山东省德州市夏津第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末经典试题含解析

山东省德州市夏津第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末经典试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数（且）图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为A. B.C. D.2．函数的图象是（）A. B.C. D.3．已知，那么（）A. B.C. D.4．函数的图象如图所示，则函数y的表达式是（）A. B.C. D.5．如图，水平放置的直观图为，，分别与轴、轴平行，是边中点，则关于中的三条线段命题是真命题的是A.最长的是，最短的是 B.最长的是，最短的是C.最长的是，最短的是 D.最长的是，最短的是6．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（）A.有最大值为1 B.有最小值为1C.有最大值为 D.有最小值为7．已知，则A.2 B.7C. D.68．角的终边经过点，且，则（）A. B.C. D.9．下列关于向量的叙述中正确的是（）A.单位向量都相等B.若，，则C.已知非零向量，，若，则D.若，且，则10．要得到函数的图像，只需将函数图的图像A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，且，则的值为__________12．已知，则满足f(x)＝的x的值为________13．某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．则正确结论的序号是_______.14．直线与圆相交于A，B两点，则线段AB的长为__________15．如图，在中，，，若，则_____.16．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为___________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知是定义在上的偶函数，当时，（1）求；（2）求的解析式；（3）若，求实数a的取值范围18．已知函数，且点在函数图象上.（1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.19．某学校对高一某班的名同学的身高（单位：）进行了一次测量，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值，估计全班同学身高的中位数；（2）若采用分层抽样的方法从全班同学中抽取了名身高在内的同学，再从这名同学中任选名去参加跑步比赛，求选出的名同学中恰有名同学身高在内的概率.20．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株成本投入（含施肥、人工等）为元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？21．设函数（1）若是偶函数，求k的值（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围；（3）设函数若在有零点，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】∵由得，∴函数（且）的图像恒过定点，∵点在直线上，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴最大值为，故选D【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误2、C【解析】由已知可得，从而可得函数图象【详解】对于y＝x＋，当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.即，故其图象应为C.故选：C3、B【解析】先利用指数函数单调性判断b，c和1大小关系，再判断a与1的关系，即得结果.【详解】因为在单调递增，，故，即，而，故.故选：B.4、A【解析】由函数的最大、最小值，算出和，根据函数图像算出周期，利用周期公式算出.再由当时函数有最大值，建立关于的等式解出，即可得到函数的表达式.【详解】函数的最大值为，最小值为，，，又函数的周期，，得.可得函数的表达式为，当时，函数有最大值，，得，可得，结合，取得，函数的表达式是.故选：.【点睛】本题给出正弦型三角函数的图象，求它的解析式.着重考查了三角函数的周期公式、三角函数的图象的变换与解析式的求法等知识属于中档题.5、B【解析】由直观图可知轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有，又为边上的中线，为直角三角形，为边上的中线，为斜边最长，最短故选B6、C【解析】利用基本不等式的性质进行求解即可【详解】，，且，（1），当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件7、A【解析】先由函数解析式求出，从而，由此能求出结果【详解】，，，故选A【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.当出现的形式时，应从内到外依次求值8、A【解析】利用三角函数的定义可求得的值，再利用三角函数的定义可求得的值.【详解】由三角函数的定义可得，则，解得，因此，.故选：A.9、C【解析】A选项：单位向量方向不一定相同，故A错误；B选项：当时，与不一定共线，故B错误；C选项：两边平方可得，故C正确；D选项：举特殊向量可知D错误.【详解】A选项：因为单位向量既有大小又有方向，但是单位向量方向不一定相同，故A错误；B选项：当时，，，但与不一定共线，故B错误；C选项：对两边平方得，，所以，故C正确；D选项：比如：，，，所以，，所以，但，故D错误.故选：C.10、D【解析】根据三角函数图像变换的知识，直接选出正确选项.【详解】依题意，故向左平移个单位得到，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】∵且,∴，∴，∴cosα+sinα=0,或cosα−sinα=(不合题意,舍去)，∴，故答案为−1.12、3【解析】分和两种情况并结合分段函数的解析式求出x的值【详解】由题意得(1)或(2)，由(1)得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去由(2)得x＝3，符合x>1∴x＝3故答案为3【点睛】已知分段函数的函数值求自变量的取值时，一般要进行分类讨论，根据自变量所在的范围选用相应的解析式进行求解，求解后要注意进行验证．本题同时还考查对数、指数的计算，属于基础题13、①②③【解析】由奇偶性判断①，结合①对，，三种情况讨论求值域，判断②，由单调性判断③，由③可知的图像与函数的图像只有两个交点，进而判断④，从而得出答案【详解】①，即，故正确；②当时，，由①可知当时，，当时，，所以函数的值域是，正确；③当时，，由反比例函数的单调性可知，在上是增函数，由①可知在上也是增函数，所以若，则一定有，正确；④由③可知的图像与函数的图像只有两个交点，故错误综上正确结论的序号是①②③【点睛】本题考查函数的基本性质，包括奇偶性，单调性，值域等，属于一般题14、【解析】算出弦心距后可计算弦长【详解】圆的标准方程为：，圆心到直线的距离为，所以，填【点睛】圆中弦长问题，应利用垂径定理构建直角三角形，其中弦心距可利用点到直线的距离公式来计算15、【解析】根据平面向量基本定理，结合向量加法、减法法则，将向量、作为基向量,把向量表示出来，即可求出.【详解】即：【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用问题，解题时根据向量加法与减法法则将所求向量用题目选定的基向量表示出来，是基础题目.16、①.②.【解析】由已知求得正八面体的棱长为，进而求得，即知外接球的半径，进而求得体积；若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，证得平面，再利用相似可知，即可求得半径.【详解】如图，记该八面体为，O为正方形的中心，则平面设，则，解得.在正方形中，，则在直角中，知，即正八面体外接球的半径为故该正八面体外接球的体积为.若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离.取的中点E，连接，，则，又，，平面过O作于H，又，，所以平面，又，，则，则该球半径的最大值为.故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2（2）（3）【解析】（1）根据偶函数这一性质将问题转化为求的值，再代入计算即可；（2）设，根据偶函数这一性质，求出另一部分的解析即可；（3）由（2）可知函数的单调性，结合单调性解不等式即可.【小问1详解】因为是偶函数，所以小问2详解】设，则，因为是定义在上的偶函数，所以当时，，所以（也可表示为【小问3详解】由及是偶函数得，由得，在上单调递增，所以由得，，解得，即a的取值范围是.18、（1），图象见解析（2）【解析】（1）先根据点在函数的图象上求出，再分段画出函数的图象；（2）将问题转化为直线与函数的图象有两个公共点，在同一坐标系中作出图象，利用图象进行求解.【小问1详解】解：因为点在函数的图象上，所以，解得，即，其图象如图所示：【小问2详解】解：将化为，因为方程有两个不相等的实数根，所以直线与函数的图象有两个公共点，在同一坐标系中作出直线与函数的图象（如图所示），由图象，得，即，即的取值范围是.19、（1），中位数为（2）【解析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值，设中位数为，利用中位数左边的矩形面积之和为列等式可求得的值；（2）分析可知所抽取的名学生，身高在的学生人数为，分别记为、、，身高在的学生人数为，记为，列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：由图可得，解得.设中位数为，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，可知，所以，，解得，故估计全班同学身高的中位数为.【小问2详解】解：所抽取的名学生，身高在的学生人数为，身高在的学生人数为，设身高在内的同学分别为、、，身高在内的同学为，则这个试验的样本空间可记为，共包含个样本点，记事件选出的名同学中恰有一名同学身高在内.则事件包含的基本事件有、、，共种，故.20、（1）；（2）4千克，505元.【解析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；（2）判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可【详解】解：（1）由题意得：，（2）由（1）中得（i）当时，；（ii）当时，当且仅当时，即时等号成立.因为，所以当时，，所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，解题方法如下：（1）根据题意，结合利润等于收入减去支出，得到函数解析式；（2）利用分段函数的最大值等于每段上的最大值中的较大者，结合求最值的方法得到结果.21、（1），（2），（3）【解析】（1）由偶函数的定义可得，，列方程可求出的值；（2）由，可得，分离出，换元后利用二次函数的性质求解即可；（3）结合已知条件，代入可求，然后结合在有零