北师大版八年级数学上册专题15特殊四边形中的折叠问题的四大题型同步练习(学生版+解析)

专题L5特殊四边形中的折叠问题的四大题型

【北师大版】

考卷信息:

本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对特殊四边形中的折叠问题的四大

题型的理解！

【题型1矩形中的折叠问题】

1.（2023春・吉林长春•九年级统考期末）综合与实践

【操作感知】如图①，在矩形纸片/BCD的边上取一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片

展平，连接尸M、BM.Z.DPM=60°,则NMBC的大小为度.

【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片4BCD按照【操作感知】进行折叠，并延

长PM交CO「点Q,连接8Q.

（1）判断△MBQ与4C3Q的关系并证明.

（2）若正方形48co的边长为4,点P为40中点，则CQ的长为

2.（2023春・山东临沂・九年级统考期末）已知长方形A8CD（对边平行且相等，四个角都是直角）中，AB=6,

40=8,点P在边8C上，且不与点8、C重合，直线力P与0C的延长线交于点E.

图1图2

（1）如图1,当点P是8C的中点时，求证：AABP三AECP；

（2）如图2,将△4PB沿直线4P折叠得到点B'落在长方形力BCD的内部，延长P交直线力。于点心

①证明E4=FP,并求出在（1）条件下/尸的值；

②连接B'C,求△PC夕周长的最小值.

3.(2023春・湖南岳阳•九年级校考期中)如图，将矩形纸片折叠，使点。刚好落在线段力0

上，且折痕分别与边8。、力。相交，设折叠后点。、。的对应点分别为点G、H,折痕分别与边8C、力。相交

于点E、F.

H

⑴判断四边形"GF的形状，并证明你的结论.

(2)若CD=2,GD=16,求OF的长.

4.(2023春・江苏南京•九年级校联考期末)数学课上老师让学生们折矩形纸片.由于折痕所在的直线不同，

折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同.我们可以通过发现基本图形，来研究这些

图形中的几何问题.

图2图3

问题解决：

(1)如图1,将矩形纸片力3CD沿直线MN折叠，使得点。与点A重合，点0落在点5的位置，连接MC,AN,AC,

线段AC交MN于点。，则：

①ACOM与△4D1M的关系为一，线段4c与线段MN的关系为二小强量得NMNC=50。，则ZD/IN=_.

②小丽说：“图I中的四边形力NCM是菱形”，请你帮她证明.

拓展延伸：

(2)如图2,矩形纸片/BCD中，BC=2AB=6cm,=4cm,小明将矩形纸片/1BCD沿直线折叠，点

B落在点当的位置，MB1交力。于点N,请你直接写出线段ND的长：

综合探究：

(3)如图3,48CD是一张矩形纸片，AD=1,AB=5,在矩形的边48上取一点M(不与A和8点重合)，

在边CD上取一点N(不与C和。点重合)，将纸片沿MN折叠，使线段MB与线段DN交于点P,得到△MNP,

请你确定^MNP面积的取值范围

5.（2023春・江苏连云港•九年级统考期末）【问题背景】矩形纸古力BCD中，AB=6,8c=10；点P在48边

上，点Q在BC边上，将纸片沿尸Q?斤叠，使顶点3落在点E处.

力（P）DAEDAD

图1图2图3

【初步认识】

（1）如图1，折痕的端点P与点4重合.

①当4CQE=50°时，LAQB=°；

②若点E恰好在线段QD上，则BQ的长为；

【深入思考】

（2）若点E恰好落在边4D上.

①如图2,过点E作EF||48交PQ于点儿交BC于点G,连接B凡请根据题意，补全图2并证明四边形P8打E

是菱形；

②在①的条件下，当力£=3时，求PQ的长；

【拓展提升】

（3）如图3,若DQ上PQ,连接OE,若△DEQ是以OQ为腰的等腰三角形，求。Q的长.

6.（2023春・江苏泰州•九年级统考期末）数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出

示如图①所示的长方形纸条其中力。=BC=2,AB=CD=10.然后在纸条上任意画一条线段MN,

将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点、K,得到aMN/C.如图②所示：

C

B

备用图①备用图②

【基础回顾】

（1）在图②中，若41=52。，乙MKN=。；（直接写出答案）

【操作探究】

（2）改变折痕MN位置，AMNK始终是______二角形，请说明理由；

⑶爱动脑筋的小明在研究AM/VK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值.根据这一发现，他很快研

究出△KMN的面积最小值为2,此时21的大小可以为；

【拓展延伸】

（4）小明继续动手操作进行折纸，发现了△MNK面积存在最大值，请你求出这个最大值.

7.（2023春・河南洛阳•九年级统考期末）小明尝试着将矩形纸片力BCD（如图1,AD>CD）沿过点A的直

线折叠，使得点8落在4。边上的点尸处，折痕为AE（如图2）；再沿过点。的直线折叠，使得点。落在边

上的点N处，点E落在力E上的点M处，折痕为DG（如图3）.若第二次折叠后，点M正好在4NDG的平分

线上，连接。M,且CD=1,则4）=

8.（2023春・浙江杭州•九年级统考期末）如图是一张矩形纸片力BCD,点E在边8c上，且满足=2BE,

把沿宜线AE折置，使点B落在点尸处，"的延长线与边CD交于点G.若CG=DG,则不=

AD

【题型2菱形中的折叠问题】

1.（2023春・安徽淮南•九年级统考期末）如图，在菱形4BCO中，BC=4,=120。，点E是的中点,

点F是718上一点，以E尸为对称轴将折等得到△EGG以CE为称轴将△COE折叠得到△CHE,使得

点H落到EG上，连接AG.下列结沦错误的是（）

A.Z.CEF=90°B.CE\\AGC.FG=1.6D.—=-

AB5

2.（2023春・安徽安庆•九年级统考期末）如图，在菱形/WC0中，乙4=120。，=2,点Z:是边4。上一

点，以DE为对称轴将△D4E折叠得至IJADGE,再折叠BE使BE落在直线EG上，点8的对应点为点H,折痕

为EF且交BC于点F.

（2）若点E是A8的中点，则。/的长为.

3.（2023秋・河南开封・九年级开封市第十三中学校考期末）如图，在菱形力BCD中，匕8=60。，48=4,

M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将沿直线MN折叠，使点B落在点E处,

连接DE,CE,当ACOE为等腰三角形时，8N的长为

4.（2023春•重庆沙坪坝•九年级重庆南开中学校考期末）如图，在菱形48C0中，对角线AC,BD交于点、0,

AC=6,菱形为BCD的面积为24,点E是边AB上一点，将菱形ABCD沿。后折叠，使8、C的对应点分别是B'、

C',若乙BEB'=90。,则点若到BC的距离为

5.（2023春・广西来宾・九年级校考期末）如图，在菱形4BC。中，乙48。=120。，将菱形折置，使点力恰好

落在对角线8。上的点G处（不与8、。重合），折痕为EF,若DG=2,AD=6,则BE的长为.

6.（2023春・浙江杭州•九年级统考期末）如图，菱形ABCO中，=2,M为边4B上的一点，将菱形沿DM折

叠后，点A恰好落在的中点E处，贝MM=.

7.（2023春•广东肇庆•九年级统考期末）如图1,菱形纸片FBCD的边长为6cm,乙4BC=60°,将菱形48CD

沿E凡G”折叠，使得点B,。两点重合于对角线BC上的点尸（如图2）.若4E=2BE,贝1」六边形4EFCHG的

面积为cm2.

图1图2

【题型3正方形中的折叠问题】

1.（2023春•陕西西安・九年级校考期末）在正方形/BCD中，点G是边OC上的一点，点F是直线BC上一动点,

FEJ.AG于H,交直线40于点£.

（I）当点尸运动到与点8重合时（如图I）,线段EF与4G的数量关系是

（2）若点尸运动到如图2所示的位置时，（I）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立,

请说明理由.

（3）如图3,将边长为6的正方形A3C。折叠，使得点力落在边。。的中点M处，折痕为PQ,点P、Q分别在边

AD.8c上，请直接写出折痕PQ的长.

2.（2023春・山西大同・九年级校联考期中）综合与实践

问题情境：

在数学综合与实践活动课上，老师以“正方形的折叠问题”为主题开展数学活动.如图1,将正方形纸片4BCD对

折，使得边48与CD重:合，展开铺平，折痕为PQ.然后，再将正方形纸片沿着过点C的直线折叠，此时点及恰

好落在折痕PQ的点尸处，展开铺平，设CE与PQ交于•点G,连接EG,得到图2.

⑴操作发现：小康发现，四边形BG/E是菱形，请说明理由;

⑵问题解决：若正方形力BCO的边长为6,求/Q的长；

（3）问题拓展：如图3,M是正方形;4BCD的边4。上一点，正方形48。。的边长为8,连接8M,将△A8M沿着8M

折叠，使得点A落在正方形的内部点K处，连接OK,求出DK的最小值.

3.（2023春・江苏泰州•九年级统考期末）【模型建立】

如图1,正方形ABCD中，点E,/分别在边BC,CD上,AE1BF,力E与相交于点P.AE,BF有什么数

量关系?请说明理由.

图1

【迁移应用】

如图2,请仅用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹，不用证明)

(1)以48为边画正方形A8CD；

(2)取CD中点E,连接力E：

图2

【拓展提升】

如图3,正方形/BC。中，点E,尸分别在边48,CO上，将正方形沿EF折叠，点4,。的对应点分别为小，

使得点力'始终落在边BC上，H0与。。相交于点G.

(I)若48=5,BA'=2,求。尸的长度；

(2)点七，F在边4B,CO上运动时，连接4G,则乙4〃G的大小是否发生改变，若不变，求出大小，若改变,

请说明理由.

AD

BAfC

图3

4.（2023春・河南南阳・九年级统考期末）动手操作：利用“正方形纸片的折叠”开展数学活动，探究在正方

形折叠的过程中图形的变化及其蕴含的数学思想方法.

图I图2图3

折一折：如图1,已知正方形718co的边长=6,将正方形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B的对应点

M落在4c上，展开正方形48CD,折痕为4E,延长EM交CD于点巴连接力几

思考探究：（1）图I中，与△48E全等的三角形有个，^EAF=,BE、EF、。产三者的数

量关系是.

转一转：将图1中的“月/绕点A旋转到图2所示位置，与3C、的交点分别为£、F,连接ET.

证明推理：（2）图2中，BE、EF、DF三者的数量关系是,并给出证明.

开放拓展：（3）如图3,在旋转4区4F的过程中，当点尸为CD的中点时，8E的长为________.

5.（2023春•江苏南京•九年级校联考期中）点E.F分别为正方形ABCD边AD.AB上的点，连接CE,

DF交于点P.

AEDAEDA............D

OH“二

BCBCBAC

图1图2

⑴如图1,若DE=AF,则线段DF与CE具有怎样的数量和位置关系？说明理由.

(2)如图2,若E为AD中点，F为AB中点，求证BP=BC.

(3)若将正方形ABCD折叠，使得A点的对应点落在BC边上，折痕MN分别交AB,CD于M,N.若

正方形的的边长为6,线段A'B=2,则DN的长为_.

6.(2023春・广东江门•九年级统考期末)综合与实践：

如图1,已知正方形纸片A8CD.

实践操作

第一步：如图1,将正方形纸片ABC。沿AC,分别折叠.然后展平，得到折痕AC,BD.天痕AC,BD

相交于点O.

第二步：如图2,将正方形"CO折叠，使点B的对应点七恰好落在AC上，得到折痕人凡人尸与相交

于点G,然后展平，连接GE,EF.

图1图2图3

问题解决

(1)4AG0的度数是：

(2)如图2,请判断四边形4GEF的形状，并说明理由；

探索发现

(3)如图3,若48=1,将正方形4BC。折置，使点A和点尸重合，折痕分别与A8,。。相交于点M,N.求

的值.

7.(2023春•海南省直辖县级单位•九年级统考期末)已知正方形4BCD的边长=6,将正方形ABCD沿过

点4的直线折叠，使点8的对应点M落在AC上，展开正方形力BCD,折痕为4E,延长EM交CDF点F,连接力凡则

ZE.4F=°,BE的长为.

J)

【题型4坐标系中的折叠问题】

1.(2023春•黑龙江齐齐哈尔・九年级统考期中)综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标分别为(0,a)和(瓦0),且Q,b满足b=后二^+7^^+4.将

矩形04BC沿对角线力C所在的直线折叠，点3落在点。处，DC与)，轴相交于点£

(l)a=,b=：

(2)试证明△ADEWCOE,并直接写出点E的坐标；

(3)若点尸是线段4c上的一个动点，则E尸+。尸的最小值为；

(4)平面内是否存在点M与点N使四边形力CMN为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请

说明理由.

2.(2017春・北京丰台•九年级统考期中)已知菱形048c在坐标系中的位置如图所示，。是坐标原点，点

CQ2),点A在x轴上，点M(0,2).

⑴点。是直线08上的动点，求PM+PC最小值.

(2)洛直线y=-x-1向上平移，得到直线y=kx+b.

①当直线y=/cx+b与线段OC有公共点时，结合图像，直接写出〃的取值范围.

②当直线y=/cx+b将四边形0ABe分成面积相等的两部分时，求匕b.

（只需写出解题的主要思路，不用写出计算结果）.

3.（2023春.福建泉州•九年级统考期末）如图，四边形O4BC为矩形，其中。为原点，A、C两点分别在x

轴和y轴上，8点的坐标是（4,7）.点。，£分别在OC,C3边上，且CE：EB=5：3.将矩形OA3C沿

直线DZ?折叠，使点。落在A3边上点/处.

（1）求尸点的坐标;

（2）点P在第二象限，若四边形PEFZ）是矩形，求P点的坐标；

（3）若M是坐标系内的点，点N在），轴上，若以点M,N,D,r为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有

满足条件的点”和点N的坐标.

丁本

4.（2023春・天津南开•九年级统考期末）将一个矩形纸片。ARC放置于平面直角坐标系中，点0（0,0）,点

8（10,6）,点A在大轴，点。在），轴.在边上取一点。，将△CB。沿CO翻折，点B恰好落在边04上的点石

处.

（1）如图I,求点E坐标和直线CE的解析式；

⑵点P为.1轴正半轴上的动点，设。P=£.

①如图2,当点P在线段。力（不包含端点A,O）上运动时，过点P作直线/肛轴，直线/被△CED截得的

线段长为d.求d关于/的函数关系式，并直接写出自变量/的取值范围：

②在该坐标系所在平面内找一点G,使以点CE,P,G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标.

5.（2023春・广东惠州・九年级统考期末）如图，矩形0A8C的顶点A、C分别位于％轴和y轴的正半轴匕线

段04、0c的长度满足：|0/1-15|+VOC-9=0,点N在0C上，将△8CN沿直线BN折叠，点C恰好落在x轴

上的点。处，且。。=3.

（1）求点B的坐标;

（2）求直线8N的解析式；

（3）坐标平面内是否存在一点P,使以8、N,D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请说明理由并求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

6.（2023春•陕西西安•九年级西安市曲江第一中学校考期末）如图1,在矩形中，将矩形折叠，使点

B落在边AD（含端点）上，落点记为£这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F,然后展开铺平，

图⑴图⑵图⑶

⑴由“折痕三角形”的定义可知，矩形48CD的任意一个“折痕△防?一定是三角形.

(2)如图2,在矩形4BCD中，AB=2,BC=4.当点产与点C重合，画出这个“折痕△8""，并求出点E的

坐标.

(3)如图3,在矩形48co中，AB=2,BC=4,当“折痕△8E片面积最大的时，求出此时点尸的坐标.

7.(2023春・湖北武汉•九年级统考期中)在平面直角坐标系中，四边形04BC为矩形，4(a,0),C(0,c),且

^^二^+9—8)2=0.点石从3点出发沿8。运动，点厂从8点出发沿B4运动，点G从。点出发沿OC运

动.

(2)如图I,将△/l。尸沿OF折直，点儿恰好落在点七处，求£F两点的坐标；

(3)如图2,若£,“两点以相同的速度同时出发运动，使乙£。尸=45。，设点上的横坐标为〃?，求m2+16771的

值；

(4)如图3,已知点。(7.5,0),若F，G两点以相同的速度同时出发运动，连接FG,作力H1FG于”，直接写

出D"的最大值.

8.(2023秋・四川达州•九年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，四边形。力BC是长方形，。为坐标原

点，顶点人C分别在)，轴、x轴上，顶点8在第二象限内，一次函数y=：x+6的图象分别与坐标轴交于

点A,C.

专题1.5特殊四边形中的折叠问题的四大题型

【北师大版】

考卷信息：

本套训练卷共30题,题型针对性较高，覆盖面广.选题有深度,可加强学生对特殊四边形中的折叠问题的四大

题型的理解！

【题型1矩形中的折叠问题】

1.（2023春・吉林长春•九年级统考期末）综合与实践

【操作感知】如图①，在矩形纸片48。。的4D边上取一点P,沿BP折叠，使点4落在矩形内部点M处，把纸

片展平，连接PM、BM.^DPM=60°,则NM8C的大小为度.

【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片/18CD按照【操作感知】进行折置，并延

长PM交COF点Q,连接8Q.

（1）判断aMBQ与△CBQ的关系并证明.

（2）若正方形A8CD的边长为4,点P为4。中点，则CQ的长为

【答案】【操作感知】3（）；【迁移探究】（1）全等，见解析；（2）：

【分析】操作感知：根据折叠求出4力8P=4M8P=30。，即可得出结论;

迁移探究：（1）根据HL证Rt△MBQ三Rt△C8Q即可；

（2）设CQ的长为％,则OQ=4-x,MQ=yjBQ2-BM2=y/BC2+CQ2-BM2=x,利用勾股定理求出x

的值即可.

【详解】解：【操作感知】：由折叠知，4APB=iMPB,^ABP=Z-MBP,4A=zM=90。,

■:乙DPM=60°,

：.LAPB=Z,MPB=（180。一4OPM）-2=60。,

：.z.ABP="IBP=30°,

:SMBC=90°-乙ABP-"IBP=30°,

故答案为：30：

【迁移探究】(1)判断：△M8Q三△C8Q,理由如下：

证明：•・•正方形纸片力8C。按照【操作感知】进行折叠，

：.AB=BM=BC,LA=乙BMP=乙BMQ=zC=90°

在RMM8Q和RtACBQ中，

(BO=BQ

IBM=BC，

ARt△MBQ=Rt△CBQ(HL),

即AM8Q妥CBQ；

(2)设CQ的长为》,

•・•正方形A8CZ)的边长为4,点P为4D中点，

:・DQ=4-％,MQ=y/BQ2-BM2=+CQ?-BM?=x,PM=AP=^x4=2,

在RtAPDQ中，PQ2=PD2+DQ2,

即(2+*)2=22+(4一%)2,

解得X=p

故答案为：

【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握勾股

定理及正方形的判定及性质是解题的关键.

2.(2023春・山东临沂•九年级统考期末)已知长方形力BCD(对边平行且相等，四个角都是直角)中，48=6,

4。=8,点P在边BC上，且不与点8、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E.

图1图2

(1)如图1,当点P是8c的中点时，求证：AABPNAECP；

(2)如图2,将AAPB沿直线AP折叠得至IJ△4P8',点8'落在长方形力BCD的内部，延长P8'交直线力。于点F.

①证明凡4=FP,并求出在(1)条件下AF的值；

②连接夕C,求APGr周长的最小值.

【答案】(1)见解析

(2)①见解析，力?=£；②12

【分析】(I)根据矩形的性质得4BIICD,可得乙84P=NE,乙B=LBCE,利用/L4s即可得出结论；

(2)①根据平行线的性质和折叠的性质得出"A"=乙4”,等角对等边即可得从4=",设户71=X,贝W=

x,FB，=x-4,在Rtz\4B'F中，由勾股定理得％=日，即力尸二一；

②可得△PC夕的周长=CP+PB14-CB'=CB+CB'=8+。"，当点夕恰好位于对角线4c上时，CB'+AB'

最小，在RtaABC中，由勾股定理得4c=10,则。夕的最小值=AC-48'=4,即可得△PCS'周长的最小

值.

【详解】(1)证明：•••四边形A8CD是矩形，

•••ABWCD,

•••Z.BAP=Z-E,Z-B=Z.BCE,

•・•点P是8C的中点，

BP=CP,

：.〉ABP三△ECP(AAS)；

⑵解：①•••四边形4BCD是矩形,

ADWBC,

:.乙4P8=4FAP,

由折叠得ZAP8=N?1PF,

•••Z.FAP=Z.APF,

FA=FP,

矩氏48co中，AB=6,AD=8,

:.BC=AD=8»

•••点P是8c的中点，

：,BP=CP=4,

由折叠得AB'=AB=6,PB'=PB=4,=乙AB'P=4AB'F=90°,

设E4=x,MFP=x,

FB'=x-4,

2,2,2

在玲△AB'/中,AF=BF+BAf

x2=(%-铲+62,

解得％=葭，

即HF=y;

②由折叠得/e=AB=6,PB'=PB=4,

.•.△PC9的周长=CP+PB'+CBf=CB+CB1=8+CB',

连接B'C,AC,

•••AB1+CB'>AC,

二当点夕恰好位于对角线/C上时，Ce+4B'最小，

在RtA/lBC中，AB=6,BC=8,

AC=+BC2=10,

A。6的最小值4=4,

••.△PCB'周长的最小值=8+CB'=8+4=12.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角

形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等,

灵活运用相关的性质是解题的关键.

3.（2023春・湖南岳阳•九年级校考期中）如图，将矩形纸片48CDG4O>49）折叠，使点C刚好落在线段4。

上，且折痕分别与边BC、月。相交，设折叠后点C、。的对应点分别为点G、H,折痕分别与边8C、力。相交

于点E、F.

H

BEC

⑴判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论.

(2)若=2,GD=16,求。尸的长.

【答案】(1)菱形，见解析

(2)DF=:

O

【分析】(1)根据翻转变换的性质得到卜G=FC,EG=EC,乙GE卜,="EC,根据平行线的性质得到4G"二

"EC,得到GF=GE,得到GE=EC=CF=FG,根据菱形的判定定理证明；

(2)根据折叠的性质得到GF=CF,根据勾股定理列出方程，解方程即可.

【详解】(1)解：结论：四边形CEG尸是菱形.

理由：•••四边形A8CD是矩形，

：.AD\\BC,

•••4GFE=乙FEC,

•••图形翻折后点G与点。重合，E尸为折痕，

Z.GEF=Z.FEC,FG=FC,EG=EC,

:.Z.GFE=Z.FEG,

:.GF=GE,

:.GE=EC=CF=FG,

四边形CEGF为菱形；

(2)解：设=%,

,:CD=16,

：,GF=16-x,

CF=16-x,

在Rt/kCD尸中，CD2+DF2=CF2,

：.x2+22=(16-x)2,

解得：无二冬

o

.•.DnrF-=—63.

8

【点睛】本题考查的是菱形的判定、勾股定理的运用，掌握四条边相等的四边形是菱形、翻转变换的性质

是解题的关键.

4.（2023春・江苏南京•九年级校联考期末）数学课上老师让学生们折矩形纸片.由于折痕所在的直线不同，

折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同.我们可以通过发现基本图形，来研究这些

图形中的几何问题.

图1图2图3

问题解决：

（1）如图1，将矩形纸片488沿直线MN折叠，使得点C与点A重合，点。落在点D]的位置，连接

MC,AN,AC,线段4c交MN于点0,则：

①Z.CDM与aADiM的关系为一线段4C与线段MN的关系为二小强量得/MNC=50。，则4UN=_.

②小丽说：“图1中的四边形ANCM是菱形”，请你帮她证明.

拓展延伸：

（2）如图2,矩形纸片\4BCD中，BC=2AB=6cm,BM=4cm,小明将矩形纸片F8CD沿直线4M折叠，

点8落在点员的位置，MB1交AD于点、N,请你直接写出线段NO的长：

综合探究：

（3）如图3,ABC。是一张矩形纸片，AD=1,AB=5,在矩形X1BC0的边48上取一点M（不与4和B点重

合），在边CO上取一点N（不与C和。点重合），将纸片沿MN折叠，使线段MB与线段DN交于点P,得到△MNP,

请你确定^MNP面积的取值范围，

【答案】（1）①△CDMWA4D]M,线段AC与线段MN互相垂直平分，80。；②证明见解析•：（2）乌：（3）

8

0.5<S^MNP—L3

【分析】（I）利用翻折变换的性质以及全等三角形的性质解决问题即可；

（2）由矩形和折置的性质证明/N=MN,设4N=MN=x,在RtZk/lN/中，利用勾股定理构建方程求解

即可；

（3）分别求出^MNP的面积的最大值与最小值即可解决问题.

【详解】解：⑴①•・•矩形纸片A8CD沿直线MN折叠，使得点。与点4重合，点。落在点5的位置，

AM=MC,ADX=CD,MDX=MD,

CDM三△ODiM(SSS),

•••MN垂直平分线段力C,

•••OA=OC,

•：ADWBC,

Z.AMO=乙CNO,

•••Z.AOM=2CON,

••.△AMO=△CNO(AAS),

OM=ON,AM=CN,

线段AC与线段MN互相垂直平分，

•••MA=MC,NA=NC,

AM=CM=CN=AN,

四边形HNCM是菱形，

Z.ANM=乙MNC=50°,

:.Z.ANC=100°,

ADWBC,

:.Z.DAN=180°-100°=80°,

故答案为：线段/1C与线段MN互相垂直平分,80°；

②证明过程如下：

•・•矩形纸片48CD沿直线MN折叠，使得点C与点4重合，点。落在点外的位置,

AAM=MC,ADX=CD,MDV=MD,

••.△CDM三△ADiM(SSS),

MN垂直平分线段4。，

:.OA=OC,

AD\\BC,

:.Z.AMO=乙CNO,

vZ.AOM="ON,

•••△AMO^ACJVO(AAS),

:.OM=ON,AM=CN,

线段AC与线段MN互相垂直平分，

•••AM=MC,NA=NC,

AM=CM=CN=AN,

•••四边形4NCM是菱形；

(2)•.•四边形ABCD是矩形，

ADWBC,LB=90°,

由折符的性质可得：LAMB=Z.AMN,乙B==90°,

vADWBC,

:.Z.AMB=NM/1N,

:.乙AMN=乙NAM,

:•AN=MN,

设4N=MN=x,

在RIAAN%中，vAB=ABX=3,NBX=4-x,AN=x,

x2=32+(4-x)2,

解得：*=9

o

...25

•••AN=—,

8

,'.DN=AD-AN=6--=—,

88

故答案为：言；

8

(3)如图，当点8与点。重合时，△MNP的面积最大，MH工BN于H,则MH=4B=1,

C

图3

由题意得：MP=MQ,

设MP=MQ=k,则AM=5-k,

由勾股定理得：(5-Z)2+I2=〃2,

解得：k=2.6,

由（1）知，NP=MP=2.6,MH=1,

-S6MNK=^NP-MH=1.3,

△MNP的最大值为1.3,

假设点N与。重合时，此时PN最小，为PN=1,

:.△MNP的面积的最小值为：xlx1=0.5,

•••在边CD上取一点N不与C和。点重合，

•0,0.5<S&MNPW1.3

故答案为:0.5<SLMNP<1.3.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判

定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定

与性质，是解题的关键.

5.（2023春•江苏连云港•九年级统考期末）【问题背景】矩形纸片A8CD中，AB=6,8C=10：点P在48边

上，点Q在BC边上，将纸片沿PQ3斤叠，使顶点8落在点E处.

力（P）DAEDAD

图1图2图3

【初步认识】

（1）如图1，折痕的端点P与点A重合.

①当/CQE=50。时，^AQB=°；

②若点E恰好在线段Q。上，则BQ的长为；

【深入思考】

（2）若点E恰好落在边上.

①如图2,过点E作EFII交PQ于点F,交BC于点G,连接BF.请根据题意，补全图2并证明四边形P8FE

是菱形；

②在①的条件下，当月E=3时，求PQ的长：

【拓展提升】

（3）如图3,若DQ工PQ,连接DE,若△DEQ是以OQ为腰的等腰三角形，求BQ的长.

【答案】(1)①N/1Q8=65。，②8Q=2；(2)①证明见解析，直畔；(3)BQ的长为青或日

【分析】(1)①由折叠性质和“(?£+48(2£'=180。可求11"力。8的度数：

②由折叠和勾股定理可求出DE=8,再利用Rt/kCDQ列也式子求出QE的长，最后即可求出8Q的长;

(2)①先证四边形PBFE是平行四边形，再由折叠证PE=E/进而证明四边形PBFE是菱形；

②先求菱形的边长BQ的长度，最后根据勾股定理求出PQ;

(3)分两种情况进行讨论：①当〃Q=EQ时，②当〃H=〃Q时.

【详解】解：(1)①;(CQE+乙BQE=180°,Z.CQE=50°,

乙BQE=130°,

由折叠可得：/.AQB=/-AQE=^LBQE,

•••Z.AQB=65°：

②由折叠可得：AB=AE,/-ABE=LAEQ=90°,BQ=QE,

vAB=6,BC=10,

AE=6,

,•,点E在QO上，

:.Z.AEQ=180°-乙AEQ=90°,

DE=y/AD2-AE2=8,

在RtACOQ中，(8+QE)2=62+(10-QE)2,

:.QE=2,

•••BQ=2

故答案为：①，AQB=65°,②8Q=2.

(2)①证明：・：EF"AB,

:•乙BPF=4EFP,

由折叠可知，PB=PE,Z,BPF=Z-EPF,

:,乙EFP=乙EPF,

：,PE=EF,

:.PB=EF,

・•・四边形P8FE是平行四边形，

•:PE=EF,

・•・四边形P8FE是菱形；

②由折叠可知户8=P£,

,:AB=6,AP=6-PE,

在APE中，PE2=(6-PF)2+32,

・・・PE=竺，

4

・•・菱形PBFE的边长为洋

4

由折叠可知，EQ=BQ,

*：AE=3,

：.BG=3,

在Rtz^EGQ中，BQ2=62+(BQ-3)2,

・・・BQ吟

在RtABPQ中，又勾股定理得PQ=岭了+(MJ=竽,

(3)由折叠可知8Q=£Q,设BQ=m,则EQ=7?i,CQ=10-m,

①当DQ=EQ时，在RtZkCDQ中，624-(10-m)2=m2,

・

..n=—34,

②当OE=OQ时，过点。作。尸±EQ交于尸，

BQC

・・・FQ='Q=纲，

由折叠可知4PQ8=cPQE,

■:DQ1PQ,

J.LPQB+Z.CQD=90°=乙PQE+乙FQD,

：.LCQD=乙FQD,

：.LCDQ=△”〃Q(AAS),

：.CQ=FQ,

-rrit

•\10—m=2

加=于20

•••DBCQ20：

=—«5

综上所述：8Q的长为今或冬

【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形与折叠的知识，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三

角形的判定与性质等知识，解题关键是读懂题意，理清条件与图形性质之间的关系，分类讨论，数形结合

思想的运用.

6.（2023春・江苏泰州•九年级统考期末）数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出

示如图①所示的长方形纸条其中=BC=2,AB=CD=10.然后在纸条上任意画一条线段MN,

将纸片沿MN折售，MB%DN交于点K,得到△MNK.如图②所示:

图②

DC

AB

备用图①备用图②

【基础回顾】

（1）在图②中，若41=52。，乙MKN=.。；（直接写出答案）

【操作探究】

（2）改变折痕MN位置，△MNK始终是______三角形，请说明理由：

（3）爱动脑筋的小明在研究^M/VK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值.根据这•发现，他很快研

究出△KMN的面积最小值为2,此时41的大小可以为:

【拓展延伸】

（4）小明继续动手操作进行折纸，发现了面积存在最大值，请你求出这个最大值.

【答案】（1）76°；

⑵等腰，理由见解析：

（3）45°或135。；

（4）5.2.

【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出4KMN的度数，再根据平角求出心力MK的度数，最后根据

平行线的性质即可求解;

（2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出KM=KN；

（3）利用当△KMN的面积最小值为2时，KN=BC=2,则可证明MK1DK,DK1NK,从而却可求出N1；

（4）分情况一：将矩形纸片对折，使点8与0重合，此时点K也与。重合；

情况二：将矩形纸片沿对角线4。对折，此时折痕即为4C两种情况讨论求解.

【详解】（1）如图1,

图1

由折叠性质可知，41=4NMK=52。,

：.LAMK=180°-Z1-Z.NMK=180°-52°-52°=76°,

•・•四边形是长方形，

：.DN\\AM,

・"MKN=Z.AMK=76°,

故答案为:76°；

(2)等腰，理由：

•・•四边形48CD是矩形,

•XMIIDN,

:•乙KNM=Z1.

•・•将纸片沿MN折叠，

Azi=乙KMN,

工乙KNM=乙KMN,

•••AKMN为等腰三角形；

(3)如图2,当△KMN的面积最小值为2时，KN=BC=2,

■:乙NMB=CKMN,Z.KMB=90%

Azi=Z.NMB=45°

同理：zl=AN1MB=135°

故答案为：45。或135。；

(4)分两种情况：情况一：如图3,将矩形纸片对折，使点B与0重合，此时点K也与D重合，设MK=MB=x,

则=10-x,

图3

由勾股定理得22+(10-x)2=r2,

解得％=5.2.

:.MD=ND=5.2,

•・SAMNK=S.MNO=Wx2x5.2=5.2.

情况二：如图4,将矩形纸片沿对角线4c对折，此时折痕即为力C,设MK=AK=CK=x,则DK=10-x,

图4

同理可得：MK=NK=5.2,

'：MD=2,

•,SAMNK=~x2x5.2=5.2.

综上：aM/VK的面积最大值为5.2.

【点睛】此题考查了翻折变换（折叁问题），矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，解题的关键是注意

分类思想的运用.

7.（2023春・河南洛阳•九年级统考期末）小明尝试着将矩形纸片（如图I,AD>CD）沿过点A的直

线折叠，使得点8落在力。边上的点F处，折痕为AE（如图2）；再沿过点。的直线折叠，使得点。落在/O边

上的点N处，点E落在jE上的点M处,折痕为（如图3）.若第二次折叠后，点用正好在tNCG的平分

线上，连接。M,且CD=1,则4）=

AD

B

图1

【答案】Vz

【分析】由第一次折叠可知N84E=40/E=45°,连接DE,由第二次折叠可知乙OGE=40G4=90°,OE为

的平分线，由角平分线的性质可得GE=CE,于是可通过HL证明Rt△DGE=Rt△OCE得到OG=CD=

1,再证得为等腰直角三角形，则4）=&Z）G.

【详解】解：•・•四边形力为矩形,

LA.=NB=90",

•••将矩形纸片/IBC。沿过点人的直线折叠，使得点8落在/W边上的点尸处,

：.LBAE=/-DAE=45°,

如图，连接0E,

•・•沿过点。的直线折叠，使得点C落在40边上的点N处，点E落在AE上的点M处，折痕为DG,

：.LDGE=Z.DGA=90°,

又•.•点M正好在4NDG的平分线上，

・・・DE为4CDG的平分线，

•：EGIDG,EC1CD,

:,.GE=CE,

在Rt△QGE和Rt△OCE中，

(GE=CE

IDE=DE'

•e•Rt△DGE=Rt△DCE,

，Z)G=CD=1,

*：Z.DAE=45",Z.DGA=90°,

・・・A4)G为等腰直角三角形，

：,AD=V2DG=企.

故答案为：V2.

【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角

三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定与性质是解题关键.

8.(2023春•浙江杭州•九年级统考期末)如图是一张矩形纸片点E在边8C上，且满足AB=2BE,

把A/IBE沿直线力£折叠，使点B落在点尸处，EF的延长线与边CO交于点G.若CG=0G,则第=.

AD

【答案

4

【分析】延长EEAD,二线交于点，，结合CG=OG,证明ACGE三△DG〃，得到EG=G，即E，=2EG,

CE=DH,设需二匕BE=x,^\CE=kx,根据勾股定理，EH=4H建立等式计算即可.

BE

【详解】如图，延长EF,AD,二线交于点从

•••矩形纸A8C。，

=CD,AD=BC,UDC=2HDG=々ECG=90°,

ZHDG=乙ECG

*/DG=CG,

乙HGD=Z.EGC

/.ACGE三△DG，(ASA),

：.EG=GH,CE