专题08统计与概率（讲义）数学学业水平考试合格考总复习（原卷版）

专题08统计与概率目录目录学考要求速览必备知识梳理高频考点精讲考点一：随机事件的概率考点二：统计量的计算考点三：统计图表及其应用实战能力训练1、通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法.会计算总体均值,了解样本与总体的关系.2、结合实例,理解并掌握统计图表的画法及应用,能用样本估计总体的取值规律.3、结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.4、结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义.5、结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义.理解随机事件与样本点的关系.6、结合具体实例,理解古典概型的概念及特征.能计算古典概型中简单随机事件的概率.7、通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.8、结合实例,会用频率估计概率.了解随机数的意义.9、会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率.1、基本概念1．随机试验:在概率论中,我们把具有以下特点:①可以在相同的条件下重复地进行;②每次试验可能的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现的试验叫作随机试验.2．样本空间和样本点:随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为Ω.如果一个随机试验有n个可能的结果w1,w2,…,wn,则称样本空间Ω=w1,w23．随机事件:一般地,我们称随机试验E的样本空间Ω的子集为E的随机事件,简称事件,通常用大写字母A,B,C表示在每次实验中,当且仅当A中的一个样本点出现时,4．基本事件:特别地,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.基本事件wi5必然事件:样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,Ω称为必然事件,必然事件的概率PΩ=1.反之,概率为6．不可能事件:ϕ不包含任何样本点,它也作为样本空间Ω的子集,它在每次试验中都不发生,ϕ称为不可能事件,Pϕ=0.反之,概率为2、古典概型(1)古典概型的特点有限性:样本空间的样本点只有有限个;等可能性:每个样本点发生的可能性相等.(2)古典概型事件A的概率P3、频率与概率一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离的概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fnA会逐渐稳定于事件A发生的概率PA.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率f4、全面调查和抽样调查(1)像人口普查,对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查;根据一定的目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查.抽样调查的核心是样本的代表性,每个个体被抽到的概率相等,样本数据能够反应总体.(2)调查对象的全体称为总体,组成总体的每一个调查对象称为个体.从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量.例:调查高一年级1234名学生的课外阅读时间,随机抽取100名学生,其中总体:1234名学生的课外阅读时间,个体:每个学生的课外阅读时间,样本:抽取的100名学生的课外阅读时间,样本容量:100.2．简单随机抽样:一般地,设一个总体含有NN∈N*个个体,从中逐个抽取n1≤n<N个个体作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,这样的抽样方法叫作放回简单随机抽样;如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,这样的抽样方法3．分层随机抽样:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.5、平均数的计算1．普通平均数:n个数据分别为x1,x2．加权平均数:若一组数据x1,x2⋯3．分层抽样的平均数:在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层抽取的样本量分别为m和n.我们用x1,x2,⋯xm表示第1层样本的各个个体的变量值;w同理,若总体分为3层,第1,2层和第3层抽取的样本量分别为l,mw6、方差的计算1．普通方差:n个数据分别为x1,x2,⋯,xs2．加权方差:若一组数据x1,x2⋯xn的频率分别为ss=s2为样本标准差,标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小7、百分位数的计算①第p百分位数的概念一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有100-②计算一组n个数据的第p百分位数第一步:按从小到大排列原始数据;第二步:计算i=第三步:若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第i+1项数据③四分位数的概念四分位数:包含第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数.中位数相当于第50百分位数,第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.8、频率分布直方图中的数据计算1．频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小,以各个小长方形的面积表现相应各组的频率,各个小长方形的面积的总和等于1,即样本数据落在整个区间的频率为1.2．频率分布直方图中的平均数:在频率分布直方图中,设xi和pi为第iix3．频率分布直方图中的百分位数:在频率分布直方图中,我们通常认为数据均匀地分布在各自的区间上.设pi为第ii=1,2,⋯,n组数据的频率,在计算第p百分位数时,由p1+p2+⋯+pi-1<即直线x=x04．频率分布直方图中的方差:在频率分布直方图中,设xi和pi为第ii=1,2考点精讲讲练考点一：随机事件的概率例题1（2024高二上·江苏·学业考试）甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（

）A．0.26 B．0.72 C．0.85 D．0.98例题2．（2024高二上·江苏·学业考试）盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（

）A．13 B．12 C．23例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）从三件正品、两件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（

）A．110 B．15 C．3101．甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（

）A．14 B．13 C．122．天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（

）A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.823．甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（

）A．0.09 B．0.42 C．0.51 D．0.6考点二：统计量的计算例题1（2024高二上·江苏·学业考试）已知某同学周一至周五的日睡眠时间（单位：h）依次为8.9,8.1,9.2,9.0,8.3，则该同学周一至周五的平均日睡眠时间（单位：h）为（

）A．8.6 B．8.7 C．8.8 D．8.9例题2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（

）A．79 B．80 C．81 D．82例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（

）A．290 B．295 C．300 D．3301．已知数据x1,x2,⋅⋅⋅,xn的平均数为A．16 B．15 C．8 D．72．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A．45 B．54 C．90 D．1263．某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为x，s2，新平均分和新方差分别为x1，s12，若此同学的得分恰好为A．x=x1，s2=C．x=x1，s2>考点三：统计图表及其应用例题1（2024高二上·江苏·学业考试）为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50kw⋅h到350kw⋅h之间A．11 B．22 C．34 D．44例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了n名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间（单位：小时）在30,50的学生有210人，则n=（

）A．300 B．360 C．400 D．480例题3．（2023高三·江苏·学业考试）党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（

）A．16 B．30 C．32 D．621．某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm的树苗棵数是（

A．360 B．600 C．840 D．13202．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分中位数分别为m1，m2，平均数分别为s1，sA．m1>m2，s1>s2 B．m1>m23．某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间75,80内的学生有（

）A．80名 B．100名 C．120名 D．140名训练1、在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（

）①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”；②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④2、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面向上”，设事件B=“第二枚硬币正面向上”，则（

）A．事件A与B互为对立事件 B．事件A与B为互斥事件C．事件A与事件B相等 D．事件A与B相互独立3、“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体智慧的强大．假设李某能力较强，他独自一人解决项目M的概率为P1=0.9；同时，有n个水平相同的人组成的团队也在研究项目M，团队成员各自独立地解决项目M的概率都是0.4．如果这个n人的团队解决项目M的概率为P2，且P2≥P1，则n的最小值是(参考数据：A．4 B．5 C．6 D．74、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为13,1A．115 B．13 C．8155、从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23,24,23,25,26,23,25.则这组数据的众数和中位数分别是（

）A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，246、一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件A=“两次向上的数字都为3”，B=“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（

）A．该试验的样本空间共有36个样本点 B．事件A与事件B互斥C．P(B)=112 D7、先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A=“第一枚出现偶数点”，事件B=“第二枚出现奇数点”，则（

）A．A与B互斥 B．A与B对立C．A与B相互独立 D．A与B相等8、2025年春节将要到来，某商场为了增加客流量，决定举办“购物得奖券”活动，规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券，中奖的概率为0.4，不中奖的概率为0.6．现在两个人各有一张奖券，两张奖券是否中奖相互独立，则两张奖券中恰有一张中奖的概率为（

）A．0.16 B．0.24 C．0.36 D．0.489、某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（

）A．6,18,36 B．6,20,34C．10,18,32 D．10,20,3010、随着“碳达峰，碳中和”目标的提出，各地都在积极推进“绿色出行，低碳出行”．某高中环保社团为了了解学生出行选择交通工具的情况，进行一次问卷调查，该校学生共有900人，其中男生500人，女生400人，现用分层抽样的方法从这所学校抽取45人，则抽取的男生人数是（

）A．20 B．25 C．30 D．3511、某市为了解全市餐饮行业卫生情况，对本市的100家餐饮企业的卫生情况进行了摸排，并把卫生情况各类指标的得分综合折算成标准分（最高为100分），统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于80分的企业数为（

）A．5 B．15 C．20 D．2512、从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：mm），得到频率分