第03讲函数表示与基本性质

第03讲：函数表示与基本性质【题型归纳】【方法技巧】1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值常用结论1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的单调性相反．4．复合函数的单调性：同增异减．2．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称3.函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．函数奇偶性常用结论奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x的值：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．【题型探究】题型一：函数的定义域【答案】B【分析】根据函数定义域的概念列不等式，可得解.故选：B.【答案】A故选：A.【答案】C【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可；故选：C题型二：函数的值域A． B． C． D．【答案】C【分析】利用换元法，结合基本不等式可求得最大值.故选：C.【答案】D故选：D【答案】C【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域.故选：C.题型三：求函数解析式（3）令代换后与原式联立得到方程组，求解即得.【例2】．（2526高一上·山东泰安·阶段练习）求下列函数的解析式．【答案】题型四：函数相等问题【例1】．（2526高一上·新疆克拉玛依·期中）下面各组函数中是同一函数的是（

）A．（1）（3） B．（2） C．（4） D．（1）（4）【答案】C【分析】由题意结合同一函数的概念逐项判断即可得解.对于（4），两函数定义域和对应法则均相同，故（4）正确.故选：C.【例2】．（2526高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（

）【答案】D【分析】先判断定义域，再判断对应法则即可.故选：D.【例3】．（2425高一上·广东江门·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（

）【答案】C【分析】根据相同函数的概念逐项判断即可.故选：C题型五、根据单调性求参数【答案】B故选：B【答案】D【分析】应用分段函数的单调性结合对数函数单调性列式求解即可.故选:D.【答案】B题型六、由函数的奇偶性求解析式【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式.【分析】利用奇函数性质求函数解析式.题型七、由函数的奇偶性求参数【答案】2故答案为：.【答案】6故答案为：6.【答案】1故答案为：1.题型八、用定义法证明单调性、函数的奇偶性、单调性比较大小或解不等式(1)求与的值；题型九、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值或参数(1)求实数和的值；(2)奇函数，证明见解析(3)减函数，证明见解析【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值.（3）利用单调函数的定义证明函数的单调性.(1)判断函数单调性并证明；(1)求实数的值；题型十：函数的对称性和周期性【答案】故答案为：.【答案】故答案为：.【答案】故答案为：.题型十一、抽象函数问题题型十二、函数性质的综合应用(1)求的值；(3)单调递减，证明见解析.【分析】（1）依据奇函数定义域的对称性列方程求；（2）利用奇函数性质及已知区间解析式推导对称区间解析式；（3）通过定义法证明函数单调性.(2)若，（2）因为，【高分演练】一、单选题A．3 B． C．1 D．【答案】B【分析】根据奇函数的性质计算可得.故选：B【答案】B【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解.故选：B.A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据奇函数的定义域关于原点对称得出，再根据奇函数定义计算得出，计算即可求解.故选：A.【答案】D【分析】利用方程组法即可求出函数的解析式.故选：D.【答案】B故选：B6．（2526高一上·福建莆田·阶段练习）下列各组函数表示相同函数的是（

）【答案】D【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项中两个函数是否为同一函数即可.故选：D【答案】A【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合一次函数的单调性列不等式求解即可.故选：A.A．47 B． C．1 D．2【答案】C故选：C.【答案】D故选：D.二、多选题10．（2526高一上·黑龙江佳木斯·期中）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）【答案】ABD【分析】利用同一函数的概念逐项判断即可.故A选项中的两个函数表示同一函数；故B选项中的两个函数表示同一函数；故C选项中的两个函数不表示同一函数；故选：ABD.11．（2526高一上·黑龙江佳木斯·期中）下列各选项给出的命题中，正确的是（

）【答案】BCD故选：BCD【答案】BCD故选：BCD【答案】AD故选：AD【答案】AD【分析】根据已知条件，通过赋值法，结合函数单调性、奇偶性定义，对各选项进行逐一判断．故选：．三、填空题【分析】先利用复合函数的定义域求出中的的范围，再结合分式的分母不为0即可求定义域.【答案】①③④【分析】根据给定条件，赋值推理判断①②；利用函数单调性定义推理判断③；将不等式等价转化，再利用单调性求解判断④.故答案为：①③④.四、解答题（2）根据