专题4.1函数的奇偶性（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

27/28专题4.1函数的奇偶性教学目标1.了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法.2.了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围.教学重难点重点：(1)掌握判断函数奇偶性的方法;(2)求与奇偶函数有关的函数解析式难点：处理与函数单调性、对称相关的综合问题.知识点01函数奇偶性定义（易错）1.函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称2.重要结论判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．【易错警示】由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．【即学即练】1.下列函数是偶函数且值域是的函数是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，函数定义域为，不可能是偶函数，不是A；对于B，函数定义域为，值域是，不符合要求，不是B；对于C，函数定义域为，是偶函数，值域为，符合要求，是C；对于D，函数定义域为，是奇函数，不符合要求，不是D.2.函数是定义在上的奇函数，下列说法：①；②若在上有最小值，则在上有最大值；③若在上为增函数，则在上为减函数．其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于①，，可得，①对；对于②，由题意可知，存在，使得对任意的，都有，则，且，对任意的，，所以，，即函数在上有最大值，②对；对于③，任取、且，则，因为函数在上为增函数，则，即，故，所以，函数在上为增函数，③错.知识点02奇偶性函数的图象特征（重点）1.奇函数的图象特征如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．2.偶函数的图象特征如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数．【即学即练】1.已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在，上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】如图所示：当时，，，；当时，，，，故当时，其解集为，∵是偶函数，是奇函数，∴是奇函数，由奇函数的对称性可得：当时，其解集为，综上：不等式的解集是，知识点03奇偶性函数的单调性（重点）根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．【即学即练】1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A：的定义域为关于原点对称，，可知且，所以是非奇非偶函数，是增函数，故选项A不正确；对于B：的定义域为关于原点对称，，所以是偶函数，故选项B不正确；对于C：的定义域为，关于原点对称，且是奇函数，在和单调递增，但不是定义域内的增函数，故选项C不正确；对于D：，作出其图象如图所示：图象关于原点对称，是奇函数，且是增函数，故选项D正确；知识点04函数奇偶性的性质（拓展）1.两个函数间奇偶性的关系，在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数2.函数奇偶性的两个特殊结论(1)若奇函数在x=0处有定义，则；(2)若函数为偶函数，则【即学即练】1.（2024青海西宁·高二校考开学考试）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，为增函数，不符合题意；对于B，为奇函数，但是该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误；对于C，，故为奇函数，当时，在上单调递减，当时，在单调递减，故C符合题意；对于D，为偶函数，且在定义域内不单调.2.（多选）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数【答案】BD【解析】对于A：令，则，所以A中的函数是偶函数，所以A错误；对于B：令，则，所以B中的函数为奇函数，故B正确；对于C：令，则，故C错误；对于D：令，则，故D正确．知识点05函数的对称性（拓展）1．若函数为偶函数，则函数关于对称．2．若函数为奇函数，则函数关于点对称．3．若，则函数关于对称．4．若，则函数关于点对称．【即学即练】1.（2024南宁三中校考一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（

）A．5 B．4 C．3 D．0【答案】B【解析】∵，∴以为对称中心，且；∵即，∴为偶函数，以轴为对称轴；∴，即，由知，，∴，，从而，即，∴的周期为4，∴的周期为4；故．题型01一般函数奇偶性的判断【典例1】判断下列函数的奇偶性.(1);(2);(3)；(4).【分析】先看定义域是否关于原点对称，再考察f(x)与f(-x)的关系.【解析)原函数的定义域为,对于定义域内的每一个都有从而函数为奇函数.(2)原函数的定义域为R,对于定义域内的每一个都有从而函数为偶函数.(3)由于,从而函数既不是奇函数也不是偶函数.(4)f(x)的定义域为{2},不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.【易错警示】利用定义法判断函数的奇偶性时，先看定义域是否关于原点对称，若不对称，则是非奇非偶函数，若对称，再去验证是否有式子f(-x)=f(x)或f(-x)=－f(x)成立.判断函数的奇偶性的基本方法1.定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则可判断函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域关于原点对称,则判断f(-x)是否等于f(x)或-f(x).2.验证法:即在定义法的基础上,验证f(-x)±f(x)=0、f(-3.图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称,所以通过函数的图象可直观地看出函数的奇偶性.4.性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数和一个偶函数的积为奇函数.【变式1-1】（2024·高一课时练习）下列函数中，是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是；对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是；对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是；对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是.【变式1-2】（2025·高一课时练习）函数的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数【答案】D【解析】函数的定义域为，不关于数0对称，所以函数是非奇非偶函数.题型02分段函数奇偶性的判断【典例2】判定下列分段函数的奇偶性(1);(2)【分析】分x>0与x<0，x=0三种情况，分别验证f(－x)与f(x)的关系．【解析】(1(当x＞0时，－x＜0，故有,当x＜0时，－x＞0，.当x=0时，f(-x)=0=-f(x),∴在定义域内都有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数为奇函数．(2)当时，，；当时，，．故函数既不是奇函数也不是偶函数．【易错警示】第(2)小题的一个典型错解是：∵当时，，当时，，∴当时，函数f(x)是偶函数；当时，函数f(x)是奇函数．事实上，函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，即不能说一个函数在某一段是奇函数，另一段是偶函数，上述错解恰好犯了这样的概念性错误分段函数奇偶性的判断对于分段函数的奇偶性的判定,首先看定义域是否关于原点对称,其次要分段讨论,注意要根据x的取值范围选取相应的函数表达式.【变式2-1】判断函数的奇偶性.【解析】由已知函数的定义域为，由已知：当时，；当时，.（1）当时，，.（2）当时，，.综上，f(x)为偶函数.【变式2-2】证明函数是奇函数.【证明】由已知函数的定义域为，对分段函数进行变形：，当时，，当时，.∴f(x)为奇函数.题型03抽象函数奇偶性的判断【典例3】（2025·河南开封高一上联考）已知函数对一切实数都有成立，且.(1)分别求和的值；(2)判断并证明函数的奇偶性．【解析】（1）因为函数对一切实数都有成立，，所以当时，即，令可得，所以，即（2）令可得，所以，所以，即，，所以函数是奇函数.抽象函数奇偶性的判断判定抽象函数f(x)的奇偶性时，因无具体的解析式，所以需要利用给定的函数方程式，对变量赋值，将其转化为含有f(x)、f(-x)的式子,再判断奇偶性.【变式3-1】（多选）（2024春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（

）A．为奇函数 B．为奇函数C．为偶函数 D．为偶函数【答案】BCD【解析】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误；由，得，所以为奇函数，B项正确；因为，所以为偶函数，C项正确；因为，所以为偶函数，D项正确.【变式3-2】（2024全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，满足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判断并证明函数的奇偶性.【答案】（1）1；（2）偶函数，证明见解析.【解析】（1）依题意，.（2）由（1）知，∴，即，∴，又因为的定义域为，所以函数为偶函数题型04利用奇偶性求解析式【典例4】（2025·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】时，，，∴，奇偶性求解析式分正负两种情况去考虑,告诉一边求另一边,从中发现规律．【变式4-1】（2025春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求当时，函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）设，则，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以即当时，函数的解析式为，（2）由，得，因为为奇函数，所以，当时，，所以在上单调递增，因为函数是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，所以，解得，即实数的取值范围为【变式4-2】（2025秋·山东济宁·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求在上的解析式；(2)当时，求的值域.【答案】(1)(2)【解析】（1）∵函数为奇函数，则有：当时，则，故；当时，则；所以在上的解析式为.（2）当时，则，对，且，则，故，∴，即，故在上为增函数，且，则，所以当时，的值域为.题型05利用奇偶性求值【典例5-1】(2025·上海市川沙中学高一期末)若函数为偶函数，则_______________.【答案】2【解析】因为函数为偶函数，所以m-2=0，解得m=2.也可用，解出m=2.故答案为：2【典例5-2】(2025·内蒙古赤峰学院附属中学高一期末)若函数在上是奇函数，则的解析式为______．【答案】【解析】在上是奇函数，，，．又，，即，．奇偶性求值根据题目特征，由奇偶性性质，代入数字可以求值．【变式5-1】(2025·吉林长春外国语学校高一开学考试)已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于()A． B． C． D．【答案】D【解析】(1)故选：D【变式5-2】(2025·云南弥勒市一中高一月考)已知，其中为常数，若，则()A．－10 B．－2C．10 D．2【答案】A【解析】因为，所以，若，则故选:A．【变式5-3】(2025·辽宁高一期末)已知函数，若，则____________．【答案】【解析】因为，所以，若，则故选:A．(3)令，∵∵，∴，故∴故答案为：题型06利用奇偶性求参数【典例6-1】（2025·山东枣庄·统考模拟预测）已知为偶函数，则a=（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】因为函数为偶函数，则，即，因此，解得，所以.【典例6-2】（2025秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，即，且，故，所以，所以，则.奇偶性求参数根据题目特征，由奇偶性性质，代入相关数字可以求参数．【变式6-1】（2025·山东枣庄·统考模拟预测）已知为偶函数，则a=（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】因为函数为偶函数，则，即，因此，解得，所以.【变式6-2】（2025·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设是定义在上的奇函数，则＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，即，且，故，所以，所以，则.题型07利用奇偶性解不等式【典例7-1】（2025·河南·校联考模拟预测）为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对任意的，都有，则，令，则在上单调递增，因为为定义在上的偶函数，所以，即为偶函数，又，由，可得，即，所以，所以的解集为，【典例7-2】（2025·湖北·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】已知是定义在上的偶函数，则，又对任意，且，都有，所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，又，所以，根据函数的单调性可知：等价为或，即或，解得或，即不等式的解集为.利用奇偶性求参数判断奇偶性，化不等式为对称区间形式，用单调性解，注意定义域，结合奇偶性变号规则。【变式7-1】（2024辽宁丹东·高一统考期末）若偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以由，当时，由，因为在上单调递增，所以，或，而，所以；当时，由，因为在上单调递增，所以或，而，所以，【变式7-2】（2024·广东深圳·高一统考期末）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集________.【答案】【解析】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递减，所以，所以，即，故答案为：【变式7-3】（2024广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知为上的偶函数，函数在上单调递增，则不等式的解集为______.【答案】【解析】因为为上的偶函数，函数，所以，即函数为偶函数，由，可得，即，又函数为偶函数且在上单调递增，所以，解得，即原不等式的解集为.故答案为：.题型08奇偶性与单调性的综合【典例8-1】（(2025·浙江高一期末)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，是奇函数，是偶函数，故排除ABC，的定义域为，故既不是奇函数也不是偶函数，故选：D【典例8-2】（(2021年广东)已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，又因为且在上单调递增，所以，所以，故选：B.奇偶性与单调性的综合运用奇偶性化对称区间，单调性定增减，结合用奇偶性变号，单调性解不等式，勿忘定义域。【变式8-1】(2025·江西南昌高一上联考)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是()A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A错误；对于B：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故B错误；对于C：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为偶函数；当时，为增函数，故C正确；对于D：的定义域为R，关于原点对称，但是，而，所以，所以为非奇非偶函数，故D错误.故选：C【变式8-2】(2025吉林高一上期末)设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是()A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以因为时，是增函数，所以，所以.故选：A【变式8-3】(2025广东揭阳第一中学高一上期末)已知函数是偶函数，当时，

恒成立，设，，，则，，的大小关系为()A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，则，所以，函数为上的增函数，由于函数是偶函数，可得，，，因此，.故选：A.【变式8-4】(2024·福建高一期末)若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为()A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是奇函数，在上递减，则在上递减，∴在上是减函数，又由是奇函数，则不等式可化为，∴，．题型09数形结合解决奇偶性问题【典例9】（2024上海金山·高一上海市金山中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为________．【答案】【解析】已知是定义在上的奇函数，则，且又对任意且，都有，不妨设，则，所以，即，所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增，又，所以，则函数的大致图象如下图：根据图象可得不等式的解集为：.奇偶性与单调性的运用奇函数图象关于原点对称，偶函数关于y轴对称，借图象直观分析性质。【变式9-1】（2025·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，且，，可画出其大致图象，如图所示，因为，所以当时，，解得，当时，，解得，当时，显然不合题意，所以不等式的解集为，【变式9-2】（2025·北京·高三统考学业考试）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图象如图所示．(1)求的值；(2)补全的图象，并写出不等式的解集．【答案】(1)1(2)作图见解析，【解析】（1）由图可知，，因为是偶函数，所以；（2）的图象如上图，不等式的解集为；综上，，的解集为.题型10函数性质的综合应用【典例10】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，.(1)判断函数的奇偶性并证明；(2)求证：在上是增函数；(3)解不等式：.【分析】（1）利用赋值法依次得到，再利用偶函数的定义与赋值法即可得证；（2）利用已知条件得到，结合函数单调性的定义即可得证；（3）利用赋值法可得，从而将原不等式化为，结合的单调性得到关于的不等式，解之即可得解.【解析】（1）是偶函数，证明如下：因为，令，则，所以，令，则，所以，令，，即对任意的都有成立，所以函数是偶函数；（2）依题意，任取，且，则，即，因为当时，，而，则，所以，所以，即，所以在上是增函数；（3）因为是偶函数，，，，所以不等式可化为，由（2）可知，在上是增函数，所以，所以，，且，解得，，且，所以，故原不等式的解集为.函数性质的综合应用问题破解策略对于函数性质的综合应用问题，常采用各个击破的策略求解，如需要用到函数奇偶性的则联想函数的奇偶性，需要比较大小或解不等式则可联想函数的单调性，等等.另外要注意各种数学思想，尤其是数形结合思想和整体代换思想的应用.【变式10-1】（24-25高一上·广西南宁·期中）已知定义在上的奇函数满足.(1)求的解析式；(2)证明：函数在上单调递减；(3)求关于的不等式的解集.【分析】（1）由，求得，再利用，求得，可得的解析式；（2）利用函数单调性定义证明即可；（3）利用函数的奇偶性与单调性即可求解.【解析】（1）因为为奇函数，所以，即；因为，所以.

经检验函数是奇函数所以的解析式为.（2）证明：，且，

，，，，

，即所以函数在上单调递减；（3）因为为奇函数，所以等价于，因为在上单调递减，所以，解得，即不等式的解集为.【变式10-2】（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）若定义域是的函数对任意的，都有成立，且当0时，.(1)判断的奇偶性，并证明；(2)判断的单调性，并证明；(3)解关于的不等式.【分析】（1）利用赋值法，结合函数的奇偶性的定义进行证明.（2）利用函数单调性的定义，通过计算来进行证明.（3）根据函数的单调性、奇偶性等知识，结合对进行分类讨论来求得正确答案.【解析】（1）函数为奇函数，证明如下：令，可得，故，令可得，即.又函数的定义域是，故函数为奇函数.（2）函数单调递减，证明如下：任取，则，故，即，所以在上单调递减.（3）因为在上单调递减，且为奇函数，则不等式，可化为，即.即，即，当时，不等式为，解得，则不等式的解集；当时，不等式变形为0，由于，解得或，故此时不等式的解集为；当时，不等式变形为0，由于，解得，故此时不等式的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.练基础1．（24-25高一上·河南商丘·期中）下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于B，的定义域为，且，可得是奇函数，故选B.2．（2025全国·课后作业）函数，那么的奇偶性是（）A．奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数C．偶函数 D．既是奇函数也是偶函数【答案】A【解析】函数的定义域为R，关于坐标原点对称，且：，故函数为奇函数.3．（2024甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，，因为，所以，，B错误，D正确；对于A，C，、与的大小无法判断，4．（2024广西·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，.当时，，.5．（2024北京·期末）已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，．当时，为增函数，所以，，因此，．6．（2025福建厦门·期末）若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是奇函数，在上递减，则在上递减，∴在上是减函数，又由是奇函数，则不等式可化为，∴，．7（多选）（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据幂函数和反比例函数的图象与性质依次判断可.【解析】对于A，为其定义域上的增函数，是奇函数，故A正确；对于B，为其定义域上的增函数，是奇函数，故B正确；对于C，为奇函数，但只在和上分别为增函数，不是整个定义域上的增函数，故C错误；对于D，为偶函数，故D错误.故选：AB.8.（多选）（2025全国·课后作业）下列判断正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是非奇非偶函数【答案】BC【解析】对于A，由且，得，则的定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故A错误;对于B，函数的定义域关于原点对称，当x>0时，，，当x<0时，也有，所以为奇函数，故B正确;对于C，由且，得，即，的定义域关于原点对称，此时，所以既是奇函数又是偶函数，故C正确;对于D，由且，得且x≠0，的定义域关于原点对称，因为，，所以函数为奇函数，故D错误.9.（2025上海·课后作业）若函数，（其中为常数）是奇函数，则．【答案】【解析】因为函数的定义域为上的奇函数，所以，，解得.故答案为：10．（2025上海·专题练习）若函数的图象与的图象关于轴对称，则．【答案】【解析】在函数的图象上任取，点关于对称的点为，在的图象上，所以．，故答案为：．11．（2025全国·课后作业）已知是R上的偶函数，且在上是严格增函数，若，则a的取值范围是．【答案】【解析】因为是R上的偶函数，所以的图象关于轴对称.因为在上是严格增函数，所以在上是严格减函数.所以可化为，解得：.故答案为：12．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4).【分析】先考查函数的定义域，进一步利用奇偶性的定义逐题判断即可.【解析】（1）函数的定义域为，不关于原点对称，故函数既不是奇函数，又不是偶函数．（2）函数的定义域为R.又所以函数为奇函数.（3）函数的定义域为R.又，所以函数为偶函数.（4）因为函数的定义域为，则，且，则且，所以函数既是奇函数，又是偶函数.13．（2025全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2).【解析】（1）解：由题意知的定义域为，定义域关于原点对称.当时，，所以；当时，，所以.综上所述，知对于任意，都有，所以，函数为偶函数.（2）解：函数的定义域为，关于原点对称.当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以，.综上可知，当时，都有，所以是奇函数.13．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，．(1)求的解析式；(2)写出的单调区间；(3)求出的值域．【分析】（1）令求出，再根据偶函数的定义即可；（2）根据二次函数的性质得出在上的单调性，再结合偶函数的性质即可；（3）根据二次函数的单调性以及偶函数的性质可得.【解析】（1）若，则，则，因是偶函数，则，则.（2）时，的图象开口朝上且对称轴为，则的单增区间为，单减区间为，因是偶函数，则的单增区间为，，单减区间为，.（3）由的单调性以及偶函数的性质可知，，故的值域为

练提升14．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和单调性，即可求解.【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数，可得，又由当时，函数为单调递减函数，所以，所以，故选：A.15．已知定义在R上的函数满足:关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为关于中心对称，所以对称中心是，故，因为是偶函数，所以的对称轴是，即，所以中，将替换为，得到，故，将替换为，得到，所以，因此的周期为8.所以，，，因为在上递增且是奇函数，所以在上递增，所以，∴.16.(多选)（2025广东佛山·阶段练习）已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（

）A．的值域为 B．定义域为C． D．是奇函数【答案】BC【解析】对A,的值域为,故A错误.对B,定义域为.故B正确.对C,当是有理数时也为有理数,当是无理数时也为无理数,故成立.故C正确.对D,因为,故D错误.17.（多选）（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（

）A． B．是奇函数C． D．当时，【答案】AD【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案.【解析】AB选项，因为是定义在R上的奇函数，根据奇函数性质可知，，A正确；的定义域为R，由于，则，即为偶函数，B错误；C选项，当时，，则，故，C错误；D选项，当时，，则，所以，D正确．故选：AD．18．（2025全国·课后作业）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则不等式的解集为．【答案】【解析】由题知，，又在上单调递减，所以在上单调递减，由可得，且或且，则或，所以不等式的解集为．19．（24-25高二下·江西·期末）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，.(1)求函数与的解析式；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可；（2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可.【解析】（1）因为，是奇函数，是偶函数，则，可得，联立方程，解得，.（2）因为，即，又因为，令，则，可得，整理可得，原题意等价于在上恒成立，又因为，当且仅当，即时，等号成立，可得，即，所以实数的取值范围为.20．（2024北京朝阳·期末）已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设，(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设mn<0,m+n>