专题3.2 基本不等式（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（原卷版）

27/28专题3.2基本不等式教学目标(1).理解和掌握基本不等式的证明及几何意义；(2)能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.教学重难点1.重点(1)能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；(2)能用基本不等式解决不等式恒（能）成立问题.2.难点(1)对基本不等式及其几何意义的理解；(2)基本不等式的实际应用．知识点01重要不等式1.一个重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2≥，当且仅当时取等号.2.重要不等式的变形如果a，b∈R，那么；.【即学即练】1．设a＞0，b＞0，c＞0，且ab＋bc＋ac＝1，求证a2＋b2＋c2≥1.知识点02基本不等式1.基本不等式如果a，b都是非负数，那么eq\f(a＋b,2)eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中eq\f(a＋b,2)称为a，b的，eq\r(ab)称为a，b的，该不等式又被称为均值不等式．2.基本不等式的文字叙述两个非负数的算术平均数它们的几何平均数．3.几何意义半径半弦．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).【即学即练】1．不等式eq\r(3x2－3x)≤eq\f(3x＋2－3x,2)中等号成立的条件是________.2．若a∈R时，下列不等式成立的是________．①a2＋eq\f(1,4)≥a；②a(1－a)≤eq\f(1,4)；③eq\f(1,a)＋a≥2；④a2＋eq\f(1,a2)≥2.知识点03基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【即学即练】1.函数y=x+4A．2 B．3 C．4 D．52.（2025届青海西宁四中高一上月考）已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．知识点04基本不等式链（拓展）由基本不等式可得，即对两个正数而言，调和平均数几何平均数算术平均数加权平均数.上述各不等式间取等号的条件都是a=b.【即学即练】1.（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．2.已知正数满足，则的最小值为.A． B． C． D．题型01对基本不等式的理解【典例1】（2025•肥东县月考）对于不等式①4+6＞25，②x+1xA．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.【变式1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b＞2ab B．a+b＜2ab C．a2+2b＞2ab D．a2+【变式2】（2025•安徽合肥期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（）A．ab≥1 B．a+b≥2 C．a2+b2≥2题型02利用基本不等式推导其它不等式【典例】（2025·北京·高考真题）已知，则（

）A． B．C． D．这种题型一般以小题形式出现，一般利用基本不等式并结合特殊值法求解，其中利用基本不等式进行推理时要适当凑配，使之符合积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式进行放缩.【变式1】（24-25高三下·上海·阶段练习）设，则下列选项中正确的是（

）．A． B．C． D．【变式2】已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．题型03利用基本不等式比较大小【典例】已知，设，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．不确定一般利用作差或作商法比较大小，但在作差或作商后所得式子有时满足基本不等式的形式，此时可利用基本不等式进行放缩，从而得到最终的大小关系.【变式1】设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（

）A． B． C． D．【变式2】若四个正数，，，满足，，，则和的大小关系为（

）A． B． C． D．题型04利用基本不等式证明无附加条件的不等式【典例】已知、、、为正实数．(1)证明：；(2)请利用（1）的结论，证明：.(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．【变式】已知，都是正数，求证：.题型05利用基本不等式证明有附加条件的不等式【典例】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知．(1)若，证明：；(2)若，证明．.有附加条件的不等式的证明，应先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，证题时要时刻注意到等号能否取到.【变式】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，，均为正实数，且满足．证明：(1)．(2)．题型06利用基本不等式求最值（无条件）【典例1】（2024•漳州期末）已知a＞1，则a+4A．5 B．6 C．32 D．【典例2】(1)已知x>0，求函数y＝eq\f(x2＋5x＋4,x)的最小值；(2)已知0<x<eq\f(1,3)，求函数y＝x(1－3x)的最大值．(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．【变式1】（2025•江西抚州联考）若a＞0，b＞0，求baA．2 B．2 C．22 【变式2】若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中）函数在上的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3题型07条件等式求最值【典例】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）设，，且，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．2本题所用方法叫常值代换法，这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数)，求的最小值”或“已知均为正数），求的最小值”两类题型.【变式1】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（

）A．的最大值为1 B．的最小值为1C．的最大值为 D．的最小值为【变式3】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为．题型08利用基本不等式解决恒成立问题【典例】设，不等式恒成立，则a的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，恒成立；恒成立.【变式1】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或题型09利用基本不等式解决不等式能成立问题【典例】已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若不等式x+yA．(9，+∞） B．（﹣∞，9] C．[9+∞） D．（﹣9，1）对于含参数的不等式能成立（即不等式有解）问题，常通过分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，有解；有解.【变式】已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+yA．（9，+∞） B．（﹣9，1） C．[-9，1] D．（9，20）题型10基本不等式链的应用【典例】（多选）若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．基本不等式链:,当且仅当时,等号成立.其中分别为平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数.可利用上述不等式链可以在各平均数间灵活进行放缩、转化.【变式1】（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若，，且，则下列不等式不恒成立的是（

）A． B．C． D．【变式2】（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（

）A． B． C． D．题型11与基本不等式有关的数学文化题【典例】（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．【变式1】（23-24高一上·安徽黄山·期末）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形周长的最大值为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·河北唐山·阶段练习）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量20g（填“大于”“小于”或“等于”）题型12基本不等式在实际生活中的应用——最值问题【典例】(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．【变式1】一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于，那么这批货物全部运到B市，最快需要（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）.(1)求的值；(2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；(3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？题型13利用基本不等式解决方案设计问题【典例】港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（

）A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算此类题型往往给出多种方案，从中选择成本最省或利润最高的一种方案出来，此时求最值往往需要借助函数思想或者基本不等式.【变式】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为P；方案二：其给出的整体报价为元，(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；(2)求的函数解析式，并求报价的最小值；(3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.单选题1.已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．12．（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（

）A． B．C． D．4．（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·上海·期中）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（

）A．黄金少给了 B．黄金刚好C．黄金多给了 D．与砝码放置顺序有关7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知正数m，n满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·天津·期中）已知，且恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若实数a，b，c满足，则下列不等式成立的有（

）A． B． C． D．10.若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（

）A． B．C． D．11．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知非零实数满足，则（

）A．的最大值为 B．C． D．的最小值为2填空题12.（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是.13．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为.14．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值为四、解答题15.（2025湖北黄冈高一上联考）求最值：(1)已知，且满足，求的最小值；(2)已知，求的最大值；(3)已知，且满足，求的最小值.16.（2025四川眉山高一上期中）已知为实数，集合.(1)若命题“”是假命题，求实数的