专题01 集合19大考点70题（高效培优期中专项训练）（解析版）高一数学上学期北师大版

2/36专题01集合考点01集合的概念（共3小题） 1考点02判断元素与集合的关系（共4小题） 3考点03由元素与集合的关系求参（共3小题）（重点） 4考点04集合的表示方法（共4小题）（重点） 5考点05求集合中元素的个数（共3小题） 6考点06根据集合中元素的个数求参（共3小题） 7考点07求集合的子集（真子集）（共3小题） 8考点08集合中子集（或真子集）的个数问题（共4小题） 9考点09判断两个集合的关系（共4小题） 11考点10根据集合的包含关系求参数（共3小题）（重点） 13考点11根据集合相等求参数（共3小题） 14考点12进行集合的运算（共6小题）（重点） 15考点13由集合的运算求参（共6小题）（重点） 17考点14由集合的运算确定集合(共3小题) 21考点15Venn图及其应用（共3小题） 22考点16容斥原理及其应用（共3小题）（难点） 24考点17与集合有关的数学文化题(共3小题) 26考点18与集合有关的探究问题（共4小题）（难点） 27考点19集合新定义题（共5小题）（难点） 30考点01集合的概念（共3小题）1．（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（

）A．非常接近0的数 B．身高很高的人C．绝对值为5的数 D．著名的数学家【答案】C【分析】借助集合中元素的性质逐项判定即可得.【详解】A、B、D选项都违背了集合中元素的确定性，故A、B、D错误；对C：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故C正确.故选：C.2．(多选)（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（

）A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合B．集合与集合是相同的集合C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合【答案】CD【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号.【详解】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误，对于选项B，其中集合是数集，集合是点集，所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误，对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确，对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即，所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确，故选：CD.3．(多选)（24-25高一上·江苏徐州·期中）下列说法正确的是（）A．由组成的集合可表示为或B．与是同一个集合C．集合与集合是同一个集合D．集合与集合是同一个集合【答案】AD【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误.【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有，故A正确.对于B，不是空集，故B错误.对于C，，而，故两个集合不是同一个集合，故C错误.对于D，，故D正确.故选：AD.考点02判断元素与集合的关系（共4小题）4．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果.【详解】易知为有理数，可得，即A正确；易知，即B错误；而0不是正整数，所以，即C错误；显然不是整数，即，可得D错误；故选：A5．（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】逐个验证即可.【详解】对于A：满足，对于B:，错误；对于C:，错误；对于D:，错误；故选：A6．(多选)（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列关系不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】A由元素与集合关系可判断选项正误；B由空集定义可判断选项正误；C由N定义可判断选项正误；D由Q定于可判断选项正误.【详解】选项A：因为a是集合中的元素，所以，所以选项A错误；选项B：因为是任何集合的子集，所以，所以选项B错误；选项C：因为N中含有元素0，1，而且还有其他元素，所以，所以选项C正确；选项D：因为是无理数，而Q是有理数集，所以，所以选项D错误；故选：ABD．7．（24-25高一上·河南信阳·期中）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解.【详解】若，时，；若，时，；若，异号时，．故选：A考点03由元素与集合的关系求参（共3小题）8．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据集合的互异性，即可求解.【详解】由集合的互异性可知，，或，或，得，或，或，故选：C9．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则.【答案】14【分析】根据元素与集合的关系得解.【详解】因为，，所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，，符合题意.故答案为：1410．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数.【答案】【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值.【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；若，则，此时，符合要求；若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；综上所述，.故答案为：.考点04集合的表示方法（共4小题）11．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）方程组的解集为.【答案】【分析】解原方程组，可得其解集.【详解】解方程组得，故原方程组的解集为.12．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则【答案】【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可.【详解】因为或或，所以.13．（24-25高一上·天津宁河·期中）用列举法表示下列集合：大于1且小于6的整数．．【答案】【分析】利用集合的描述法与列举法求解即可.【详解】因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以该集合为.故答案为：14．（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为．【答案】且．【分析】根据描述法的定义求解．【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且．考点05求集合中元素的个数（共3小题）15．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可.【详解】由题意，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，由集合中元素满足互异性，所以.故选：B.16．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为【答案】4【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果.【详解】将满足的整数对列举出来，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4个.故答案为：417．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为.【答案】4【分析】由集合的描述法可得结果.【详解】由题意得，所以的元素个数为4.考点06根据集合中元素的个数求参（共3小题）18．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为．【答案】【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】当时，，符合题意.当时，.综上所述，的取值范围是.19．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为．【答案】【分析】根据题意分情况讨论即可求得结果，当时，满足题意；时，只需让判别式等于零即可.【详解】当时，解得，满足题意；当时，此时，解得，所以的值构成的集合为，20．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合．(1)若，求的值；(2)若中只有一个元素，求的取值范围；(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．【答案】(1)(2)或时，(3)或【分析】（1）将代入方程中即可求解，（2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案．【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故（2）当时，原方程变为，此时，符合题意；当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意．故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素．（3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素，由（1）知当时只有一个元素，当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集；，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素．中最多有一个元素，或考点07求集合的子集（真子集）（共3小题）21．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据子集关系分析求解即可.【详解】因为，则，所以.故选：D.22．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（

）A．126 B．128 C．130 D．132【答案】B【分析】根据子集概念分析即可求解.【详解】，集合的所有子集有：，，1，3，5，7分别在子集中各出现8次，.故选：B．23．（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集.【答案】答案见解析【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得.【详解】的子集有：、、、、、、、；的真子集有：、、、、、、.考点08集合中子集（或真子集）的个数问题（共4小题）24．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据集合之间的关系直接得出结果.【详解】集合A可以是，共3个.故选：B.25．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数.【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为.故选：D.26．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则．【答案】或或【分析】首先根据，求出参数的值；然后再根据子集的概念求解集合即可【详解】由于，所以或，解得：或；当时，不满足元素的互异性，故舍去；当时，满足题意.又因为集合是集合的子集且有两个元素，所以或或.故答案为：或或.27．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为.【答案】【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可.【详解】由题意可知：方程有且仅有一解，等价于有一个不等于3的实数解，1.当时，解为，满足题意；2.当时，只有一解时，则，解得，若，则，解得，符合题意；3.当时，且有两解但3是方程的解，故，解得；综上所述，实数取值集合为.考点09判断两个集合的关系（共4小题）28．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．=【答案】A【分析】根据集合中的元素满足的约束即可求解.【详解】由，可知：集合是由所有的奇数构成的集合，而集合中的元素是的倍数，故，故选：A.29．（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可.【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合，集合表示所有被除余的数所构成的集合，所以，集合表示所有被除余的数所构成的集合，任取，则，，所以，，又，，所以，综上，故选：A30．（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABC【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同.【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确；B选项，均为点集，但包含的元素不同，则两集合不同，故B正确；C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确；D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误.故选：ABC31．（多选）（24-25高一上·江苏南京·期中）设集合，，，，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】分别求出集合，再利用集合之间的关系判断即可.【详解】由题意得，，，，我们先化简集合，集合可化为，所以，故A正确，而点在直线上，则成立，故C正确，因为是数集，是点集，二者一定无交集，故成立，故D正确，因为是数集，是点集，二者一定无交集，故不成立，故B错误.故选：ACD考点10根据集合的包含关系求参数（共3小题）32．（24-25高一上·广东·期中）（多选）已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】化简集合，分和两种情况讨论即可求.【详解】由题意得，因为是的真子集，当时，，得；当时，，得，故的取值范围为.故选：AD33．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是.【答案】【分析】计算集合，再分别求和时，的值即可.【详解】由题意，，又，若，则，满足题意；若，则，所以或.故答案为：.34．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围.【详解】因为，，，所以，所以，所以的取值范围为.考点11根据集合相等求参数（共3小题）35．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果.【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得舍去，所以解得，所以，故选：A36．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则.【答案】【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果.【详解】依题意可知，由于可知，此时，所以，解得或(舍去)即.37．（24-25高一上·安徽·期中）若，则．【答案】【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解．【详解】由题意可得，则，即，则，解得或，若，则违背集合元素的互异性，舍去；若，则有，符合要求；综上所述，，则．故答案为：．考点12进行集合的运算（共6小题）38．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若，，则集合中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由交集的定义即可求解.【详解】因为，，所以，所以集合中元素的个数为.故选：.39．（24-25高一上·甘肃临夏·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再由并集的定义求解即可.【详解】因为，，则.故选：D.40．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用集合的并集和补集运算即可求解.【详解】由可得：又由，可得，故选：C.41．（25-26高二上·浙江·开学考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用补集和交集运算即可求得结果.【详解】由，又因为，所以，故选：B.42．（多选）（24-25高一上·全国·周测）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式的解法分别求出集合A、B的元素，再进行集合交、并、补的运算得出答案.【详解】集合，集合，对于A选项：，故A正确；对于B选项：，故B错误；对于C、D选项：，，故C正确；，故D正确．故选：ACD．43．（2025·四川巴中·二模）设集合，则.【答案】【分析】首先求解集合M，再根据补集概念得到答案.【详解】对于方程，根据十字相乘法可得.则或，解得或，所以.因为，所以.考点13由集合的运算求参（共6小题）44．（24-25高一上·海南儋州·期中）设，，且，则实数的取值范围为（

）A． B．或C．或 D．【答案】A【详解】根据交集的结果直接求出参数的取值范围.【分析】因为，且，所以.故选：A.45．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由交集结果得出集合间的包含关系，由包含关系可得的不等关系，从而得的范围.【详解】由题意，在，中，，∴解得.故选：C.46．（多选）（24-25高一上·福建福州·期中）全集，，，，则下列判断正确的有（

）A．B．或C．若，则或D．若，则或【答案】AD【分析】由已知可得集合，根据并集的定义即可判断；先求解，再根据补集的运算即可判断；由已知分和两种情况分别列不等式求解即可判断；先求解，再分和两种情况分别列不等式求解即可判断.【详解】因为，所以，所以，故正确；因为，所以或，故错误；因为，当时，所以，即，当时，所以或，解得或，综上，的取值范围是或，故错误；因为，所以或，因为，当时，所以，即，当时，所以或，解得或，综上，的取值范围是或，故正确.故选：.47．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用等价于，列式求解即可；（2）利用，等价于，列式求解即可.【详解】（1），，因为，所以，所以解得，故实数的取值范围为；（2），，因为，所以，当时，，解得，满足题意；当时，解集为，综上，实数的取值范围为.48．（24-25高一上·广东深圳·期中）设集合，集合．(1)若，求和；(2)，求实数a的取值范围．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）先求出集合B，再根据交集和并集的定义计算即可；（2）由题设得，分和两种情况分析计算即可得解.【详解】（1）若，则，所以，.（2）因为，所以，当时，满足，此时；当时，要使，则.综上，实数a的取值范围为.49．（24-25高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合或，.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）先求出当时的集合，再根据补集和并集定义即可计算求解.（2）先由题意求得，接着求出，再分和两种情况讨论即可求解.【详解】（1）若，则，所以或，又集合或，所以或.（2）因为，所以，因为，，所以当时符合题意，此时，即；当时，要使，则，解得，综上所述，实数的取值范围为.考点14由集合的运算确定集合(共3小题)50．（2025·湖南长沙·二模）已知全集，，则集合（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得中的元素，再根据，，，即可求得结果.【详解】全集，∴，又∵，∴，，∴集合．故选：C.51.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断.【详解】A：若，则，所以，与矛盾，故A错误；B：若，则，所以，与矛盾，故B错误；C：若，则，由，得，所以，与矛盾，故C错误；D：若，则，由，得，所以，故D正确.故选：D52．已知全集，若，则下列说法正确的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】A【分析】依题意画出Venn图表示出集合间的基本关系，即可判断出元素与集合间的关系.【详解】根据题意，画出Venn图如下图所示：由图可知，且，即A正确；显然，可得B错误，，C错误，，可知D错误.故选：A考点15Venn图及其应用（共3小题）53．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可.【详解】由题意知，，，所以图中阴影部分表示或.故选：A.54．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（

）A．图形I表示的集合为B．图形Ⅲ表示的集合为C．图形Ⅴ表示的集合为D．图形Ⅷ表示的集合为【答案】D【分析】由集合的交并补运算即可得出答案.【详解】图形I表示的集合为；图形Ⅱ表示的集合为；图形Ⅲ表示的集合为；图形Ⅳ表示的集合为；图形Ⅴ表示的集合为；图形Ⅵ表示的集合为；图形Ⅶ表示的集合为；图形Ⅷ表示的集合为．故选：D.55．（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）设全集为，集合，如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据集合的交并补和维恩图的关系即可得到答案.【详解】对A，由图知，故A正确；对B，由图知不是的子集，故B错误；对C，由图知，故C正确；对D，由图知，故D正确.故选：ACD.考点16容斥原理及其应用（共3小题）56．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（

）人A．16 B．18 C．20 D．24【答案】C【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C，则，，得即，得，所以只参加一个社团的人数共有.故选：C57．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（

）A．16人 B．18人 C．20人 D．24人【答案】A【分析】根据集合的容斥原理即可求解.【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为；集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为；则，则.故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.故选：A.58．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（

）A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人【答案】BC【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案.【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学，则，，，又，，所以，所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人．故选：BC考点17与集合有关的数学文化题(共3小题)59．（24-25高一上·福建漳州·期中）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（

）A．23 B．68 C．128 D．233【答案】ACD【分析】依题意可知整数除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2；对选项逐一验证即可得出结论.【详解】根据题意可知，代表的是除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2的整数；对于A，可知，即A正确；对于B，可得，不合题意，即B错误；对于C，可得，即C正确；对于D，易知.可知D正确.故选：ACD60．（24-25高一上·重庆·期中）我国南北朝时期著名的数学家祖冲之算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，这比外国早了近千年．事实上，无理数．如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记．设函数的定义域为，值域为，则关于函数，下列说法正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据给定信息求出函数的定义域、值域，再逐项判断即得.【详解】依题意，，，显然，，，AD正确，C错误；而小数点后第8位上的数字为5，因此，B正确.故选：ABD61．（24-25高一上·山东青岛·期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的非空子集个数为；【答案】31【详解】，时，，，时，不等式化为，或，∴，所以或，又，所以，它的子集有32个，非空子集有31个，考点18与集合有关的探究问题（共4小题）62．（24-25高一·全国·课后作业）设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若，则．(1)请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个．(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．【分析】由S的性质：，则，所以，即S的元素是和为10的正整数对，据此以及题目的要求推理构思.【详解】（1）若集合S中只有一个元素，则只需满足，故，则，若集合S中有两个元素，则符合条件，（答案不唯一）若集合S中有三个元素，则符合条件；（答案不唯一）（2）由于S中的元素是成对的，6个元素只要确定3个，另外的3个自然就确定了，因为，所以三个不同的元素应在1，2，3，4中选出（也可以在6,7,8,9中选出），选法有1,2,3；1,2,4；2,3,4；1,3,4；四种，所以一共有四个：或或或；63．（24-25高一上·辽宁锦州·阶段练习）已知集合，.（1）若集合中有个元素，求实数不可以取的值的集合；（2）是否存在实数，使，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，或.【分析】（1）根据集合的并集运算以及集合的互异性列出关于的不等式解出即可；（2）根据集合的包含关系得，结合互异性即可得结果.【详解】（1），，有个元素，，，，，，，，不可以取的值的集合为.（2）若，则，由集合中元素的互异性知或或当时，，，当时，，，.存在实数或，使.64．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知全集，集合，.(1)若时，存在集合使得，求出这样的集合；(2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由.【分析】（1）由题意，，再根据求解即可；（2）根据题意得到，分类讨论与两种情况，结合二次方程的解法即可得解.【详解】（1）当时，，，又因为，所以这样的集合共有如下6个：.（2）由可得，结合，当，即，时，，满足题意，当时，①若有两个相等的实数根，即，则，此时，不满足题意，②若有两个不相等的实数根，又，结合韦达定理可得两根，故，此时，综上，实数的取值范围为.65．（24-25高一上·上海·期中）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则.(1)若，则A中至少还有几个元素？(2)集合A是否为双元素集合？请说明理由；(3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素.【答案】(1)两个；(2)不是，理由见解析；(3).【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得.（2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可.（3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得.【详解】（1）由，得，则，因此所以A中至少还有两个元素为，.（2）不是双元素集合．理由如下：由，得，则，而且，，即，，于是，由，得，则，因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合．（3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且，依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为，则，，且，于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为，由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或．此时，，，依题意，，整理得，即，解得或或，所以集合A中的元素为.考点19集合新定义题（共3小题）66．（25-26高一上·上海·开学考试）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和、、，①可以表示；②可以表示.则下列说法正确的是（

）A．①正确，②错误 B．①②都正确C．①②都错误 D．①错误，②正确【答案】B【分析】利用集合新运算把问题转化为熟悉的问题来求解.【详解】或，或，或，或，①正确；或且，②正确.故选：B67．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，，定义集合，则中有个元素．【答案】99【分析】先确定集合，的元素个数，再确定、的取值情况，即可得答案.【详解】因为，则，所以中的元素有:共9个；又因为，所以，所以中共有个元素；又因为，所以，，所以，共11种可能；，共9种可能，所以中有个元素.68．（25-26高一上·河南鹤壁·阶段练习）设是非空数集，若对任意，都有，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题：①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”；②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”；③若是“完美集”，则可以是有限集；④若、都是“