北师大版七年级数学下册教案

第一章整式的乘除

1.1同底数基的乘法

一、学习目标

1.经验探究同底数基乘法运算性质过程，进一步体会暴的意义.

2.了解同底数累乘法的运算性质，并能解决一些实际问题

二、学习重点：同底数基的乘法运算法则的推导过程以与相关计算

三、学习难点：对同底数累的乘法公式的理解和正确应用

四、学习设计

（一）预习打算

预习书p2-4

（二）学习过程

1.试试看：（1）下面请同学们依据乘方的意义做下面一组题：

©②二二

③a3.a4==a（）

（2）依据上面的规律，请以事的形式干脆写出下列各题的结果:

—一——一Z7N—

2.猜一猜：当m,n为正整数时候，

即am・an=（m、n都是正整数）

3.同底数塞的乘法法则：同底数幕相乘

运算形式：（同底、乘法）运算方法：（底不变、指加法）

当三个或三个以上同底数辕相乘时，也具有这一性质，用公式表示为am-an-

ap=am+n+p（m、n^p都是正整数）

练习1.下面的计算是否正确？假如错，请在旁边订正

(1).a3•a4=al2(2),m•m4=m4(3).a2•b3=ab5

(4).x5+x5=2xl0

(5),3c4•2c2=5c6(6),x2•xn=x2n(7).2m,2n=2m•n

(8).b4*b4*b4=3b4

2.填空：(1)x5•()=x8(2)a•()=a6

(3)x•x3()=x7(4)xm•()=x3m

(5)x5*x()=x3*x7=x()*x6=x*x()(6)an+1*a()=a2n+l=a*

a()

例1.计算

(1)(x+y)3•(x+y)4(2)

（3）（4）（m是正整数）

变式训练.计算

（1）（2）（3）.

(4)(5)(a-b)(b-a)4(6)

(n是正整数)

拓展.1、填空

(1)8=2x,则x=

(2)8X4=2x,则x=

(3)3X27X9=3x,则x二

2、已知am=2,an=3,求的值3、

4、已知的值。5、已知的值。

回顾小结

1.同底数基相乘法则要留意理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字.

2.解题时要留意a的指数是1.

3.解题时，是什么运算就应用什么法则.同底数黑相乘，就应用同底数幕的乘法法则;

整式加减就要合并同类项，不能混淆.

4.-a2的底数a,不是-a.计算-a2・a2的结果是-(a2・a2)=-a4,而不是(-a)2+2=a4.

5.若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计

1.2哥的乘方与积的乘方(.1)

一、学习目标：L能说出界的乘方与积的乘方的运算法则.

2.能正确地运用事的乘方与积的乘方法则进行哥的有关运算.

二、学习重点：会进行累的乘方的运算。

三、学习难点：幕的乘方法则的总结与运用C

四、学习设计：

(一)预习打算

(1)预习书5〜6页

(2)回顾:

计算(1)(x+y)3•(x+y)(2)x2•x2•x+x4•x

(3)(0.75a)(—a)4(4)x:i•xn-1—xn-2•x

4

(二)学习过程：

一、1、探究练习：

(69'表示个相乘.

a3表示个相乘.

(a2)3表示个相乘.

在这个练习中，要引学习生视察，推想(6B4与(£尸的底数、指数。并用乘方的概

念解答问题。

(6)4=xxx

=(依据a--a=a,,n)

(33)5=XXXX

=(依据an•aW"1)

=61表示个相乘.

(a2)3=XX

(依据an-a=anm)

(a)2=X_

(依据a"-a"1=ann).

(a")n=XX・・・XX

(依据an-a"=anm)

即(1)「=______________(其中m、n都是正整数)

通过上面的探究活瓦发觉了什么？

累的乘方,底数,指数

2、例题精讲

类型一幕的乘方的计算

例1计算

(51)3⑵一(才)3⑶[(一"F(4)[E+#)2]4

随堂练习

(1)(3)3+“；(2)L(-2)3]2；⑶[一(a+犷]

类型二事的乘方公式的逆用

例1已知H=2,伽=3,求*+，；产

随堂练习

(1)已知H=2,H=3,求a"”

(2)假如9、=32，求x的值

随堂练习

已知：81X43=2\求x

类型三基的乘方与同底数基的乘法的综合应用

例I计算下列各题

(1)(2)(—a)，

(3)x•x•x+(—/)l+(—V)"(4)(a—6)2(b~a)

3、当堂测评

填空题：

(1)(k)5=；-：(-1.)3]2=；[―(d+b)2]3=

2

(2)]―(一才尸]2.(_*)3=.(*)3.(_炉)2=_______.

(3)(一”•(H)5.(a~)5=；—(『y)2・(丁力一

(二)学习过程:

探究练习：

1、计算：2"5=--------x---------=-------=(—x——r

2、计算：28x58=--------x---------=-------=(—x—/

3、计算：2,2x5,2=________x==(_x一)'2

从上面的计算中，你发觉了什么规律？

4、猜一猜填空：(1)(3X5)4=3(-).5,-)(2)(3x5广=33.5-

(3)(")〃二—你能推出它的结果吗？

结论，

例题精讲

类型一积的乘方的计算

例1计算

(1)(2^)5；(2)(-W)2(3)-(-lab)2(4)[-2«一力为

2

5

随堂练习

(1)(31)6(2)(-x^y)2(3)(-xy)2(4)[—3(z?—zz?)2]3.

类型二幕的乘方、积的乘方、同底数塞相乘、整式的加减混合运算

例2计算

(1)[-(-%)5]2•(-/)3(2)

(3)(x十y')3(2/十27)2(3x+3y)2(4)(—3寸)」•才'十(-a)~*a~(5^3)

随堂练习

(1)(产产•(尸尸(2).2-2(%)x•x+(_3>Y)3,x

.(3)[Q+疗]J[Q+"

类型三逆用积的乘方法则

例1计算(1)82WX0.1252001；(2)(-8)2005XO.1252001.

随堂练习

_<^2003.(1)2002|1

0.2520X240

32

类型四积的乘方在生活中的应用

例】地球可以近似的看做是球体，假如用八r分别代表球的体积和半径，那么Y

乃丁3。地球的半径约为6x10,千米，它的体积大约是多少立方千米?

随堂练习

(1)一个正方体棱长是3X10"mm,它的体积是多少mm?

(2)假如太阳也可以看作是球体，它的半径是地球的IO?倍，那么太阳的体积约是多

少立方千米呢？

当堂测评

一、推断题

1.(盯)=4()2.(2打)=6Z/()3.(-3才)2=

9人)

4.(2X)3=§/()5.3夕=霜6()

33

二、填空题

1.-(Z)3=________，(-/)2=_________.2.(-1^2)2=________.

2

3.81力?』(广4.(/)2•x=.5.(/)".=x

是正整数)，则x=.

6.(-0.25)"X4"=.(-0.125)200X820l=

4、拓展:

(1)已知〃为正整数，且/=4.求(3f)2-13(V)2〃的值.

(2)已知/=5,/=3,求(灯)2的值

(3)若/〃为正整数，且六=3,求(3/)2-13(/)2"的值.

回顾小结：

1.积的乘方(/)“=(〃为正整数)

2.语言叙述：______________________________________

3.积的乘方的推广(abc)〃=(〃是正整数).

1.3同底数嘉的除法

一、学习目标

了解同底数塞的除法的运算性质，并能解决一些实际问题

二、学习重点：会进行同底数基的除法运算。

三、学习难点：同底数幕的除法法则的总结与运用

(一)预习打算

(1)预习书p9-13

(2)思索：0指数帮和负指数辕有没有限制条件？

(3)预习作业：

1.(1)28X28=(2)52X53=(3)10二X10、二(4)a3•a=

2.(1)2l64-28=(2)554-53=(3)1074-105=(4)a6-4-a3=

(二)学习过程

上述运算能否发觉商与除数、被除数有什么关系？

得出：同底数鬲相除，•底数，指数.

即：a'"+an=(awO,m,n都是正整数，并且n】＞n)

练a

(I)/…____(9)(_心(7)2=(3))J6.____=尸

(4)〃=(5)(x_),y+(x_yy=(6)(-ab)54-(ab)2=

(7)(w-几)8+(〃-m)3=(8)-)，3〃T+),，，，+.

提问：在公式中要求n,n都是正整数，并且m>n,但假如m=n或成n呢？

计算：32-=-321034-103a-ram(a^O)

IO34-I03==(a^O)

((mm(()

32-T32=3()=3)10:10勺o(>=10)a-ra=a)=a.(a

NO)

于是规定:a°=l(a#0)即：任何非0的数的0次幕都等于1

最终结论:同底数基相除:a"-^a'-a1""(a^O,n都是正整数，且m'n)

想一想：10000=10,.16=24

1000=10(),8二2()

100=10()，4=2()

10=10(),2二2()

.猜一猜：1=10().1=2()

0.1=10().-=2()

2

0.01=10()-=2()

4

0.001=10()-=2()

8

负整数指数累的意义:(4H0,p为正整数)或(〃工0,p为正整数)

例1用小数或分数分别表示下列各数:

(1)10一3⑶1.6xKT4

⑵7隈8"二

练习：

1.下列计算中有无错误，有的请改正

⑴=a5(2)/。=CV

(3)(-4)=(-4)3=-/(4)3°=3

2.若(2吁3加°=1成立，则〃力满意什么条件?3.若(2X-5)。无意义，求x的值

4.若，则IO?.”等于？5.若3*=63,=。,求的3人」的值

6.用小数或分数表示下列各数：

(1)=(2)31=(3)『=

(4)=_____________(5)4.2x10-3=_________(6)0.25-3=

.7.(1)若2、=(2)若(一2丫=(—2)、(一2/,则x=

(3)若0.0000003=3X0,则％=(4)若⑶=±则=

----⑶9

拓展：

8.计算:(-3广八:[27X(-3)2”](n为正整数)9.已知(x-1产2=1,求整数x的值。

同顾小结：同底数幕相除，底数不变，指数相减。

L4整式的乘法(1)

一、学习目标：理解并驾驭单项式的乘法法则，能够娴熟地进行单项式的乘法计算

二、学习重点：单项式乘法法则与其应用

三、学习难点：理解运算法则与其探究过程

(一)预习打算

(1)预习书pl4T5

(2)思索：单项式与单项式相乘可细化为几个步骤？

(3)预习作业：

1.下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？

8x；-2a2bc;xy2;-t2；;^vt4；-10xy2z3.

次数：

系数：

2.下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？

1?4ab②二1

-2x；ab；1+x；---；-y；6x--x+7.

xJ乙

3.(1)(-a5)5=(2)(-a2b)3=

_223

(3)(2a)(—3a_)=(4)(—yTyx=

(二)学习过程：

整式包括单项式和多项式，从这节裸起我们探讨整式的乘法，先学习单项式乘以单项

式

例1.利用乘法交换律、结合律以与前面所学的寡的运算性质，计算下列单项式乘

以单项式：

(1)2x2y・3xy2(2)4a2*5•(-3a^bx)

解：原式二()()()解：原式=()()()

()

单项式乘以单项式的乘法法则：单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只

在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个

因式

留意：法则实际分为三点：

⑴①系数相乘一一有理薪的乘法；此时应先确定结果的符号，再把系数的肯定值相

乘

②相同字母相乘一一同底数事的乘法；(简洁将系数相乘与相同字母指数相加

混淆)

③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这

个因式.

⑵不论几个单项式相乘，都可以用这个法则.

⑶一单项式相乘的结果仍是单项式.

例1计算:

(1)(-5a2b3)(-3a)=(2)(2x)3(-5x2y)=

(3)=(4)(-3ab).(-a2c)2•6db(c2)3=

留意：先做乘方，再做单项式相乘.

练习：1.推断：

单项式乘以单项式，纭果肯定是单项式.()

两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积()

两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积()

两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现()

2.计算：

(2X-2aV)-(-3a)

(3)(4XI0)5X(5X104)(4)(—3a62)•(—//y

23I(6)0.4x2y,(；xy)2-(-2x)3,xyJ

拓展：

3.已知求=2,@=3,求63^)2的值4.求证，：52・3*”-213“・6/2能被13整除

5.若一叫＜+2).(02fb)=＜?况求〃?+〃的值。

回顾小结：单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的暴分别相乘，其余字

母连同他的指数不变，作为积的因式。

1.4整式的乘法(2)

一、学习目标

经验探究整式的乘法运算法则的过程,会进行简洁的整式的乘法运算

二、学习重点：整式的乘法运算

三、学习难点：推想整式乘法的运算法则

(一)预习打算

(1)预习书pl6-17

(2)思索：单项式与多项式相乘最简洁出错的是哪点？

(3)预习作业：

(1)-nr-nr=,(2)(9“•(孙＞=

(3)2(ab-3)=(4)(2xy2)•3yx=

(5)(-2a3b)(-6ab6c)=(6)-3(ab2c+2bc-c)=

(二)学习过程：

1..我们本单元学习整式的乘法，整式包括什么？ab

2.什么是多项式？怎么理解多项式的项数和次数？

整式乘法除了我们上节课学习的单项式乘以单项式外，还

应当有单项式乘以多项式，今日将学习单项式与多项式相乘

做一做：

如图所示，公园中有一块长mx米、宽y米的空地，依据须要在两边各留下宽为a

米、b米的两条小路，其余部分种植花草，求种植花草部分的面积.

（1）你是怎样列式表示种植花草部分的面积的？是否有不同的表示方法？其中包含了

什么运算？

方法一：可以先表示出种植花草部分的长与宽，由此得到种植花草部分面积为

方法二.：可以用总面积减去两条小路的面积，得到种植花草部分面积为

由上面的探究，我们得到了

上面等式从左到右运用了乘法安排律，将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项

式

单项式与多项式相乘：就是依据安排律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积和加

例1计算：

(1)(-I2xy2-10x2y+21>,3X-6A>?3)(2)(~2a2)•(ab+b2)-5a(a2b-ab2)

练习：1.推断题：

(1)3a3・5a3=15a3()

(2)6ab•lab=42ab()

⑶3a4•(2a2-2a3)=6a8-6，产()

(4)-x2(2y2-xy)=-2xy2-x3y()

2.计算题：

.(1)(2)(3)

(4)—,3x(—y—xyz).(5)3x2(—y—xy2+x")(6)2ab(a'b—c)

(7)(x3)2-2X3[X3-X(2X2-1)](8)xn(2xn42-3xn-l+l)

拓展：

3.已知有理数a^b、c满意|a—b—31+(b+1)2+|c—1|=0,求(一一3ab),(a2c—

6b2c)的值。

4.已知：2x・(xn+2)=2xnq-4,求x的值。

5.a3(3a"—2ain+4ak)=3a9—2a6+4a',求一3k,(nlk+Zkm')的值。

回顾小结：单项式和多项式相乘，就是依据安排律用单项式去多乘多项式的每一项，再

把所得的积相加。

1.4整式的乘法（3）

一、学习目标

1.理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算

二、学习重点：多项式乘法的运算

三、学习难点：探究多项式乘法的法则，留意多项式乘法的运.算中“漏项"、"符号”

的问题

(一)预习打算

(1)预习书pl8T9

(2)思索：如何避开“漏项”？

(3.)预习作业：.

(1)(-3与，)3=(2)(一，3)2=__________

2.

(3)(-2xl07)4=(4)(-x)-(-x)2=

(5)-42•(-1)6=(6)-(x3)5=

(7)—2)3.炉=(8)(-2a2b)3•(-a5he)2=

I25

(9)-2.式2.产一3.1)(10)(---x——y)(—6.yy)

23-12

(二)学习过程：

如图，计算此长方形的面积有几种方法?如何计算?

方法1：s=

方法2：S=

方法3：S=

方法4：S=

由止匕得至lj：(m+b)(a+n)==

运用乘法安排律进行说明，请将其中的一个多项式看作一个整体,再运用单项式与多

项式相乘的方法进行计算

(把(a+n1看作一个整体)

(m+b)(a+n)=

多项式与多项式相乘：先用一个乘以另一个多项式的,再把所得

的积

例1计算：(l)(l-x)(0.6-x)(2)(2x+y)(x-y)

(3)(x-2y)2(4)(—2x-»

留意：(1)用一个多项式的每一项依次去乘另一个多项式的每一项，不要漏乘，在没

有合并同类项之前，两个多项式相乘绽开后的项数应是原来两个多项式项数

之积。

(2)多项式里的每一项都包含前面的符号，两项相乘时先推断积的符号，再写成

代数和形式。

(3)绽开后若有同类项必需合并，化成最简形式。

例2计算：

(l)(x+2)(>+3)—(x+l)(y—2)(2)-2(。-1)(。+2)

练习：

(1)(X4-2)(x4-3)(2)(。-4)(。+1)(3)

(4)(-2x+1)2(5)(-3x+y)(-3x-y)(6)(x-2)(x2+2x)+(x+2)(x2-2x)

1.(x-5)(x+20)=x2+nix+n贝Un尸,n二一

2.若(x+c)(x+〃)=/一上x+",则k的值为()

(A)a+b(B)