b＝5，故答案为：5．14．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝4：25．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝2：3，∴，∴，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∵DE∥AC，∴△ODE∽△OCA，∴，即S△DOE：S△AOC＝4：25，故答案为：8：25．15．（3分）如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F4．【解答】解：由题意得：D点坐标为（7，），如图，G为直径AB的中点，过G点作GH⊥CD于H．则GH＝，EG＝2，则EH＝＝4∴CE+FD＝CD﹣EF＝CD﹣2EH＝6﹣3＝4．故答案为：4．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，过F点作FH⊥AC于点H．若，则BC的长为4．【解答】解：∵BD⊥AC，FH⊥AC于点H，∴BD∥FH，∠ADE＝∠CDB＝90°，∵AF＝CF，∴∠DAE＝∠DCB，∴△ADE∽△CDB，∵点E为BD的中点，∴，∵△ADE∽△CDB，∴，设AD＝a，则CD＝2a，∵AF＝CF，FH⊥AC，∴，又∵DE∥FH，∴△ADE∽△AHF，∴，解得：，∴，∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD＝∠BAC+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∵∠ADB＝∠BDC＝90°，∴△ABD∽△BCD，∴，即，解得：（负值已舍去），∴，在直角三角形BCD中，由勾股定理得：，故答案为：2．三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（9分）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝21．（1）求a、b的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【解答】解：（1）已知线段a、b满足a：b＝3：2，∴a：b＝3：2，∴设a＝3k，b＝8k，∵a+2b＝21，∴3k+6k＝21，解得k＝3，∴a＝9，b＝7；（2）由题意可得：x2＝ab＝9×8＝54，∵x是线段，x＞0，∴．18．（9分）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况．抽取的头盔数50010001500200030004000合格品数4919861470196429493932合格品频率0.9820.9860.980ab0.983（1）求出表中a＝0.982，b＝0.983；（2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是0.98（精确到0.01）；（3）如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？【解答】解：（1）a＝1964÷2000＝0.982，b＝2949÷3000＝0.983，故答案为：5.982，0.983；（2）由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是0.98，故答案为：6.98；（3）49000÷0.98＝50000（顶）．答：该厂估计要生产50000顶头盔．19．（9分）如图，在直角坐标系中，点A（﹣2，3），B（﹣3，1）．（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后所得的图形△A1OB1．（2）点A1的坐标为．（3）求四边形AOA1B1的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A1OB1即为所求作的三角形；（2）点A6的坐标为（3，2）；故答案为：（8，2）；（3）四边形AOA1B8的面积＝．20．（9分）如图，二次函数y1＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0）（0，﹣3），一次函数y2＝mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．【解答】解：（1）由二次函数y1＝x2+bx+c的图象经过B（6，0）、C ，﹣3）两点，得 ，解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为y1＝x7+2x﹣3；（2）令y3＝0，得x2+8x﹣3＝0，解这个方程，得x6＝﹣3，x2＝6，∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）；（3）观察图象可知，当x＜﹣4或x＞0，y2＜y2．21．（9分）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，⊙O表示日晷的晷面圆周，△OAB为等边三角形，OA，Q两点．点C，D是⊙O上两点，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，FM＝30cm，ME＝20cm．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）∵OE⊥AB，CD∥AB，∴OE⊥CD，∴，∵，∴，如图，连接OD，设⊙O的半径OD＝OM＝r，∴OF＝OM﹣FM＝r﹣30，在Rt△ODF中，，解得r＝60，即⊙O的半径为60cm；（2）∵△OAB为等边三角形，∴∠OBE＝∠BOE＝60°，AB＝OB，∵OE⊥AB，∴∠BEO＝90°，，∴OE＝OM+ME＝60+20＝80cm，在Rt△BOE中，，解得（负值舍去），∴，∵，∴．22．（9分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上点，且满足AB2＝DB•CE．（1）求证：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB2＝DB•CE，∴＝，∴△ADB∽△EAC；（2）∵∠BAC＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∵∠ABC为△ABD的外角，∠ACB为△ACE的外角，∠D＝∠CAE，∴∠DAB+∠D＝∠CAE+∠E＝∠DAB+∠CAE＝70°，则∠DAE＝∠BAD+∠CAE+∠BAC＝110°．23．（9分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A、B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若收购100kg的A原料会比收购100kg的B原料多花费150元．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x＞60且x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，则最大利润是多少元？【解答】解：（1）设B原料的单价为m元，则A原料的单价是1.5m元，根据题意得100×8.5m﹣100m＝150，解得m＝3，∴B原料的单价为4元，则A原料的单价是4.5元，∴3×4.5+8×3+9＝30（元），答：每盒产品的成本为30元；（2）该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒．w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x6+1400x﹣33000，即w＝﹣10x2+1400x﹣33000；（3）∵w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）3+16000，﹣10＜0，∴当x＝70时，w有最大值为16000，即当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元．24．（9分）如图1，△ABC内接于⊙O，点D为⊙O上一点，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠ACO；（2）如图2，过点B作AC的垂线，垂足为点F，且FG＝DE，若∠BAD＝α；（3）如图3，在（2）的条件下，点K为，连接BK、CK和AK，AK与BC相交于点Q，使CR＝KC，过点R作BK的垂线，延长BC交RH于点T，T，RT＝BK，连接CP，使∠BCP＝∠AKC+∠BAK．①求∠CBK的度数；②若RT＝4，AK＝12，求CP的长．【解答】（1）证明：如图：连接AO，∵AD⊥BC于点E，∴∠AEB＝90°，设