专题3.1 不等式的性质（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

27/28专题3.1不等式的性质教学目标(1)通过具体情况，感受在现实世界和日常生活中存在着的大量的不等关系;(2)了解不等式（组）的实际背景；(3)理解不等式的性质.(4)会利用数轴求无限集的交集、并集的运算，体会数形结合在解决问题中的作用．教学重难点1.重点(1)比较两个数的大小；(2)不等式的性质及应用．2.难点(1)对不等式的性质的理解；(2)证明不等式．知识点01不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.自然语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符号语言【即学即练】1.用不等式表示下列不等关系：（1）某段高速公路规定机动车限速80km/h至120km/h.（2）x的5倍与7的差大于3.（3）糖水中有糖，若再添上糖，则糖水变甜了.【答案】（1）（2）（3）【分析】根据题意结合实际情况列出关系式即可【解析】（1）根据限速80km/h至120km/h，可得（2）（3）涉及糖水浓度，糖做分子，糖水做分母，列出不等关系有【点睛】实际问题列不等式最容易忽略每一个参数的限定条件，列式时要尤为注意知识点02比较大小1.作差法比较两实数大小依据如果a－b＞0，那么a＞b.如果a－b＜0，那么a＜b.如果a－b＝0，那么a＝b.结论确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系.2.作商法比较两实数大小依据设如果，那么a＞b.如果，那么a＜b.如果，那么a＝b.结论确定任意两个正实数a，b的大小关系，只需确定它们的商a－与1的大小关系.【即学即练】1．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）试比较与的大小【答案】【解析】（1）因为所以.2．（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小．（2）已知，，比较与的大小．【答案】（1）；（2）【分析】（1）作差法得出差值为负；（2）作差并因式分解得出即可判断正负.【解析】（1）因为，所以；（2）因为，又，，则，，所以，得到.知识点03不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性（等价于）传递性（推出）可加性（等价于可乘性注意的符号（涉及分类讨论的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同为正数可开方性【即学即练】1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是()A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．eq\r(－a)＜eq\r(b)C．a2＜b2 D．|a|＞|b|【答案】A【解析】A正确，B、C、D可举反例排除，如对B、C，设a＝－9，b＝1，对D，设a＝－1，b＝2即可．2.(多选)（23-24高一上·贵州黔南·期末）设，则下列选项中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ACD【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D.【解析】对于A，由，得，A正确；对于B，取满足，而不成立，B错误；对于C，由，得，则，C正确；对于D，由，得，则，D正确.故选：ACD知识点04不等式的拓展性质（拓展）1.取倒数性质倒数法则：若.（巧记：同号两数，大数的倒数反而小）2.有关分数的性质若，则：(1)真分数的性质（俗称糖水不等式）：，；(2)假分数的性质：>,<【即学即练】1．（24-25高一下·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D.【解析】因为，则，则，A选项正确；因为，由倒数法则得，B选项正确；因为，则，则，C选项正确；取，所以，D选项错误；故选：D.题型01用不等式（组）表示不等关系【典例1】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组.【答案】【分析】根据题意列式即可.【解析】由题意得，即.用不等式（组）表示不等关系时，要注意提取题中所有不等关系的信息，再将它们“翻译”成数学语言，即得不等式（组）.【变式】咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9g，4g，3g，乙种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为4g，5g，5g．已知每天使用原料分别为奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g，设每天配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则满足上述所有不等关系的不等式组为．【答案】【分析】根据题意，列出一元一次不等式组，即可得到答案.【解析】设每天配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，其中每天使用原料分别为奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g，可得所有不等关系的不等式组为.故答案为：.题型02由己知条件判断所给不等式是否正确【典例1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用不等式的性质或反例可得选项.【解析】因为，所以，D正确；当时，满足，但是，A,C不正确；当时，满足，但是，B不正确；故选：D【典例2】（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质判断AC，举例说明判断BD.【解析】A：若，则，故A错误；B：举例，不成立，故B错误；C：由题意知，则，故C正确；D：举例，不成立，故D错误.故选：C对于这类题型，一般有以下两种方法：(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．【变式1】（23-24高一上·北京·期中）若a，b是任意实数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式性质一一判定选项即可.【解析】若，故A错误；若，故B错误；若，故C错误；显然，故D正确.故选：D【变式2】（2025春•大名县校级期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（）A．若a＞b，则1a＜1b B．若a＞b，则ac2C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【答案】C【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解析】对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但1a＞1对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误，对于C，a＞b，c＞d，由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正确，对于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D错误．故选：C．【变式3】（2022•孝义市开学）已知1aA．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2【解题思路】由1a＜1b＜0【解答过程】解：∵1a∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，故选项B正确，故选：B．【变式4】（2025春•包头期末）a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，则a＜b D．a≠0，b≠0，若a＞b，则1【答案】C【分析】根据不等式的性质直接判断．【解析】选项A，如a＝0，b＝﹣1，不等式不成立，选项A错误，选项B，如c＝0，不等式不成立，选项B错误，选项C，根据不等式两边同除以﹣3，不等号改变，∴选项C正确，选项D，如a＝1，b＝﹣1，不等式不成立，选项D错误，故选：C．题型03由不等式的性质比较数(式)大小【典例】（24-25高一下·重庆·期中）若，，，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C即可得解.【解析】对于A，取，满足，但，故A错误；对于B，取，满足，但，故B错误；对于D，取，则，故D错误；对于C，因为，则，又，所以，故C正确.故选：C.利用不等式的性质比较两式的大小时，往往利用不等式的基本性质进行多次变形，从而得到所比较的两个式子的大小.【变式1】（2025•孝义市开学）已知1aA．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2【答案】B【分析】由1a＜1b＜0【解析】∵1a∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，故选项B正确，故选：B．【变式2】已知，，试比较与的大小.【答案】答案见解析.【分析】讨论的符号，根据不等式的性质即可证明.【解析】由，，当时，则，当时，则，当时，则.题型04作差法比较大小【典例】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）比较大小：（1）设，比较的大小；（2）设，比较的大小；【答案】（1）；（2）；③；【分析】（1）利用有理根式可得，再由即可得的大小关系；（2）用作差法比较即可；【解析】（1），因为，所以，即；.(2)，.(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．【变式1】如果，比较与的大小并证明．【答案】，证明见解析【分析】利用作差法比较大小即可.【解析】，理由如下：，当时等号成立，所以.【变式2】若，试比较与的大小．【答案】【分析】分组因式分解，得到，结合条件即得.【解析】，因为，所以，故.【变式3】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）设、均为正实数，试比较和的大小．【答案】当时，；当时，；当时，．【解析】．因为，均为正实数，所以．当，即时，，此时；当，即时，，此时；当，即时，，此时．

综上可得：当时，；当时，；当时，．题型05作商法比较大小【典例】（24-25高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小【答案】【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.【证明】，，，.当所比较的两个数或代数式含有幂、指数式或分式时，常考虑作商法.【变式1】比较与的大小；【答案】【分析】利用作商法，分类讨论即可；【解析】因为，所以，所以①当时，，所以，②当时，，即，所以，③当时，，即，所以，综上所述：当，.【变式2】（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小.【答案】【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解.【解析】（方法1）因为，所以.所以.因为，所以，即；（方法2）所以，又，所以,所以.题型06利用不等式性质求值或取值范围【典例1】（2025湖北武汉高一上联考）已知，，求，及的取值范围．【答案】的取值范围为；的取值范围为；的取值范围为.【分析】结合不等式的基本性质即可求解.【解析】（1）因为，所以，又，两个不等式相加可得，即．因为，所以，又，两个不等式相加可得，即．因为，所以，当时，两个不等式相加乘可得：，即；当时，两个不等式相加乘可得：，即，所以．的取值范围为；的取值范围为；的取值范围为.【典例2】已知，，求的取值范围.【答案】【分析】计算出，从而得到，得到答案.【解析】设，∴，∴，解得，故，∵，，∴，，∴，即，故的取值范围为.【易错警示】本例中如果由，得到x,y的取值范围，再求x-2y的取值范围，那么得到的结果不是正确答案.这是因为求得的x,y的取值范围与已知条件不是等价关系.利用性质求范围问题的基本要求(1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等.(2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.【变式1】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）若，则的范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质计算可得.【解析】因为，所以，所以，即的范围为.【变式2】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）若实数x，y满足，，则的取值范围是.【答案】【分析】根据不等式的性质计算即可求解.【解析】由，得，又，所以.即的取值范围为.【变式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知，，，则的取值范围是.【答案】【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案.【解析】令，则，即，由，即，可得，则.题型07证明不等式【典例】（1）已知，，，求证：；（2）证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【证明】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以．（2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以．(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【变式1】求证：．【答案】证明见解析【分析】利用浓度不等式进行放缩，即可证明.【解析】‌由浓度不等式，可得，则有，于是，，因此．证明浓度不等式：，其中，证明：，所以.【变式2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：．（2）已知，，，，求证：．【答案】证明见解析；证明见解析【分析】（1）利用不等式的性质证明；（2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式.【解析】（1）证明：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；（2）证明：∵，，，且，∴，当且仅当时取等号．.题型08等式性质与不等式性质的综合运用【典例】（24-25高三下·浙江·阶段练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（

）A．8 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】首先根据题中所给的条件，可以断定，之后对分别求解，得到结果.【解析】因为，所以，当时，则，即，可得可取；当时，则，可得可取；当时，则，解得，或，进而解得为；当时，则，可得为；所以方程的解的个数为，故选：B.不等式的性质常与方程综合，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果.【变式1】（24-25高一下·四川成都·期中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小.【解析】由可得，则，由可得，利用完全平方可得所以，，，综上，故选：D【变式2】（2023高一·上海·专题练习）给定无理数．若正整数满足．(1)试比较三数，，的大小；(2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立①；②；③．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）作差法比较大小；（2）利用反证法，因，又，故可分，与证明.【解析】（1）由题意可知，，所以bc＞ad，所以，所以，，所以，所以；（2）证明：由（1），又若假设①；②；③都成立，①③之和可得：④，②③之和可得：⑤，④化简得，⑤化简得，由④⑤之和可得：，即，则，又为正整数，所以是有理数，故矛盾；假设不成立若且，同理可证下列三个不等式中至少有一个不成立；①；②；③所以三个不等式中至少有一个不成立.题型09不等式性质与充分必要性的综合【典例】（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）已知实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】化简，对照条件的定义可得答案.【解析】不等式，等价于，因为，所以，显然，不一定得出；也不一定得出.故选：D对于不等式与充分性、必要性综合的问题，一般利用不等式的性质推证充分性或必要性是否成立，即不等式的性质在解题中取到解题工具的作用.【变式1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必聚条件【答案】A【分析】令可判断必要性，设取绝对值可判断充分性.【解析】当时，成立，但不成立，所以是不必要条件；若，则，所以是充分条件.综上，是的充分不必要条件.故选：A【变式2】（24-25高一下·广东湛江·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义结合举反例说明.【解析】当，，时，满足，此时，即不能推出；当，，时，满足，此时，即不能推出.故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.题型10不等式性质的实际应用【典例】（2025春•芜湖期末）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定【答案】B【分析】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作差比较【解析】设步行速度与跑步速度分别为v1，v2，显然v1＜v2，总路程为2s，则甲用时间为sv1+而s=s(故sv故选：B．实际问题中的比较两个量的大小问题，往往能转化为不等式中的比较两个数（或式）的大小问题，再作差或作商得到结果.【变式1】某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（）A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点【答案】B【分析】根据题意，设全程的距离为2s，用s、a、b表示甲、乙的时间，用作差法分析可得答案．【解析】根据题意，设全程的距离为2s，对于甲，前半程s的时间为sa，后半程的时间为sb，则甲的时间t1对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑，则有a×t22+b变形可得t2=4s则有t1﹣t2=s(a+b)ab−4sa+b=sab(a+b)[（a+b）2﹣4ab]又由a≠b，则t1﹣t2＞0，故乙先到达终点，故选：B．【变式2】（2021秋•杨浦区校级期中）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【答案】见解析【分析】当x＞y时，利用不等式的性质可得：x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；当x＜y时，同理可得：y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）＞0．即可得出．【解析】①当x＞y时，则x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；在此种条件下取A，B能够稳操胜券．②当x＜y时，则y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；在此种条件下取D，C能够稳操胜券．③又x3+y3﹣（xy2+x2y）＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）＝（x﹣y）2（x+y）＞0．∴在不知道x，y的大小的情况下，取A，D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故可能有1种，就是取A，D．【变式3】（24-25•怀仁市校级月考）某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．【答案】当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．【分析】根据两家的政策，求出坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，作差，即可得出结论．【解析】设该单位有职工n人（n∈N*），全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x+34x（n﹣1）=14x+34xn所以y1﹣y2=14x+3=14x=14x（1当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当0＜n＜5时，y1＞y2．因此当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．题型11与不等式有关的新定义题【典例】（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为．【答案】2【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解.【解析】若，则，此时，因为，所以和中至少有一个小于等于2，所以，又当，时，，所以的最大值为2．若，则，此时，因为，所以和中至少有一个小于2，所以．综上，的最大值为2．故答案为：2.与不等式有关的新定义题求解的关键是：通过读题、审题，充分挖掘问题中所隐含的信息，弄懂新定义的含义，再借助新定义及不等式的性质去解决问题．【变式】（2025届北京五十五中高一上期中）定义为，，中的最大值，设，则y的最小值为．【答案】4【分析】根据题意画出函数的图象，再根据图象即可得到函数的最小值.【解析】分别画出的图象，则函数y的图象为图中实线部分，如图，函数y的最低点为，由，解得或，即，所以y的最小值为4.题型12与不等式有关的开放探究题【题型】（24-25高三上·北京通州·期末）已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题.【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)【分析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.【解析】已知均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①，③，则，所以.故答案为：①③推出⑤此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，写出一个符合要求的答案即可.【变式】（23-24高一上·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是.【答案】，，(答案不唯一)【分析】可以直接选一组特殊值，只要能满足，但是即可.【解析】当时，，，此时满足，但是.故答案为：(答案不唯一).一、单选题1.为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息：①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米；②人跑开的速度为每秒4米；③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（厘米）应满足的不等式为（）A．4×x0.6＜50 B．4×x0.6≥50【答案】B【解析】直接由题意可列出不等关系式即可．由题意可得4×x故选：B．2.设，，则（

）A． B． C． D．不确定【答案】A【分析】运用作差法比较大小即可.【解析】因为，所以.故选：A.3.（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质即可求解.【解析】由可得，故，故选：D4．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假.【解析】令，，则，，因为此时，故A不成立；，故B不成立；，故D不成立；根据不等式的基本性质：，，故C成立.故选：C5．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误．6．已知，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】．当时，结合，可得．反之，如，亦成立，却推不出．故“”是“”的充分不必要条件．7．（21-22高一上·辽宁大连·期中）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．的大小无法确定【答案】C【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.【解析】甲购买猪肉的平均单价为：，乙购买猪肉的平均单价为：，显然，且，当且仅当时取“=”，因为两次购买的单价不同，即，所以，即乙的购买方式平均单价较大.故选：C.8．（2025·广西南宁·模拟预测）由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（

）A．6 B．9 C．18 D．27【答案】B【分析】设有个模型合格，道题为难题，得到，再结合，求得范围即可求解.【解析】设有个模型合格，道题为难题，则，依题意有，所以所以，同理，要使两式有整数解，则，所以．当时，若3个模型生答题情况如下表：题目1题目2题目31√√×2√×√3√××则有2个模型合格，2个难题，符合题意，所以的最小值为9．故选：B二、多选题9．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则P，Q，R的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因为，所以．因为，又，所以，所以．10.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（

）A．若且，则 B．若，则C．若，则 D．若且，则【答案】BC【解析】对于A，取，则不成立，故A错误；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若，则，所以，所以，故C正确；对于D，若且，则，而b可能为0，故D错误．11．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若，则B．若，，则C．已知，，则D．已知，若，，则【答案】CD【分析】根据不等式的性质即可求解AB，利用整体法，结合不等式的性质求解C，利用作差法即可求解D.【解析】对于A,由，故，故A错误，对于B，由于，所以，又，所以，又，故，故，因此，故B错误，对于C,由于，结合，，则，故C正确，对于D,，由于，，故，即，故D正确，故选：CD三、填空题12．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：,,,,,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式.【答案】【解析】根据已知条件，可知左边表示的连续正整数的倒数和，并且有项的和，右边是分母为2，分子是n,即为，因此我们可以得到一般结论：．13.若实数x，y满足，则的取值范围是；若实数x，y满足，则的取值范围是．【答案】，【解析】若x，y满足，则，从而．若，设，所以解得，则有，所以．14．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为【答案】【分析】先证明和，即可得到，最后验证上的每个值都能被取到，即可得到的取值范围是.【解析】①一方面，由于，故，从而.又由于，故.将和结合，就得到，即.②另一方面，对任意，可验证是方程的正数解.此时取，根据上面方程，就有，同时显然有.综合①②两个方面，即知的取值范围是.四、解答题15．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小．（2）比较与的大小．【答案】（1），（