上海市南汇中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）

南汇中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期中2025.11一、填空题，（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1.已知集合，，则______．2.陈述句“或”的否定形式为______．3.若，，化简______．4.已知正实数满足，则的最大值为______．5.已知函数的图象恒过定点．则定点的坐标为______．6.已知是幂函数，且在上是严格减函数，则实数的值为.7.已知恒成立，则______．8.若集合有且仅有两个子集，则实数的值为______．9.已知，，则用的代数式表示______．10.设关于的方程解集为，关于的不等式的解集为，若集合，则______．11.对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，则集合的交叉数为．若集合，则的所有非空子集的交叉数的总和为______．12.对于任意两个正实数，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则的个数是______．二、选择题．（本大题共4小题，每小题3分，减分12分）13.若，则“”是“”的（）条件．A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.非充分非必要A.若，，则B.若，则C若，，则D.若，则15.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4．请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（）A.6697 B.6698 C.6699 D.670016.设，若关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.三、解答题：（第17-18题每题8分，第19-20题每题12分，第21题14分，共52分）17.（本题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分）已知集合为不等式的解集．（1）求集合；（2）若，且，求实数的取值范围．18.（本题满分8分，第（1）题3分，第（2）题5分）已知，关于的不等式的解集为．（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围．19.（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分）天气炎热，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：），则经过分钟后，温度满足，其中为室温，为参数．为观察制冷杯的降温效果，小侯把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至．（1）若欲将这杯水继续降温至，大约还需要多少分钟？（精确到个位）（2）某企业生产制冷杯每月的成本（万元）由两部分构成：①固定成本（与产品的数量无关）20万元；②材料成本：万元．其（万套）为每月产品的产量．则当每月产量为多少时，平均每万套的成本最低？最低为多少？20.（本题满分12分，第（1）题3分，第（2）题4分，第（3）题5分）已知是一元二次方程的两个实数根．（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；（3）若，求整数的值．21.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分．第（3）题6分）如果正整数集的子集满足：①；②任意，存在，使得，则称为集．（1）分别判断与是否为集（直接写出结论）；（2）当时，对于集，设，求证：；（3）当时，若，求集中所有元素的和的最小值．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11.对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，则集合的交叉数为．若集合，则的所有非空子集的交叉数的总和为______．【答案】【解析】由题意可知，元素在集合的所有非空子集中分别出现次数是一样的，

它们每一个出现的次数都相当于另外5个元素组成的集合的子集个数，故其出现次数均为次，则这些和的总和是：

，故答案为：96．12.对于任意两个正实数，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则的个数是______．【答案】【解析】由与都是集合的元素，不妨设，因为，所以，

因为，所以，因为，所以，即，

所以，所以，则，

因为，所以．故答案为：．二、选择题13.A14.D15.B16.C16.设，若关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】关于的不等式即的解集中的整数恰有3个，∴，∴不等式的解集为，所以解集里的整数是三个．

综上，，故选：．三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）8分钟（2）当每月产量为20万套时，平均每万套的成本最低，为万元20.（本题满分12分，第（1）题3分，第（2）题4分，第（3）题5分）已知是一元二次方程的两个实数根．（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；（3）若，求整数的值．【答案】（1）（2）不存在（3）实数的整数值为．【解析】（1）因为一元二次方程有两个实数根，

可得，解得，即实数的取值范围为；

（2）假设存在实数，使成立，由一元二次方程可得：

因为，解得，而，所以不存在实数，使成立；

（3）因为

要使其值是整数，，只需能被4整除即可，故，

而，所以使的值为整数的实数的整数值为．21.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分．第（3）题6分）如果正整数集的子集满足：①；②任意，存在，使得，则称为集．（1）分别判断与是否为集（直接写出结论）；（2）当时，对于集，设，求证：；（3）当时，若，求集中所有元素的和的最小值．【答案】（1）见解析（2）证明见解析（3）最小值为1.【解析】（1）不是集，是集.

（2）证明：因为是集，且，所以.

对于，存在，使得，所以可能为或.

对于，存在，使得.

对于，存在，