北师大版七年级数学下册举一反三系列47全等三角形的证明及计算大题专项训练(30道)同步练习(学生版+解析)

专题4.7全等三角形的证明及计算大题专项训练(30道)

【北师大版】

考卷信息：

本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，M深化学生对余等三角形工具

的应用及构造全等三角形！

一.解答题(共30小题)1.(2022•黄州区校级模拟)如图，NB4D=NCAE=90°,AB

=AO,AE=AC,AF1CB,垂足为足

(1)求证：△ABCWXAOE：

(2)求/用E的度数;

(3)求证：CD=2BF+DE.

2.(2022秋•忠县期末)在△ABC中，点。、E分别在AB、AC边上，设“与CO相交于

点F.

(1)如图①，设NA=60°,BE、CO分别平分NA6C、ZACB,证明：DF=EF.

(2)如图②，设4E_LAC,CO_L/W,点G在CO的延长线上，连接AG、AF；若/G=

Z6,BD=CD,证明：GD=DF.

G

5

B

①②

3.(2022秋•路北区期中)如图，在四边形A8CO中，AD=BC=4fAB=CD,8。=6,点

£从。点出发，以每秒1个单位的速度沿向点4匀速移动，点厂从点C出发，以每

秒3个单位的速度沿C-AfC作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点Q匀速移动，

二个点同时出发,当有一个点到达终点时.其余两点也随之停止运动.

(1)证明：AD//BC.

(2)在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，相4DEG与ABFG全等

的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现AOEG与48月G全等的情

况.

4.（2022春•北陪区校级期末）如图，已知凸五边形4BCDE中，EC,砂为其对角线，EA

=ED.

(1)如图1,若NA=60°,NCOE=120°,且CZ>M8=BC.求证：CE平分NBCZ)；

(2)如图2,乙4与NO互补，ZDEA=2ZCEB,若凸五边形A8CQE面积为30,且

图1图2

5.（2022秋•宜兴市期中）如图，在△ABC中，已知NA8C=45°,过点C作CO_LA8于

点。，过点B作ZM/_LAC于点例，CQ与3M相交于点E,且点七是C。的中点，连接

MD,过点。作ON_LMO,交8W于点M

（1）求证：△DBN/2DCM；

（2）请探究线段N£、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论.

A

D/\

B

6.（2022秋•淅川县期末）如图1,/XABC的边BC在直线/上，4cl.BC,且4C=BC；

的边Q也在直线/上，边E/与边4C重合，且EF=FP.

（1）示例：在图I中，通过观察、测量，猜想并写出与AP所满足的数量关系和位

置关系.

答：AB与A尸的数量关系和位置关系分别是、.

（2）将沿直线/向左平移到图2的位置时，EP交AC于点、Q,连接入P,4Q.请

你观察、测量，猜想并写出BQ与人P所满足的数量关系和位置关系.答：8Q与AP的

数量关系和位置关系分别是、.

（3）将沿直线/向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点。

连接AP.BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若

成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

0

7.(2022秋•渝中区校级期中)如图，直线A8交x轴正半轴于点A(«,0),交)，轴正半

轴于点8(0,0)，且〃、〃满足Q7+|4-0|=0,

(1)求A、8两点的坐标；

(2)。为。4的中点，连接3Q,过点。作OEJ_8。于F,交A8于E,求证：ZBDO

=NEDA；

(3)如图，。为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰RtaPBM,其中P8=PM,

直线MA交)，轴于点。当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，

求其值；若变化，求线段。。的取值范围.

8.(2022春•崇川区校级期末)如图1,点人力在丁轴正半轴上，点8、C分别在x轴上,

CD平分/AC6与)轴交丁。点，ZCA(7=90°-乙BDO.

（1）求证：AC=BCx

（2）在（1）中点C的坐标为（4,0）,点£为4。上一点，且NO£A=NQ3O,如图

2,求8C+EC的长；

（3）在（1）中，过。作0ALAC于尸点，点”为尸C上一动点，点G为OC上一动点，

（如图3）,当点”在尸。上移动、点G在0c上移动时，始终满足/GQH=NGQO+

NFDH,试判断"7、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明.

图1图2图3

9.（2022秋•莆田期中）如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作

等腰RtAABC,

（1）求C点的坐标;

（2）如图2,尸为），轴负半轴上一个动点，当/点向y轴负半轴向下运动时，以〃为顶

点，雨为腰作等腰RtZXA。。，过。作轴于上点，求。P-QE的值；

（3）如图3,已知点F坐标为（-2,-2）,当G在），轴的负半轴上沿负方向运动时，

作RlZXFG”，始终保持NGFH=90°,FG与y轴负半轴交于点G（0,〃?），"/与x轴

正半轴交于点”（〃，0），当G点在），轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：

①〃l〃为定值；②加+"为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求

出其值.

10.（2022秋•南岗区校级月考）在△ABC中，AB=AC,8OJ_AC于点。，BE平分N4BQ,

点尸在3。上，NBEF=45°

（1）如图1,求证：BF=CE；

（2）如图2,作EM_LBE,交BC的延长线于点M,连接4M,交BE的延长线于点N,

若N84C=30°,请探究线段E/与MN的数量关系，并加以证明.

图1图2

11.(2022春•运城期末)综合与探究

如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,CE的延长线交8。

于点F.

(I)求证：/\ACE^^ABD.

(2)若N84C=ND4E=50°,请直接写出NBFC的度数.

(3)过点A作A”_L8。于点从求证：EF+DH=HF.

B

12.(2022秋•松桃县期末)如图①：8c中，AC=BC,延长AC到E,过点E作EF_L

A3交/W的延长线于点尸，延长CB到G,过点G作G"_L48交的延长线于凡且

EF=GH.

(1)求证：△AEF9XBGH、

(2)加图②，连接两。与〃〃相交于点。,若A/?=4,求。H的长.

图①

13.(2022秋•两江新区期末)在RtZXABC中，NABC=90°,点。是C8延长线上一点,

点E是线段48上一点，连接OE.AC=DE,BC=BE.

(1)求证：AB=BD；

(2)/小平分N48C交AC于点凡点G是线段少4延长线上一点，连接。G,点〃是线

段DG上一点，连接AH交B。于点K,连接KG.当KB平分/AKG时，求证:AK=OG+KG.

H

G

14.(2022春•济南期末)如图1,ZVIBE是等腰三角形，AB=AE,N84E=45°,过点8

作8cL4E于点C,在8C上截取CQ=C£,连接AO、OE并延长A。交8E于点户：

(1)求证：AD=BE；

(2)试说明4。平分NE4E；

(3)如图2,将△CQE绕着点C旋转一定的角度，那么AO与8E的位置关系是否发生

乂E

（图2）

图1

15.（2022春•渭滨区期末）如图，在四边形A8C。中，AD=BC=4,AB=CD,BD=6,

点石从点出发，以每秒I个单位的速度沿向点A匀速移动，点尸从点C出发，以

每秒3个单位的速度沿C-8-*C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点。匀速移动,

三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动.

（1）试证明：AD//BC.

（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△OEG与△AFG全等

的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，ADEG与4BFG全等.

16.（2022秋•宁津县期末）（I）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型

的基本图形.如图1，已知：在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线/经过点A,

8。，直线/,CE_L直线/,垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条

件改为：在△4BC中，AB=AC,。、4、E三点都在直线/上，并且有NAEC=

/BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论iCE是否成立？如成立，请你

给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,

过△川〃。的边48、AC向外作正方形ABOE和正方形ACR7,是BC边上的高，延长

HA交EG于点I,求证：/是EG的中点.

17.(2022秋•富县期中)如图，在△A8C中，NACB=60°,。为△ABC边AC上一点，

BC=CO,点M在4c的延长线上，CE平分NACM,且AC=C£.连接BE交4c于点F,

G为边CE上一点，满足CG=C/，连接。G交8E于点

(1)求/QHF的度数;

(2)若EB平分NDEC,则BE平分/ABC吗？请说明理由.

18.（2022秋•台安县月考）如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在的延长线上，

CA=BP,点Q在CE上，QC=AB.

（1）探究力与AQ之间的关系；

（2）若把（1）中的ZX/^C改为钝角三角形，AC>AB,NA是钝角，其他条件不变，上

述结论是否成立？画出图形并证明你的结论.

Q

BCBC

19.(2022春•浦东新区期末)如图，在△ABC和△AOE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC

—N/)AE-90°.

(1)当点。在4c上时，如图①，线段BD,CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明

你的猜想；

(2)将图①中的AAOE绕点A顺时针旋转a(0。<a<90°),如图②，线段BQ,CE

有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

20.（2022春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

如图1,△ABC中，若AB=8,AC=6,求AC边上的中线A。的取值范围.小明在组内

经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E,使。E=A。，请根据小明的方

法思考：

（I）由已知和作图能得到△人。CgZXEDB的理由是

A.SSSB.SASC.AASD.HL

（2）求得A。的取值范围是.

A.6VADV8B.6WADW8C.1VAQV7D.1WAQW7

（3）如图2,A。是△ABC的中线，BE交AC于E,交4。于F,^.AE=EF.求证：AC

=BF.

21.（2022秋•立山区期中）如图，已知△A8C中，AB=AC=9cm,BC=6cm,点D为AB

的中点.

（1）如果点P在边BC上以1.5（7〃/$的速度由点8向点C运动，同时，点Q在边C4上

由点C向点A运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，4BPD与△CQP是否全等,

请说明理由；

②若点Q的运动速度与点尸的运动速度不相等，经过，秒后，ABPD与4CQP全等,求

此时点Q的运动速度与运动时间九

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，

都逆时针沿△4BC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC的

边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）

22.（2022秋•太康县期天）如图，已知RtZXABCgRtAA。。ZABC=ZADE=W,BC

与。E相交于点F,连接CD、BE.

（1）请你找出图中其他的全等三角形：

（2）试证明CF=EF.

A

23.(2022秋•潮安区期末)如图，在四边形4BC。中，AD〃BC,E为C。的中点，连接

AE、BE,BE.LAE,延长AE交8c的延长线于点F.已知4。=2c阳，BC=5cm.

(1)求证：FC=AD；

24.(2022秋•黄石期末)已知△ABC和△OE尸为等腰三角形，AB=AC,DE=DF,ZBAC

=/ED3点笈在A3上，点”在射线AC'上.

(1)如图1,若/84C=60°,点尸与点C重合，求证：AF=AE+AD；

(2)如图2,若AO=A8,求证：AF=AE+BC.

D

B

25.(2022春•济南期中)把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以

。为顶点作NMQM交边AC、BC于M、N.

(1)若NACQ=30",NMDN=66°,当NMQN绕点。旋转时，AM.MN.BN三条

线段之间有何种数量关系？证明你的结论；

(2)当NACD+NMDV=90°时，AM.MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你

的结论：

(3)如图③，在(2)的条件下，若将M、N改在CA、8C的延长线上，完成图3,其

余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系(宣接写出结论，不必证明)

26.（2022春•城关区校级期末）如图1,OP是NMON的平分线，请你利用该图形画一对

以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上.

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图2,在△A8C中，NAC8是直角，N8=6（T,AD.CE分别是28AC和NBCA

的平分线，4。、CE相交于点凡求NE用的度数；

（2）在（1）的条件下，请判断尸石与尸。之间的数量关系，并说明理由：

（3）如图3,在△4BC中，如果NAC8不是直角，而（I）中的其他条件不变，试问在

（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

B

27.（2022秋•长寿区期末）如图，△ABC中，AOAH,。是8A延长线上一点，点七是

NC4。平分线上一点，E8=EC过点E作E/_LAC于凡EG_LA。于G.

（1）请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为合等的三角形，并加以证明：

（2）若46=3,4c=5,求4尸的长.

28.（2022秋•呼和浩特期中）如图：AELAB,AF1AC,AE=AB,AF=AC,

（1）图中EC、有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论.

（2）连接AM,求证：M4平分NEA/F.

专题4.7全等三角形的证明及计算大题专项训练（30道）

【北师大版】

考卷信息：

木套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，M深化学生对全等三角形工具

的应用及构造全等三角形！

一.解答题（共30小题）

1.（2022•黄州区校级模二）如图，ZBAD=ZCAE=90a,AB=AD,AE=AC,AF1CB,

垂足为尸.

（1）求证：△ABCgZXADE；

（2）求的度数；

（3）求证：CD=2BF+DE.

【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出0△AOE的条件；

（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到/物E的度数；

（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立.

【解答】证明：（1）ZBAD=ZCAE=9（）°,

：.ZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZD4E=90°,

：,ZBAC=ZDAE,

在△ZMC和中，

AB=AD

Z.BAC=乙DAE,

AC=AE

•••△84C//XOAE(SAS)；

(2)VZCAE=90°,AC=AE,

/.ZE=45°,

由(1)知△BACgADAE,

：.ZBCA=ZE=45°,

・・・NC"=90"，

：.ZCAF=45°,

ZFAE=ZMC+ZC4E=450+90°=135°；

(3)延长8尸到G,使得R7=1・Z,

VAF±BG,

/.^AFG=^AFB=W,

在△AFB和△AFG中，

(BF=GF

l^AFB=^AFG,

UF=AF

:.XNFB9XAFG(SAS'),

：,AB=AG,/ABF=NG,

VABAC^ADAE,

，八“=A。，NCBA=NEDA,CB=ED,

：,AG=AD,ZABF=^CDAf

・・・NG=NCOA,

VZGCA=ZDG4=45°，

在△CG4和△CD4中，

(Z.GCA=Z.DCA

l^CGA=^CDA,

(4G=AD

/.△CGA^ACD/1(AA5),

:,CG=CD，

,/CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

:.CD=2BF+DE.

2.(2022秋•忠县期末)在3c中，点。、E分别在A5、AC边上，设BE与C。相交于

点E

(1)如图①，设NA=60。，BE、C。分别平分NABC、ZACB,证明：DF=EF.

(2)如图②，设BE_LAC,CQ_LA8,点G在C。的延长线上，连接AG、AF：若NG=

Z6,BD=CD,证明：GD=DF.

【分析】(1)在3c上截取BM=BD,连接FM,证明△BFQgAAP'M,AECF^AAfCF,

进而可以解决问题；

(2)根据已知条件证明ABO尸名△CD4,进而可以解决问题.

【解答】证明：(1)如图，在8c上截取8M=3。，连接

•・•NA=60,

/.ZBFC=90°+60°4-2=120°,

；・NBFD=60°,

〈BE平分NA8C,

AZ1=Z2,

在△BFQ和△BPM中，

(BD=BM

jzl=42,

\BF=BF

:.ABFD学4BFM(SAS),

:・/BFM=/BFD=60°,DF=MF,

：.ZCFM=\20°-60°=60°,

•：NCFE=/BFD=6b,

/.ZCFM=/CFE,

*/CT>平分/ACAt

，N3=N4,

又CF=CF,

在△£：《尸和△MC厂中，

(Z.CFE=Z-CFM

iFC=FC,

(z3=Z4

/.△ECF^AMCF(ASA),

/.EF—MF,

：・DF=EF；

(2),：BEYAC,CD1AB,

：.ZBDF=ZCDA=9QQ,

.,.Zl+ZfiFD=90°,Z3+ZCFE=90°,/BFD=/CFE,

AZ1=Z3,

•:BD=CD,

在△BDf'和△CD4中，

(Z.BDF=Z.CDA

{BD=CD,

Ll=Z3

:ABDF@43A(ASA),

：.DF=DA,

VZADF=90°,

AZ6=45°,

VZG=Z6,

AZ5=45O

AZG=Z5,

：.GD=DA,

:・GD=DF.

3.(2022秋•路北区期中)如图，在四边形A8CO中，AD=8C=4,AB=CD,8。=6,点

E从。点出发，以每秒1个单位的速度沿D4向点4匀速移动，点厂从点C出发，以每

秒3个单位的速度沿C-B-C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点。匀速移动，

三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动.

(1)证明：AD//BC.

(2)在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有4DEG与ABFG全等

的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现△Q£G与△4PG全等的情

况.

备用图1备用图2

【分析】(I)由AO=BC=4,AB=CD,BD为公共边,所以可证得△48。gACDB,

所以可知N4O8=NCBZ),所以AD〃8C；

（2）设运动时间为f,点G的运动速度为y,根据全等三角形的性质进行解答即可.

【解答】（1）证明：在△43。和△CQ4中,

AD=BC

AB=CD,

BD=DB

:AABD妾4CDB(SSS),

/.ZADB=ZCBD,

：.AD//BC；

（2）解：设运动时间为f,点G的运动速度为v,

当OVt工轲,

若ADEG^ABGF,

贝喷:露

.rt=4-3t

••（6-8G=BG'

,（t=1

•,（BG=3，

/.v=3；

若4DEGgLBGF,

则产=BG

lOG=BF

.(t=BG

**l6-SG=4-3t*

.・・{£1)(舍去)

咤VY轲,

若△OEGg

贝喷:嚣，

.rt=3t-4

••(6-BG=BG'

,(t=2

"SG=3，

:.v=I；

若ADEGgABGF,

・•・v=1.

综上，当点G的速度为3或1.5或1时.会出现aOEG与△8PG全等的情况.

4.(2022春•北陪区校级期末)如图，已知凸五边形4BCOE中，EC,E8为其对角线，EA

=ED.

(1)如图1,若NA=60°,ZCDE=120°,KCD+AB=BC.求证：CE平分N8C。：

(2)如图2,NA与NO互补，NDEA=2NCEB,若凸五边形A8CQE面积为30,且

图1图2

【分析】(1)延长CO到丁，使得。7=84,连接£/证明△"8注△££>7(SAS),△

ECBmAECT(555),可得结论.

(2)延长CO到Q,使得NQEO=NAEB,过点E作EHLBC于H.证明aAEB丝△OEQ

(ASA),AECB出AECQ(SAS)>由题意Sn边彩AB?DE=S四边形E8CQ=2SGE8C=3。,推出

S△皈=5再利用三角形面积公式求出即可.

【解答】(I)证明：延长C。到7,使得。T=BA,连接E7.

图1

VZCDE=120°,

.'.ZEDT=180°-120°=60°,

VZA=60°,

:./A=NEDT,

在△E4B和中,

AE=DE

乙力=乙EDT，

AB=DT

•••△E4感△月。7(SAS),

:,EB=ET,

：.CB=CD+BA=CD+DT=CT,

在△EC8和△ECT中，

EC=EC

EB=ET,

CB=CT

:AECB出AECT(SSS)，

:・NECB=NECD,

・・・CE1平分NBCD.

(2)解：延长CO到Q,使得NQEO=/A/?8,过点石作于〃.

图2

VZA+ZCDE=\SQ°,ZCDE+ZEDQ=\SOa,

・•・ZA=ZEDQ,

在△AEB和△OEQ中，

Z.AEB=Z-DEQ

EA=ED,

Z.A=Z.EDQ

：.^AEB^^DEQ(ASA),

：・EB=EQ,

•・•ZAED=2ZBEC,

：.NAEB+NCED=ABEC,

：.NCED+/DEQ=NBEC,

：・/CEB=/CEQ,

在△Cf3和△。石。中，

EB=EQ

乙BEC=乙CEQ,

EC=EC

:.AECB必ECQ(SAS'),

Sfi边形48CO£=S四边影EffCQ=2SaEBC=3。，

，SAEBC=15，

2

*：CD=-AB=4

3t

：.AH=6,CD=4,

/.BC=CD+QD=CD+AB=10,

/.2-X1OXE/7=15,

:.EH=3,

・•・点七到BC的距离为3.

5.(2022秋•宜兴市期中)如图，在△川(；中，已知N4BC=45°,过点。作。。_1_/18于

点、D,过点B作8M_LAC于点M,C。与8M相交于点E,且点E是CQ的中点，连接

MD,过点。作。MLM。，交8M于点N.

(I)求证：△DBN4小DCM；

(2)请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论.

【分析】(1)根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明.

(2)结论：NE-ME=CM.作。凡LMN于点尸，由(1)ADBNgADCM可得DM=

DN,由△OEFgZXCEW,推出CM=DF,由此即可证明.

【解答】(1)证明：：/ABC=45°,CDLAB,

：.ZABC=ZDCH=45°,

/.BD=DC,

VZBDC=ZMDN=9i)°,

・•・NBDN=/CDM,

'：CDLAB,BM1AC,

：,ZABM=90°-ZA=ZACD,

在△O3N和△QCM中，

«BDN="OM

iBD=DC,

［乙DBN=Z-DCM

:•丛DBNq4DCM.

(2)结论：NE・ME=CM.

证明：由(I)/XOBN空△OCM可得DM=DN.

作DF上MN于点、F,又NDLMD,

:・DF=FN,

在△£)£：尸和△CEM中，

NDEF=4CEM

乙DFE=MME,

DE=EC

：.ADEF当4CEM,

：.ME=EF,CM=DF,

CM=DF=FN=NE-FE=NE-ME.

6.（2022秋•淅川县期末）如图1,ZXA4C的边8c在直线/上，ACA.BC,且AC=BC；

△EFP的边尸P也在直线/上，边EF与边AC重合，KEF=FP.

（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出4B与AP所满足的数量关系和位

置关系.

答：AB与的数量关系和位置关系分别是一.

（2）将△£/中沿直线/向左平移到图2的位置时，痔交AC于点Q,连接AP,8Q.请

你观察、测量，猜想并写出3Q与AP所满足的数量关系和位置关系.答：3Q与AP的

数最关系和位置关系分别是80=A=、B0UP.

（3）将△EFP沿直线/向左平移到图3的位置时，EP的延长线交4c的延长线于点Q,

连接AP、BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若

成立，给出证明；若不成立，请说明理

由

【分析】3)由于AC_L3C,RAC=BC,边£厂与边AC重合，且£尸=",则AA3c

与4EFP是全等的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到NB4C=NC4P=

45°,AB=AP,则/阴P=90°,于是AP14B；

(2)延长BQ交AP于H点，可得到△QPC为等腰直角三角形，则有QC=PC,根据“SAS”

可判断△ACP0Z\8C。则AP=3Q,/CAP=NCBQ,利用三角形内角和定理可得到/

AHQ=NBCQ=90°,即AP_LBQ；

(3)8Q与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直.证明方法与(2)一样.

【解答】解：(1)AB=AP,ABLAP；

(2)BQ=AP,BQLAP；

(3)成立.

证明：如图，•：NEPF=45°,

••・NCPQ=45°.

VAC1BC,

：.ZCQP=ZCPQ,

CQ=CP.

在RSCQ和RtAACP中,

BC=AC

Z.BCQ=/,ACP

CQ=CP

ARtABC^RtAACP(SAS)

：.BQ=AP；

延长Q8交人P于点M

:・/PBN=/CBQ.

•••RtZXBCQgRtZXACP,

：.ZBQC=ZAPC.

在RtZ\4CQ中，N3QC+NC3Q=90°,

.•・NAPC+NPBN=90°.

:・NPNB=90°.

：.QB±AP.

7.(2022秋•渝中区校级期中)如图，直线AB交x轴正半轴于点A(a,0),交)，轴正半

轴于点8(0,方)，且a、〃满足7^=7+|4-臼=0,

(1)求A、8两点的坐标；

(2)。为。4的中点，连接3。，过点。作OE_L8。于尸，交A3于£；,求证：ZBDO

=NEDA；

(3)如图，尸为x轴上4点右侧任意一点，以8P为边作等腰RtZ\PBM,其中PB=PM,

直线M4交)，轴于点。当点尸在x轴上运动时，线表OQ的长是否发生变化？若不变,

求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.

【分析】①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于心。的方程，解方程组即可求出

a，〃的值，也就能写出A,8的坐标：

②作出乙408的平分线，通过证△&方0△(〃£得到其对应角相等解决问题：

③过M作x轴的垂线，通过证明△PBOgZXMPN得出MN=AN,转化到等腰直角三角形

中去就很好解决了.

【解答】解：①•・•疝F+|4-臼=0

.*.67=4,b=4,

・・.A(4,0),B(0,4)；

(2)证明：作NAOB的角平分线，交8。于G,

：.ZBOG=ZOAE=45<},OB=OA,

/OBG=NAOE=90°-ZBOF,

:•△BOG/AOAE,

：.OG=AE.

VZGOD=ZEAD=45°，OD=AD,

•••△G。。也△EDA.

：.ZGDO=ZADE.

(3)过M作MN_Lx轴，垂足为M

VZBPA/=90°,

••・/BPO+NMPN=90°.

•・・N4OB=NMNP=90°,

，ZBPO=/PMN,NPBO=/MPN,

•:BP=MP,

:•丛PBOq丛MPN(AAS),

MN=OP.PN=AO=BO,

OP=OA+AP=PN+AP=AN,

:・MN=AN,NAMN=45°.

•・・/84O=45°,

••・NZMO+NOAQ=9(r

•••△8AQ是等腰直角三角形.

・・・0B=0Q=4.

・.・无论P点怎么动OQ的长不变.

8.（2022春•崇川区校级期末）如图1,点4、。在），轴正半轴上，点8、C分别在x轴上,

CD平分NACB与），轴交于。点，ZCAO=900-ZBDO.

（1）求证：AC=BC；

（2）在（1）中点C的坐标为（4,0）,点E为AC上一点，且NOEA=/OBO,如图

2,求8C+EC的长；

（3）在（1）中，过。作DF±AC于尸点，点”为FC上一•动点，点G为OC上一动点,

（如图3）,当点〃在尸C上移动、点。在OC上移动时，始终满足NGOa=/GOO十

图1图2图3

【分析】（1）由题意/C4O=90°-ZBDO,可知NC4O=NCBO,CO平分NACB与

y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△4COg/\8C£>,由全等三角形的性质可得AC

=BC；

（2）过。作ON_LAC于N点，可证明RtZXAOO出口△£/1%、4D0Cq4DNC,因此，

BO=EN、OC=NC,所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC,即可得BC+EC的长；

（3）在x轴的负半轴上取。M=/77,可证明△OF"&/XOOM、△〃OG咨△MOG,因此，

MG=GH,所以，GH=OM+OG=FH+OG,即可证明所得结论.

【解答】（I）证明：・・・NC4O=90°-ZBDO,

：.ZCAO=ZCBD.

在△ACQ和△3CO中

Z.ACD=乙BCD

Z.CAO=乙CBD,

CD=CD

:•△ACD/4BCD(AAS).

：.AC=BC.

(2)解：由(1)知NCAQ=NOE4=NO8O,

：.BD=AD=DE,过。作OALLAC于N点，如右图所示:

■:NACD=/BCD,

:・DO=DN,

在RtABDO和RlAEDN中

(BD=DE

历0=DN'

；・RSD0注RtAEDN(HL),

:,BO=EN.

在△OOC和△QNC中，

Z.D0C=Z.DNC=90°

Z.0CD=乙NCD

DC=DC

:•△DOC/ADNC(A4S),

可知：OC=NC；

：.BC+EC=BO+OC+NC~NE=2OC=^.

(3)GH=FH+OG.

证明：由(I)知：DF=DO,

在x轴的负半轴上取0M=/7/,连接。M,如右图所示：

在於DFH和△Q0M中

DF=D0

Z.DFH=乙DOM=90%

0M=FH

:ADF晔ADOM(SAS).

:.DH=DM,Z\=Z0DM.

：./GDH=Z1+Z2=ZO/)M+N2=ZGDM.

在AHDG和△MOG中

DH=DM

乙GDH=Z.GDM,

(DG=DG

:•△HDG出AMDG(SAS).

:.MG=GH,

:.GH=OM+OG=FH+OG.

y

9.（2022秋•莆田期中）如图1,Q4=2,OB=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作

等腰RtAABC,

（2）如图2,尸为），轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶

点，附为腰作等腰RlZ\AP。，过Z）作。邑Lx轴于E点，求OP-DE的值；

-2）,当G在），轴的负半轴上沿负方向运动时，

作RtZXFG”,始终保持NGFH=90",FG与y轴负半轴交于点G（0,〃?），P”与x轴

正半轴交于点H（〃，0），当G点在），轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：

①〃l〃为定值；②加+〃为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求

出其值.

【分析】(1)要求点C的坐标，则求C的横坐标与纵坐标，因为AC=A8,则作CM_L

x轴，即求C例和AM的值，容易得△MAC0△084,根据已知即可求得。点的值；

(2)求OP-QE的值则将其放在同一直线上，过。作OQ-LOP于。点，即是求PQ的

值，由图易求得AAO尸(AAS),即可求得PQ的长；

(3)利用(2)的结论，可知〃此〃为定长是正确的，过F分别作入轴和y轴的垂线，类

似(2),即可求得加+〃的值.

【解答】解：(I)过C作CM_Lx轴于M点，如图1,

VCM10A,AC1AB,

：,ZMAC+ZOAB=W,ZOA8+ZOBA=9()°

则/MAC=N0R4

在△MAC和△084中，

/.CMA=Z-AOB=90°

Z-MAC="BA

AC=BA

则△M4C94QR4(AAS)

则CM=OA=2,MA=O8=4,则点。的坐标为(-6,-2)；

(2)过。作。QJ_OP于。点，如图2,则OP-QE=PQ,ZAPO+Z.QPD=W

N"O+NOAP=90°,则NQPQ=NO",

在△4OP和△PQQ中，

Z-AOP=乙PQD=90°

Z.QPD=Z.OAP

AP=PD

则△AOPdPQQ(A4S)

：.OP-DE=PQ=0A=2：

(3)结论②是正确的，/n+〃=-4,

如图3,过点尸分别作五S_Lx轴于S点，轴于7点，

则FS=FT=2,/FHS=/HFT=ZFGT,

在△户和AfTG中，

ZFSH=Z.FTG=90°

乙FHS=乙FGT

FS=FT

则△/•3H0ZXP7'G(AAS)

则GT=HS,

又・・・G(0,〃?)，H(n,0),点尸坐标为(・2,-2),

：,OT=OS=2,OG=\ni\=-in,OH=n,

:.GT=OG-07=-m-2,HS=OH+OS=n+2,

则-2-m=〃+2,

10.（2022秋•南岗区校级月考）在△A8C中，AB=AC,BDLAC于点D,BE平分乙ABQ,

点厂在4。上，ZBEF=45°

（1）如图1,求证：BF=CE；

（2）如图2,作交8c的延长线于点M,连接AM,交8E的延长线于点N,

若NZMC=30°,请探究线段E〃与MN的数量关系，并加以证明.

A

图1图2

【分析】（I）在4B上截取BG=BF,连接EG,利用BE平分N/WO,可得NGBE=N

FBE,根据题意易求证（SAS）,设NEBG=NEBF=a,NQBC=0,根

据角度关系可求证GEf/BC,通过等量代换即可求解；

（2）数量关系为：MN=2EF,理由为连接NC,根据题意可求证NEBF=N

CEM=30°,DF=CE,从而求证△皿/（5AS）,可得Kr=MC,即可求解.

【解答】（1）证明：如图，在A8上截取8G=8f，连接EG,

平分/A8。，

NGBE=NFBE,

,:BG=BF,BE=BE,

:ABGE当ABFE(SAS),

:./CER=/FFR=45",

设/EBG=NEBF=a,NDBC=B，

/.ZAGE=NG8E+NGEB=450+a,

*：AB=AC,

AZC=48C=2a+p,

VZBDC=90°,

：.ZDBC+ZC=90°,即2a+0+p=9O°,

Aa+p=90n,

・・・NABC=2a+p=45°+a,

・•・NABC=ZAGE,

:・GE〃BC,

・•・ZAEG=ZC=ZABC=ZAGE,

：.AG=AE,

：.AB-AG=AC-AE,即BG=CE,

,:BF=BG,

:.BF=CE；

(2)解：数量关系为：MN=2ER理由如下:

VZBAC=30°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=15°,

VBD1AC,

AZD/?C=90°-75°=15°,

：・4ABD=150-15°=60°,

二•BE平分/ABO,

AZABE=ZEBD=3()a,

；・NB4C=N/WE=30°,

：.AE=BE,

NBED=NBAC+NABE=75°,

AZE/WC=45Q,

,/NEBM=NEBD+/DBC=45°,

AZEMC=ZEBM=45°,

:.BE=EM,

：,EM=AE,

/.ZEAM=ZEMA=^CEM=\50,

2

・•・ZAMC=/EMC+NAME=60。=ZBEC,

如图，连接NC,

AZNCM=ZNEM=W,

在RlZ\NMC中，N/VMC=60°,

・・・NCNM=30°,

；・CM=-MN,

2

■:BE=EM,NEBF=NCEM=30。,BF=CE,

:.△BEFg4EMC（SAS）,

:・EF=MC,

:・MN=2EF.

II.（2022春•运城期末）综合与探究

如图，在△4BC和△4£>£：中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,C石的延长线交BO

于点F.

（1）求证：XACE4XABD.

（2）若NB4C=/D4E=50°,请直接写出N8FC的度数.

（3）过点A作A，_LB。于点从求证：EF+DH=HF.

（2）由全等三角形的性质可得NAEC=NA力