专题1.1 集合的含义与表示（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

27/28专题1.1集合的含义与表示教学目标1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系。2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。3.在具体情境中，了解全集与空集的含义。教学重难点1.重点（1）元素与集合的关系；（2）集合中元素的三大特性；（3）集合的表示方法。2.难点（1）利用集合中元素特性求参；（2）集合的表示方法。知识点01集合与元素的相关概念1．元素与集合的概念(1)集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写字母A,B,C,…表示.(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素.元素常用小写字母a,b,c，…表示.(3)元素的特性：确定性、无序性、互异性．【即学即练】1．2025年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级.则下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由.（1）你所在班级中全体同学；（2）班级中比较高的同学；（3）班级中身高超过178cm的同学；（4）班级中比较胖的同学；（5）班级中体重超过75kg的同学；（6）学习成绩比较好的同学.【答案】能构成一个集合的是（1）（3）（5），理由见解析.【分析】从集合中元素的确定性入手进行判断.【解析】班级中全体同学是确定的，所以可以构成一个集合.（2）因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合.（3）因为“身高超过178cm”是确定的，所以可以构成一个集合.（4）因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合.（5）因为“体重超过75kg”是确定的，可以构成一个集合.（6）因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合.知识点02元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A中的元素aAa属于集合A不属于a不是集合A中的元素aAa不属于集合A【即学即练】1．用符合“”或“”填空.（1）设集合A是小于6的所有实数组成的集合，则_____，_____；（2）设集合B是满足方程（为正整数）的实数组成的集合，则3___，5___；（3）设集合C是方程的有序实数对组成的集合，则-1_____，_____.【答案】（1）（2）（3）【分析】若元素在集合内，则填“”，若元素不在集合内，则填“”.【解析】（1）因为，所以；因为，所以.（2）因为为正整数，所以，所以3；当时，，所以5.（3）因为集合C中的元素是有序实数对，而-1不是数对，所以，而是有序实数对，且，所以．知识点03常用的数集及其记法3．常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法【即学即练】1．下列关系：①0.3∈Q；②Q；③；④Q.其中不正确的个数为（）.A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】先化简各数，再作判断．【解析】因为0.3∈Q，Q，，Q，所以正确的序号只有①，即不正确的个数为3．故选C.知识点04集合的表示方法1．列举法(1)定义：列举法是把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法.(2)书写形式：一般用集合表示为.温馨提示：运用列举法表示集合，应注意：(1)元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；(2)元素不重复；(3)元素间无顺序；(4)“{}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略2．描述法(1)定义：通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．(2)书写形式：{x及x的范围|x满足的条件}．温馨提示：用描述法表示集合，应注意：(1)应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．【即学即练】1．用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有素数组成的集合；（4）方程的所有实数根组成的集合；【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】根据各小题中的对集合的元素的描述，确定集合的元素，然后写在大括号内，便得到其列举法表示.【解析】（1）小于10的所有自然数为，用列举法表示它们构成的集合为；（2）由解得或,所以方程的所有实数根为0和1，用列举法表示所有实数根组成的集合为；（3）1～20以内的所有素数为，用列举法表示它们组成的集合为；（4）方程的所有实数根为-2，2，用列举法表示它们组成的集合为.2．用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的所有自然数组成的集合；(2)比1大又比10小的所有实数组成的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】按照描述法的规则表示集合即可.【解析】（1）被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为；（2）比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为；（3）平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为.知识点05区间1.一般区间的表示设a，b是两个实数，而且a<b，规定如下表：定义名称符号几何表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}左闭右开区间[a，b){x|a<x≤b}左开右闭区间(a，b]这里实数a，b都叫作相应区间的端点．2.特殊区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)答案：任意一个数x唯一确定自变量x{f(x)|x∈A}[a，b](a，b)【即学即练】1．将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1)；(2)或；(3)且；(4).【答案】答案见解析【分析】根据集合、区间以及数轴的知识确定正确答案.【解析】（1）用区间表示为，用数轴表示如图：

（2）或用区间表示为，用数轴表示如图：

（3）且用区间表示为，用数轴表示如图:

（4）用区间表示为，用数轴表示如图：

题型01集合的基本概念【典例】下列对象不能组成集合的是（）A．不超过20的质数 B．π的近似值 C．方程x2＝1的实数根 D．函数y＝x2，x∈R的最小值【答案】B【分析】分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性，即可得到答案．【解析】A、一不超过20的质数，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；B、π的近似值，无法确定元素，不满足集合元素的确定性和互异性，故不可以构造集合；C、方程x2＝1的实数根为﹣1，1，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；D、函数y＝x2，x∈R的最小值为0，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；故选：B．判断指定的一组对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合中的元素．【变式1】以下各组对象不能组成集合的是（）A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的实数解 D．周长为10cm的三角形【答案】B【分析】根据集合元素的特点：互异性、确定性、无序性，判断各选项即可．【解析】对于选项A：中国古代四大发明是指指南针、造纸术、印刷术、火药，满足集合元素的特征，构成集合；对于选项B：地球上的小河流，没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．对于选项C：方程x2﹣7＝0的实数解为±7，满足集合元素的特征，构成集合；对于选项D：周长为10cm的三角形也有明确的判断标准，满足集合元素的特征，构成集合；故选：B．【变式2】（多选题）下列各对象可以组成集合的是（）A．比1大的全体实数 B．江西师大附中2025届全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家【答案】AB【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可．【解析】对于选项A：对于任一个实数，都可判断其是否大于1，元素具有确定性，故选项A正确；对于选项B：对于任何一个学生可以判断其是否属于高一学生，故选项B正确，对于选项C：其中元素不具有确定性，故选项C错误，对于选项D：其中元素不具有确定性，故选项D错误，故选：AB．【变式3】（2021秋•大安市校级月考）有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据集合的元素的确定性可判断①②是错误的，根据集合的定义即可判断③④正确．【解析】因为集合的元素必须是确定的，而①②中的数没有标准，故①②不能构成集合，根据集合的定义可判断③④可以构成集合，故选：A．题型02求集合中元素的个数【典例】已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3 C．5 D．9【答案】C【分析】将集合B中的元素逐一列举出来，便可确定元素的个数.【解析】因为，所以当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时.所以集合共五个元素.故选C.确定集合中元素的个数的方法是枚举法，即逐一列举出它的所有元素，其中重复的元素只能算一个，最终再统计出元素总的个数.【变式1】若集合，，则集合中的元素的个数为A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】由题得：，所以是4个元素【变式2】已知集合，，则中所含元素的个数为A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】试题分析：集合中所满足条件的元素,共3个，故选B.【变式3】已知集合，，则集合中的元素的个数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由题知以，即，故，进而得答案.【解析】因为，，所以，即所以，故，即集合中的元素的个数为个.故选：C题型03判断元素与集合的关系1.直接法【典例1】以下表示元素与集合的关系中正确的是()A.B.C.D.【分析】各选项中的元素都为具体的数或数对，与集合的关系一目了然，可直接判断.【解析】表示空集，没有任何元素，故0不是的元素，A错误;3.14是有理数,B错误;是有序实数对，而此集合中的元素应为单个的数，不符合此集合中元素的特征，C错误；,符合此集合中元素的特征，D正确.【答案】D如果集合中的元素是直接给出或容易求得，则利用直接法判断元素在已知集合中是否出现即可．【变式1】下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的意义进行判断.【解析】根据的意义,,故选：C.【变式2】已知集合，则下列判断错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断.【解析】依题意可得，所以.故选：A.2.推理法【典例2】已知集合，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误.【解析A选项，因为，可设，，所以，即，故A错误；B选项，因为，所以，故B错误；C选项，因为，其中，所以，故C正确；D选项，因为，其中，所以，故D错误．故选：C(1)对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．(2)利用推理法判断一个对象是不是某个集合的元素，首先要明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合的元素要符合哪种表达式或满足哪种条件，然后判断此对象是否也具有这种属性，从而确定该元素与已知集合的关系.【变式1】集合，且，则有（

）A． B． C． D．不属于中的任意一个【答案】B【解析由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，所以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数．【变式2】已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可.【解析】因为，设,则：有理数部分：，无理数部分，,,符合条件，所以，故A错误；设,则有理数部分，无理数部分:，,,符合条件，故，故B错误；设,则：有理数部分，无理数部分：，故,故C正确；设,则有理数部分：(非整数，矛盾)，故，故D错误．故选：C.【变式3】已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（

）.A．. B．.C．若，则. D．若，则.【答案】BC【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B.【解析】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误，对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确，对于，因为，所以，因为，所以，故正确，对于，若，则，故错误，故选：.题型04数集与点集的辨析【典例】下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．能表示方程组的解集的是()A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤ C．②⑤ D．②⑤⑥【答案】C【分析】二元方程组的解是一对数，应用有序实数对表示.【解析】方程组的解是故选C.一般地，数集的代表元素用一个字母表示，点集或二元一次方程组的解集的代表元素用有序实数对表示.【变式1】(多选)有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组的解集的是（

）A．或 B．C． D．【答案】BD【分析】先求出方程组的解，再利用集合表示判断即可.【解析】由，得，解集用集合表示为：或.故选：BD【变式2】（多选）下列关于集合的描述，正确的是（

）A．偶数集用描述法可以表示为B．方程组的解集可表示为C．方程的解构成的集合，用列举法可表示为D．集合与集合交集为空集【答案】AC【分析】对A根据偶数特点即可判断；对B，代入即可判断；对C，直接解出一元二次方程即可；对D，分别得出他们均表示集合即可判断.【解析】对A，根据偶数的特点和描述法的特征知偶数用描述法可以表示为，故A正确；对B，若，则不适合第二个方程，若，则不适合第一个方程，故B错误；对C，，解得或，则用列举法可表示为，故C正确；对D，，，则其交集为，则D错误.故选：AC.题型05选择适当的方法表示集合【典例】用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有能被3整除的数的集合；【答案】(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}．(2)．(3){a|a是梯形}或{梯形}．(4)．【分析】（1）（2）利用列举法表示集合.（3）利用描述法或列举法表示集合.（4）利用描述法表示集合.【解析】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.（2）大于小于12.8的整数的全体为：.（3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}.（4）所有能被3整除的数的集合为：.集合的常用表示方法有列举法和描述法.(1)列举法适合表示有限集，当集合中的元素个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且使人一目了然.但对于元素较多的有限集，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，此时常用省略号来表示多个元素.(2)用描述法表示的集合，认识它一要看集合中竖线左边代表元素是什么形式;二要看竖线右边元素满足什么条件.对无限集(集合中元素个数无限)或元素较多的有限集宜用描述法表示.【变式1】用列举法表示集合为．【答案】【分析】先解方程可得，进而求解即可.【解析】由，则，即，又，所以，则.【变式2】图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为．【答案】，且【分析】根据图形结合描述法即可得到答案.【解析】设集合中的代表元素是．由题意，，且，因此所求集合，且．【变式3】用适当的方法表示下列集合:(1)整数中由所有非负奇数组成的集合；(2)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；(4)方程x2-4x+16=0的实数解组成的集合.(5)方程组的实数解集.【答案】见解析【分析】表示集合的方法未事先给定，可自由选择表示方法，关键是弄清集合中元素所具有的属性是什么.【解析】(1)整数中非负奇数有无数多个，因此宜用描述法，可表示为：.(2)小于10的既是奇数又是质数的自然数只有2,3,5,7，个数较少，且限制条件多，因此宜用列举法，可表示为：.(3)平面直角坐标系内第三象限的点有无数个，且横坐标为负，纵坐标为负，因此宜用描述法，可表示为：.(4)方程无实数解，故该集合为空集，无法列举，故宜用描述法，可表示为.(5)方程组的解为为一个有序实数对，故用列举法表示为{(1,1)},用描述法表示为.题型06利用元素与集合的关系求参1.利用分类讨论思想求解【典例1】举例说明：设集合M中含有三个元素3，，：(1)求实数，应满足的条件；(2)若，求实数的值.【答案】(1)且且且且；(2)或或.【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可；（2）若，则或，进而求解即可得答案.【解析】（1）据集合中元素的互异性，可知，即且且且且；（2）若，则或，解得：或或，若，则，满足题意；若，则，满足题意；若，则，满足题意；故或或.】互异性是集合中元素的重要特性之一,解决此类含参数的问题时,求出a的所有可能值之后,必须代回原集合进行检验.【变式1】若，则a的值为（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可.【解析】因为，所以，或，或，当时，得，此时集合为，不合题意，舍去，当时，得，此时集合为，当时，得无解，综上，.故选：A【变式2】若集合，则实数的取值可以是（

）A．2 B．3 C． D．5【答案】BD【分析】根据集合中元素的互异性求解.【解析】集合，则，解得，知BD符合.故选：BD.【变式3】已知集合，且，则实数的值为．【答案】3【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案.【解析】因为，所以分为以下两种情况：①或，当时，集合满足题意；当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去；②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去；综上所述，.【变式4】已知集合，，若，则实数.【答案】【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值.【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；若，则，此时，符合要求；若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；综上所述，.2.利用根的判别式或韦达定理求解【典例2】已知集合A={x|ax2+2x+1=0}.(1)若A中没有任何元素,求实数a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求实数a的取值范围;(3)若A中至少有一个元素,求实数a的取值范围;(4)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.【答案】（1）a>1;(2)a=0或1;(3)a≤1;(4)a≥1或a=0.【分析】集合表示方程的解，根据方程的类型与方程根的情况确定所满足的条件.【解析】(1)若A中没有任何元素,则关于x的方程ax2+2x+1=0无实根.当a=0时,x=,不符合题意;当a≠0时,由Δ=4-4a<0,解得a>1,∴当a>1时,A中没有任何元素.(2)若A中只有一个元素,则关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个实数根或有两个相等的实数根.当a≠0时,由Δ=4-4a=0,得a=1;当a=0时,x=,符合题意.∴当a=0或1时,A中只有一个元素.(3)由(2)知,A中只有一个元素时,a=0或a=1.A中有两个元素时,有解得a<1,且a≠0,综上,当a≤1时,A中至少有一个元素.(4)若A中至多有一个元素,综合(1)(2)知a的取值范围为a≥1或a=0.解决含参数、其代表元素是一元二次方程的解的集合有关问题时，可将求字母的范围转化为研究方程根的情况的问题，即研究根的判别式的符号，对于某些二次项系数为字母参数的方程，还要分类讨论方程的类型.【变式1】若集合中恰有一个元素，则实数a的值是.【答案】或【分析】根据集合元素的个数，得出方程解的个数，进而讨论与0的关系，列出关系式，即可得出答案.【解析】由已知可得，方程只有一个解.当，即时，方程可化为，此时有，满足题意；当，即时，应有，此时有.综上所述，或.【变式2】若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和.【答案】2【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解.【解析】由题意可知：集合有两个元素，设为，即，则方程有两个不相等的实数根，则，所以.【变式3】已知集合为实数.(1)若集合是空集，求实数的取值范围；(2)若集合是单元素集，求实数的值；(3)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）a=1或2；（3）或【解析】(1)若集合是空集，则应有，解得(2)若集合是单元素集，则=1\*GB3①若时，；=2\*GB3②若时，则，解得a=2,此时综上所述a=1或2.(3)若集合中至多有一个元素，即集合为空集或单元素集，由(1)(2)可知，此时或题型07集合中的新定义问题【典例】设集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊗Q中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由集合的定义代入写出所有元素即可．【解析】由题意知，P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}＝{（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）}，共有6个元素，故选：D．解决集合中的新定义题，要耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求逐步分析、运算、验证，使问题得以解决【变式1】设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为（）A．4 B．5 C．19 D．20【答案】C【分析】根据定义P※Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}和P、Q中元素，一一列举出所有的情况再得个数．【解析】由题意可以采用列举的方式易得：（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8）（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8）（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（3，8）（4，5），（4，6），（4，7），（4，8）P*Q中元素的个数为19个．故选：C．【变式2】设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A⊗B中所有元素之积为（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【答案】C【分析】由集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，知A⊗B＝{2，﹣4，﹣1}，由此能求出A⊗B中所有元素之积．【解析】∵集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，∴A⊗B＝{2，﹣4，﹣1}，故A⊗B中所有元素之积为：2×（﹣4）×（﹣1）＝8．故选：C．【变式3】设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（

）个．A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可.【解析】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可，故满足条件的集合有：，，，，，，，，，，，，，，，.故选：B.【变式4】当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据新定义，逐项判断分析即可.【解析】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确；对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确；对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误；对④：任取有理数，，令，，则，，，且，所以有理数集是数域，故④正确.所以正确的有：①②④.故选：B.题型08集合中的开放探究题【典例】已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则.（1）若，求出A中其它所有元素；（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的所有元素？【答案】（1）；（2）见解析.【分析】由a的值，求出,再将所求得的的值视作a,继续代入表达式进行求解.【解析】(1)由，则，又由，得,再由得，而，得，故中元素为．(2)0不是A的元素．若，则，而当时，不存在，故0不是A的元素．取，可得．集合离不开元素,元素是集合的核心，因此解决有关集合中的探索性问题时，可以从集合中的元素入手，作为解题的切入口，同时还需注意集合中元素的互异性.【变式1】已知数集M同时满足以下条件：①M中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则eq\f(1＋a,1－a)∈M.则下列结论正确的是（）A.集合M中至多有2个元素B.集合M中至多有3个元素C.集合M中至少有4个元素D.集合M中有无穷多个元素【答案】C【解析】由条件②可知，当a=x∈M时，同理可得由即此时互不相等，此时M中有4个元素，类似地，a=－x∈M时，可证得此时M中有8个元素,因此集合M中至少有4个元素.故选C.【变式2】已知集合，写出一个满足集合至少有5个元素的的值：．【答案】（答案不唯一）【分析】取一个满足题目要求的的值即可.【解析】当时，，此时满足题目要求，【变式3】设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质.(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A；(2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据题意直接写出即可；（2）根据性质可知，分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可．【解析】（1）由，可得恰含有两个元素且具有性质的集合；（2）若集合A具有性质，不妨设，由非空数集A具有性质，有．①若，易知此时集合A具有性质．②若实数集A只含有两个元素，不妨设，由，且，解得：，此时集合A具有性质．③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素，则有，由于集合A具有性质，所以有，这说明集合A具有性质；综合以上可知集合A具有性质.单选题1．在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（

）A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④【答案】A【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项.【解析】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合；②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为；③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为；④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合；故选：A.2．已知集合.则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】确定集合中的元素，进而逐项判断即可；【详解】A，C选项使用符号错误，，B错，，D对；故选：D3．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若，且，则，即.4．下列各组集合中表示同一集合的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解.【解析】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确；对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；对于C中，集合表示由两个元素构成的数集；集合表示由点作为元素，构成的单元素数集，所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集，集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集，所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；故选：A.4．若集合中只有一个元素，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此，当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根，，解得，所以或.故选：C5．已知集合，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误.【解析】A选项，因为，可设，，所以，即，故A错误；B选项，因为，所以，故B错误；C选项，因为，其中，所以，故C正确；D选项，因为，其中，所以，故D错误．故选：C6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（

）A．4 B．2 C．6 D．1【答案】A【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案.【解析】由可得或，即或或或，即或或或，上述不等式组表示的平面区域如图示：由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成，所以点集所表示的平面区域的面积是4.，故选：A多选题7.下面四个说法中正确的是（

）A．10以内的质数组成的集合是B．由2，3组成的集合可表示为或C．方程的所有解组成的集合是D．与表示同一个集合【答案】AB【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可．【解析】对于A，10以内的质数组成的集合是，故A正确；对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确；对于C，方程的所有解组成的集合是，故C错误；对于D，表示以为元素的集合，故D错误．故选：AB．8.已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（

）A． B．若，且，则C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则【答案】ABD【分析】利用定义直接判断A；利用定义推理判断B；举例说明判断C；利用定义结合反证法推理判断D.【解析】对于A，令是非空数集S的元素，则，A正确；对于B，由，得，可推得，即，又，则，从而，则，因此，B正确；对于C，符合要求，此集合为有限集，C错误；对于D，由S中最小的正数为5，，可推得，假设里有形如，那么，与5是集合中的最小正整数矛盾，因此，D正确.故选：ABD.三、填空题9．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为．【答案】【分析】是自然数集且，所以的值越小，则的值越小，注意相同元素要舍去，即可得到对应集合.【解析】要想越小，则取值越小，故时，；故时，；故时，；故时，；故集合中最小的4个元素所构成的集合为.10．用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为．【答案】且．【分析】根据描述法的定义求解．【解析】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且．故答案为：且．11．已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为【答案】【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程，再利用根的情况