北师版九年级数学上册期末复习考点 清单06 锐角三角函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练）

清单06锐角三角函数(10个考点梳理+题型解读+提升训练)

申考直循单

•

正弦

余弦

锐

角

——特殊角的三角函数值

三

角三边关系

解

函

两锐角关系

直

数

角边角关系•锐角三角困数

三

角仰角和俯角

形

应用坡度和坡角

方位角

【清单01】锐角三角函数的概念

如图所示,在RtZXABC中，ZC=90°,NA所对的边BC记为a,叫做NA的对边，也叫做NB的邻边,

NB所对的边AC记为b,叫做NB的对边，也是NA的邻边，直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.

记作sinA,即sinA=W^^=g

锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦,

斜龙c

4/腑邻边h

锐角A的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记作cosA,即rII1.八二下「二不

锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记作lanA,即lan4二乙期??产二@.

NA的邻边b

人/笑？边上；c吧警，N硼对边_b

斜边c斜边cNBI的邻边—

【清单02】锐角三角函数的增减性

(1)在0。-90。之间，锐角1的正弦值随角度的增大而增大；

(2)在0。-90。之间，锐角a的余弦值随角度的增大而减小；

(3)在0。-90。之间，锐角a的正切值随角度的增大而增大.

1

【清单03】特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下:

锐角dsinacosatana

追在

30°2

23

1

45°巫正

22

1_也

60°包2

2

【清单04】解直角三角形的常见类型及解法

和解法

三角形类⑥、已知条件解法步骤

两两直角边（a,b）由tan』二士求/A,

边b

ZB=90°-ZA,

C=5+以

斜边，一直角边（如c,由sin4=±求NA,

RtAABCa）c

BZB=90°-ZA,

/b=-a2

月N----一直角边锐角、邻ZB=90°-ZA,

0边和一锐角边,b

a—6•tanJ4，c=

（如NA,cosA

角b）

锐角、对ZB=90°-ZA,

边a.a

（如NA,c=---b=---

sinA,tanA

a）

2

斜边、锐角(如c,ZA)ZB=90°-ZA,

a=csinAtb=c-cosA

【清单05】解直角三角形的应用

(1)坡度坡角

在用直角三角形知以解决实际问题时，经常会用到以下概念:

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母)表示.

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离’的比叫做坡度，用字母J

i=—=tanex

表示，则/,如图，坡度通常写成人力：’的形式.

(2)仰角俯角问题

仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角,

如图.

眼睛〈瑞器——水平线

、视线

⑶方位角问题

(1)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA,

PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.

(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如图②中的目标

方向线0A,OB,0C,0D的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别

如：东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方

向指的是北偏西45°.

注意：

3

1.解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出弱形中的某些边的长或角的大小，最好画出

它的示意图.

2.非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.

3.解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，

进而根据条件选择合适的方法求解.

在型需单

【考点题型一】锐角三角函数的定义

【典例1］如图，在△48C中，若NC=90。，贝lj（）

【变式皿】在A/BC中，ZC=90°,设乙4乙B,4c所对的边分别是小8,c,则下列各等式中一定

成立的是（）

A

CB

A.a=c-sin/lB.b=c,cosBC.c=-r—D.a=b-tanB

sinA

【变式1-2］如图，在Rta/BC中，^BAC=90°,4。18C于点。，下列结论正确的是（）

A.sinC="B.sinC=77C.sinC=D.sinC=空

ACDCBCAB

【变式1-3】在△ABC中，zf=90°,Q、b.c分别为4力、乙B、乙。的对边，下列各式成立的是（）

A.sinB=-B.cosB=-C.tanB=7D.tanfi=-

ccba

4

【考点题型二】已知函数值求边长

【典例2】在RtA/lBC中，Z,C=90°,AB=5,sinA=；,则边4c的长为（）

A.3B.4C.V34D.V41

【变式2-1］在RtaA8C中，zC=90°,AC=8,cosA=g,则BC的长为（）

A.6B.8C.10D.12

【变式2-2】已知在Rta4BC中，=90。，tanA=2,AB=4z，则4c等于（）

A.6B.16C.12D.4

【变式2-3】在中，zf=90°,BC=6,AB=10,贝ljsin4=（）

3455

A.gB.gC.-D.-

【变式2-4］在RtaABC中，4c=90。，如果sin4=0,BC=6,那么48=.

4

【考点题型三】求角的函数值

【典例3】如图，4B,C,D都在正方形网格的格点上，AC与8。交于点P,则tan乙4P8=()

A，1BC-D.-

-I•3

【变式3-1】如图，在RtaABC中，48AC=90。,4D_L8C于点。，若8O:CD=3:2,则tan/DAC的值

为()

.手手

A-BCD.

•3-T

5

【变式3-2］在RtAABC中，已知乙。=90。，sinA=\则tanB的值是（）

A.—B.2x/2C.—D.-

343

【变式3-3］在正方形网格中，A/18C的位置如图所示，则cos4的值为—

LU：匕

:?!1Lzy;;

■•1*a»d-N4-.d./・■

,Ld_J/iL

jJfj1

【变式3-4］如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,点A、B、C都在格点上,则tancACB

的值是_____.

厂厂丁r…曰…；

/产/「卜.「.：

•…++”

MMM

【考点题型四】同角三角函数的关系

【典例4】若NA是锐角，且cosA=g,则sin4=___.

【变式4-1】若锐角A满足tan“=£则sina的值是（）

A.匹B.叵C.那D.迪

510105

【变式4-2】如果a是锐角，且cosa=g,那么sina的值是（）

A•费B.gC.1D.2企

【变式4-3】已知：sina=”"cosa=（）

A.-B.-C.-D.-V2

3393

【考点题型五】互余两角三角函数的关系

【典例5】在/?/△ABC中，ZC=90°,若COS8=£贝ijsin/l的值为_____

【变式5-1］在RtMBC中，NC=90。，taM=*则sinB的值为____.

6

【变式5-2】在中，z.C=90°,sinA=则cosB二

【变式5-3］在RtAABC中，ZC=90'sinA=4;»则tanB的值为.

【考点题型六】特殊角的三角函数值

【典例6】cos45。的值是(

V2

B•苧C.D.1

A，22

【变式6-1】2sin30。的值为()

A，1B.1C.D.2

【变式6-2】计算V5cos30。的值是()

3

B.1C.D.3

A，22

【变式6-3】计算：tan60°=C)

V3

A.”B.V3C.D.V2

2T

【考点题型七】解直角三角形及应用

【典例7】如图，在△ABC中，AB=AC=10,sinB=

⑴求8C的长;

(2)求cosA的值.

【变式7-1】已知：如图，8。是△力的高，48=6,AC=573,Z/1=30°.

(1)求8D和4D的长;

(2)求tanC的值.

7

【变式7-2］如图，在RtaABC中，乙4c8=90。，4D平分484c交BC于点O,DE1E.若

BD=5,cosB=裒求力C的长.

【变式7-312001年竣工通车的湘潭三大桥是湘江上已建大桥中规模最大的双塔垂直双索面三跨连续体

系斜拉桥（如图I）,图2是从图1抽象出来的平面图，已知：拉索//?、B0与桥面力。所成角度分别为

37。、45°,若4）=210米,求立柱8c的高度.（参考数据:tan37cM）.75,sin37°M.6,cos37cM）.8,结果

精确到1米）

图1图2

【考点题型八】解直角三角形的应用•坡度坡角

【典例8】如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略

大青岛的磅礴气势.图②是它的简化示意图，点。是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的

仰角为24。，她沿水平方向向左行走122m到达点。,再沿着坡度i=0.75的斜坡走了20米到达点C,

然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（4,B,C,D,E均在同一平面内），求摩天

轮48的高度.（结果保留整数）（参考数据：sin240ao.4,cos24°«0.91,tan24°«0.45）

8

【变式8-1】让每一个孩子在家门口就能“上好学”，衡东某中学依山而建.校门A处，有一斜坡力B,长

度为13米，在坡顶8处看教学楼CF的楼顶。的仰角4C8/二45。，离8点4（3-百）米远的F处有一花

台，在E处仰望C的仰角乙CEF=60。，CF的延长线交校门处的水平面于。点，F。=5米.

⑴求斜坡48的坡度i.教

学

⑵求0C的长.楼

【变式8-2】某通信公司欲在口上建设5G基站.如图，某处斜坡C8的坡比为1:2.4,通讯塔48垂直于

水平地面，在C处测得塔顶人的仰角为45。，在。处测得塔顶人的仰角为53。,斜坡路段CD长26米.

⑴求点。到水平地面CQ的距离;

(2)求通讯塔AB的高度、(参考数据：sin53°«；,cos53°«^,tan53°«-)

OO«5

【变式8-3】为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为45。的8C

改造为坡角为30。的力C,已知8c=10或米，点4,B,C,。，E,户在同一平面内.

（1）求的距离；（结果保留根号）

⑵一辆货车沿斜坡从C处行驶到尸处，货车的高为3米，EFLAC,若CF=16米，求此时货车顶端E

到水平线CC的距离DE.（精确到0.1米，参考数据：V2«1.41,V3«1.73）

9

【考点题型九】解宜角三角形的应用•仰角俯角

【典例9】如图，塔48前有一座高为DE的山坡，已知CD=8m,乙DCE=30。，点A,C,E在同一条水

平直线上.某学习小组在山坡C处测得塔顶部8的仰角为45。，在山坡D处测得塔顶部B的仰角为27。.

30"445

⑴求OE的长.

(2)求塔的高度.(参考数据：tan27°«0.5,sin27°«0.45,cos27°«0.89,V3«1.7,结果取整

数)

【变式9-1】数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在

台阶底部点A处测得塔楼顶端点上的仰角乙G4E=50.2°,台阶A8长26米，台阶坡面A8的坡度i=

5:12,然后在点B处测得塔楼顶端点石的仰角=63.4。，则

(1)点8到4G的距离为多少米？

(2)塔顶到地面的高度约为多少米？

(参考数据:tan50.2°«1.20,tan63.4°«2.00,sin50.2°«0.77,sin63.4°«0.89)

10

【变式9-2］如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A,B.无人机悬停在C

处，此时在A处测得。的仰角为36。52,无人机垂直上升5m悬停在。处，此时在8处测得。的仰角为

63。26\48=10m,点A,B,C,。在同一平面内，A,8两点在CD的同侧.求无人机在。

处时离地面的高度.

【变式9-3】如图，小明家所在居民楼高CO为30m,从楼顶C处测得另一座大厦顶部A的仰角a是

26.6°,大厦底部8的俯角£是45。.

A

BD

(1)求两楼之间的距离BD；

(2)求大厦的高度88.

(结果保留整数，参考数据；；sin26.6°=0.45,cos26.6°0.89>tan26.6°〜0.50)

ii

【考点题型十】解直角三角形的应用-方向角

【典例10】为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度.一天，我两艘海监船

刚好在我某岛东西海岸线上的A、8两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域.如图所

示，48=60（遍+鱼）海里，在B处测得C在北偏东45。的方向上，4处测得C在北偏西30。的方向上，在

海岸线上有一灯塔。，测得40=120（遍一式）海里.

（1）求出A与C距离AC（结果保留根号）.

（2）已知在灯塔。周围100海里范围内有暗礁群，我在4处海监船沿力C前往C处盘查，途中有无触礁的危

险（参考数据：72=1.41,逐=1.73,76=2.45）.

【变式10-1］如图，一艘渔船位于小岛8的北偏东30。方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A

的南偏东15。方向航行.（结果保留根号）

（1）渔船航行多远与小岛B的距离最近？

⑵渔船到达距离小岛8最近点后，按原航向继续航行40几海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向

小岛8上的救援队求救，问：救援队从3处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程

是多少？

12

【变式10-2】小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，A,B,C,D,E为同一平面内的五个景

点.已知景点E位于景点A的东南方向400vs米处，景点。位于景点力的北偏东60。方向1500米处，景点C

位于景点8的北偏东30。方向，若景点4B与景点C,。都位于东西方向，且景点C,B,E在同一直线

上.

（1）求景点A与景点8之间的距离.（结果保留根号）

（2）小明从景点A出发，从A到〃到C,小红从景点E出发，从E到N到C,两人在各景点处停留的时间忽略

不计.已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点C.（参考数据：V3«1.73）

【变式10-3］如图，某小区有南北两个门，北门A在南门8的正北方向，小红自小区北门A处出发，

沿南偏西53。方向前往小区居民活动中心。处：小强自南门3处出发，沿正西方向行走300〃?到达。

处，再沿北偏西30。方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门

4与南门8之间的距离.（结果保留整数,参考数据:sin53°«0.8,cos53°«0.6,tan53°«1.3,V3«

1.73）

J北L/.：

13

清单06锐角三角函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练）

甲考直感单

正弦

方位角

【清单01】锐角三角函数的概念

如图所示，在RtZXABC中，ZC=90°,NA所对的边BC记为a,叫做NA的对边，也叫做NB的邻边,

NB所对的边AC记为b,叫做NB的对边，也是NA的邻边，直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.

N4的对边

锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记作sinA,即sinA=

斜边

/岫邻边

锐角A的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记作cosA,即cosA=

/丽勺对边_a

锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记作tanA,即tanA=

乙4（1勺邻边一石

;

同理.DN3的对边b/硒邻边/41勺对边_b

sinB=-----------------=—cosB=

斜边c斜边NBfKj邻边二£

【清单02】锐角三角函数的增减性

（1）在0。-90。之间，锐角1的正弦值随角度的增大而增大；

（2）在0。-90。之间，锐角a的余弦值随角度的增大而减小；

14

（3）在0。-90。之间，锐角1的正切值随角度的增大而增大.

【清单03】特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下:

锐角asinacosatana

工

30”2息走

23

1

45°理正

22

J

乖

60°2

2

【清单04】解直角三角形的常见类型及解法

和解法

三角形类鼠、已知条件解法步骤

两两直角边（a,b）

边由tan4=2求NA,

b

ZB=900-ZA,

c=Jj+b2

斜边，一直角边（如C,

由sinA=2求NA,

RtAABCa）c

BZB=90°-ZA,

b=y/c2-a2

一直角边锐角、邻ZB=90°-ZA,

月N---------------

边和一锐角边,.b

0a=b•tanH，c=------

（如NA,cosa

角b）

锐角、对ZB-90°—NA,

边a.a

（如NA,c=——b=------

sintan

a）A,J4

15

斜边、锐角(如c,ZA)ZB=90°-ZA,

a=cs\nA9b=C'CO$A

【清单05】解直角三角形的应用

(D坡度坡角

在用直角三角形知以解决实际问题时，经常会用到以下概念：

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母仪表示.

坡度(坡比)：坡面的铅宜高度h和水平距离？的比叫做坡度，用字母7

表示，则如图，坡度通常写成i二为"的形式.

(2)仰角俯角问题

仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角,

如图.

眼睛〈瑞器——水平线

、视线

⑶方位角问题

(1)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA,

PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.

(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如图②中的目标

方向线0A,OB,0C,0D的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别

如：东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方

向指的是北偏西45°.

注意：

16

1.解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出弱形中的某些边的长或角的大小，最好画出

它的示意图.

2.非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.

3.解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，

进而根据条件选择合适的方法求解.

可强型需单

【考点题型一】锐角三角函数的定义

【典例1】如图，在△48C中，若NC=90。，则（

A.sinA=-B.sin/1=-C.cosB=-D.cosB=-

【答案】A

【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键.

【详解】解：sinA=cosB=-,sinB=cosA=

cc

故选A.

【变式1-1］在AABC中，4C=90。，设2A,LB,4C所对的边分别是a,b,c,则下列各等式中一定

成立的是（）

A.a=c-sin/lB.b=c-cosBC.c=D.a=b-tanB

【答案】A

【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可.

【详解】解：由题意可得:

sinA=cosB=一，tanB=一，

17

a=c-sin/4,c=-r-,a=c-cosB,b=a-tanfi*

sinA

故A选项成立，B,C,D不成立,

故选A.

【点睛】本题考查锐角三角函数，理解锐知三角函数的定义是正确解答的关键.

【变式1-2］如图，在中,/LBAC=90°,AD1BC于点、D,下列结论正确的是（）

..„CD「.„AD.cAD

A.sinC=—B.sinC=—C.sinC=—D.sinC=—

BCAB

【答案】C

【分析】根据垂直定义可得乙4DB=乙力。。=90。，然后在RtAAOC中,利用锐角三角函数的定义即可

判断A,B,再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C,最后利用同角的余角相等可得

LC=LBAD,从而在RtABAD中，利用锐角三角函数的定义即可求出siMBAD=骼即可判断D.

AB

【详解】解：・・ND1BC,

：,Z.ADB=Z.ADC=90°,

在Rt△4Z)C中sinC=桀,

故A、B不符合题意;

在RtaABC中，sinC=翌,

BC

故C符合题意;

,:乙B+Z.BAD=90°,+NC=90°,

:•乙C=4BAD,

在RtZkB/10中，s\nz.BAD=

・・・sinC=sin血。造

故D不符合题意:

故选：C.

【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

【变式1-3］在△48C中，zC=90°,a、b、c分别为NA、乙B、土C的对边，下列各式成立的是（）

18

A.sinB=；B,cosB=;C.tanB=；D.tanB=£

【答案】D

【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键.正弦是对边比斜

边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断.

【详解】解：如下图，

A.sinB=g故该选项不成立，不符合题意;

B.cosB=故该选项不成立，不符合题意;

C

C.tanF=故该选项不成％不符合题意;

a

D.tanB=，，故该选项成。，符合题意.

故选：D.

【考点题型二】已知函数值求边长

【典例2】在RIM8C中，6.C=90°,AB=5,sh\A=1,则边AC的长为（）

A.3B.4C.V34D.V41

【答案】B

【分析】本题考杳了正弦，勾股定理.熟练掌握正弦的概念是解题的关键.

如图，由题意知，sim4=^=1,可求BC=3,然后根据勾股定理求4c即可.

AB5

【详解】解：如图，

由题意知，sinA=当=：,即亭=|,

解得，BC=3,

19

由勾股定理得，AC=>IAB2-BC2=4.

故选：B.

【变式2-1】在Rtz\A8C中，4。=90°,AC=8,cosA=则的长为（）

5

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】本题考查了三角函数的变形计算，根据COSA=^=4=3求得48,冉利用勾股定理计算BC

ABAB5

即可.

【详解】VzC=90°,AC=8,cosA=g,

..AC84

..cosA=——=——=-

ABAB5

解得48=10,

:.BC=7ABz一心=6,

故选A.

【变式2-2】已知在中，4c=90。，tan/1=2,AB=4\/5,则力C等于（）

A.6B.16C.12D.4

【答案】D

【分析】本题主要考查了正切值的定义.根据题意作图，由正切值的定义可得，taM=%，结合勾股

定理，即可求得AC的值.

【详解】解：如图，

•・•在RtAAZ?C「卜，乙C=90。,

BC

.•.t.an/1A=—,

*.*tan/l=2,

端=2,即BC=24C,

'：AB=4A/5,

/.AC2+BC2=AD2,即/IC2十（2AC）2=（4可

20

：,AC=4,

故选：D.

【变式2-3】在RtZkABC中，zC=90°,BC=6,AB=10,则sin"=()

A.-5B.-5C.-3D.-4

【答案】A

【分析】本题考查求正弦值，根据正弦的概念，即可解答.

【详解】

由题意得:sin4=*/=，

AB105

故选:A.

【变式2-4］在RtzxABC中，LC=90°,如果sin/1=三，BC=6,那么48=.

4

【答案】8

【分析】本题考查了解直角三角形，利用直角三角形的边角间关系，可得结论.

【详解】解：Vsin/l=^=pBC=6.

AB4

:.AB=8.

故答案为：8.

【考点题型三】求角的函数值

【典例3】如图，/㈤。,。都在正方形网格的格点上，力。与B。交于点P,则tan"PB=()

A.|B.|C.|D.1

【答案】B

21

【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，取格点£,连接6E,DE,lh

网格的特点可知BE||AC,则4APB=乙EBD,利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△BDE是直角三

角形，且N8ED=90。，则tan±EBD=竺=三，^tanZ-APB=

BE22

【详解】解：如图所示，取格点£连接BE,DE,

由网格的特点可■知BE||AC,

/.^APB-乙EBD,

VFF=V22+22=2V2,DE=V52+52=572.BD=V32+72=\/58,

：,BE2+DE2=BD2,

・••△BDE是直角三角形，且乙BED=90°,

BE2

，

tan/AP8=2

故选：B.

【变式3-1］如图，在RtzMBC中，484c=90。,ADI"于点D,若BD:CD=3:2,则tanzD4c的值

为（）

AJB.在C.立D.叵

3323

【答案】B

【分析】先根据题目已知条件推出△ABDSACAD,则可得皿C=N8,然后根据BD:CD=3:2,设

80=3%,CD=2x,利用刈版边成比例表示出月0的值，进而得出tan乙。力C的值，

22

【详解】:在R£A/18C中，^BAC=90°,

/.z5+zC=90°,

1：AD1BC于点D，

：.Z.B+AD=90°,ZC+Z.DAC=90°

.,./.BAD=zC»zF=Z.DAC»

△ABDs〉CAD,

即，AD2=BD-CD,

ADCD

♦；BD:CD=3:2,

・••设BD=3x,CD=2x,

,\AD=yj3x-2x=V6x,

/.tanzfi=tanzD/46=黑=—=t，

BD3x3

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐用三角函数的定义、直角三角形的性质，

解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长.

【变式3-2】在RtA/lBC中，已知乙C=90。，sin/1=\贝UtanB的值是（）

«5

A.—B.2V2C.—D.i

343

【答案】B

【分析】本题考查了•个锐角的正弦与正切值.根据题意设8C=%,则48=3%,得；I）C=2e”,再

利用正切的定义求解即可.

【详解】解：•・•在RS4BC中，Z.C=90°,sin4="=；,

AB3

设=贝lj/18=3%，

：,AC=y/AB2-BC2=2缶，

AtenS=—=—=2V2

BCx

故选：B.

23

【变式3-3］在正方形网格中，AABC的位置如图所示，则cosA的值为

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，过C作CD148于D,利用勾股定理可以求出力C的长，再根

据余弦的定义即可求出8sA的值，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键.

【详解】如图，过C作CD1A8于D,

AzD=90°,

由网格可知：AD=4,/lC=V32+42=5,

AD4

.・・cosAA=—=一,

AC5

故答案为：I

【变式3-4］如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,点力、B、C都在格点上，则tan乙ACB

的值是,

【答案】:

【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能求出乙4DB=90。是解此题的关键.根据已知图形得出

Z.ADC=90%再求解即可.

【详解】解：如图,连接4D，

24

由勾股定理得：AD=BD=Vl2+I2=>/2,CD=V32+32=3夜,

，乙乙

・・・4。2+=4=ABzBAD=B，

A£ADB-90°,

：.z.BAD=乙ABD=45°,

：.Z.ADC=180°-90°=90°,

•••tan，AC8=%=-.

3V23

故答案为：!.

【考点题型四】同角三角函数的关系

【典例4】若NA是锐角，且cos4=],则sinA=.

【答案】加8

【分析