浙江省9+1高中联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

绝密★考试结束前

2025学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试

数学

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确

的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.设复数z满足|z-i=2,z在复平面内对应的点为(x,y),则z点的轨迹方程为(▲)

A.(x-1)²+y²=2B.(x-1)²+y²=4

C.x²+(y-1)²=2D.x²+(y-1)²=4

2.已知集合U=R,A={x|x>2},B={x|1og₃x<1},则(CuA)NB=(▲)

A.{x|x≤2}B.{x|x<2}c.{x|0<x<2}D.{x|0<x≤2}

3.若k∈Z,则“α=β+2kπ”是“sinα=sinβ”的(▲)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设x,y∈R,向量a=(x,1,2),b=(2,y,1),c=(4,-4,2),且a⊥c,b1/c,|a-5|=(▲)

A.3B.2√3C.√14D.2√7

5.过点P(3,1)且斜率小于0的直线与x轴，y轴围成的封闭图形面积的最小值为(▲)

A.3B.6C.9D.12

6.已知直线l:y=kx与椭圆E:交于P,Q两点，若|FF₂|=|PQ(F₁,F₂是椭圆的两个焦点),

则四边形FPF₂Q的面积为(▲)

A.1B.√2C.2D.4

7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为线段A₁C上的动点，则异面直线BP与AD₁所成角的最小值为

(▲)

A.B.C.D.

8.若实数x,y,z满足则x,y,z的大小关系不可能是(▲)

A.x<y<ZB.z<y<xC.y<x<ZD.x<z<y

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.

9.将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1次，记试验的样本空间是Ω={1,2,3,4,5,6},事件

A={1,2},B={1,3},C={2,4,6},则(▲)

A.AB与C是互斥事件B.事件A与C相互独立

C.

10.已知函数f(x)=cos3x-cos2x,则(▲)

A.f(x)的一个周期为-2πB.f(x)的图象关于直线x=π对称

C.f(x)的最大值为2D.f(x)在(0,2π)上的所有零点之和为4π

11.底面半径为3,高为6的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱侧面相切，作不与圆柱底面平行的

平面α,与球切于点F,若平面α与圆柱侧面相交所得封闭曲线为C,则下列命题正确的有(▲)

A.曲线C的离心率最大值为

B.曲线C的离心率最大值为

C.平面α与底面所成夹角正弦最大值为

D.F点到底面距离最小值为

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知双曲线C:则双曲线的离心率是▲

13.已知直线1经过点P(3,0),且与圆C:(x-2)²+(y-2)²=16相交于A,B两点，若|AB|=2√15,则

直线l的方程为▲

14.已知直三棱柱ABC-A₁B₁C,AB⊥AC,AB=AC=AA₁=2,且MB=2AM,AN=NC,过B作

平面α,使α/lA₁M,a//C₁N,若α∩B₁C₁=P,则BP=▲

四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分13分)已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的外接圆的半径为R,

且△ABC的面积

(1)求sinB·sinC的值；

(2)若4cosBcosC=1,R=√3,求△ABC的周长.

16.(本题满分15分)如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C的所有棱长都为2,D为A₁C的中点，

且B₁E=λB₁C,

(1)若求证：DEI/平面A₁BC;

(2)若直线DE与平面A₁BC所成角的正弦值为,求实数λ的值.

17.(本题满分15分)动点与定点

M(x,y)(√3,0)的距离和它到定直线的距离比为

(1)求动点M(x,y)的轨迹方程；

(2)若斜率为k的直线与圆x²+y²=1相切，与(1)中所求点M(x,y)的轨迹交于A,B两点，且

OA·OB≥4(其中0为坐标原点),求k的取值范围.

18.(本题满分17分)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面是直角梯形ABCD,ABIIDC,∠D=90°,

AB=2,CD=1,AD=√3,AE=√6,△BCE为正三角形.

(1)求证：平面BCE⊥平面ABCD;

(2)求平面ADE与平面BCE夹角的余弦值：

(3)设点T是三棱锥E-ACD外接球上一点，求点T到平面ADE距离的最大值.

B

19.(本题满分17分)设椭圆C:a,b>0且a≠b),过C外一点P作C的两条切线，斜率

分别为k₁,k₂.若满足k₁·k₂=k(k∈R且k≠0),则称点P的轨迹为C的k—相关曲线.特别地，当

k=-1时，P的轨迹为一个圆，且满足方程x²+y²=a²+b²,这样的圆被称作为蒙日圆.(注：

M(x₀,yo)为C:mx²+ny²=1上任一点，则M处的切线方程：mx₀x+ny₀y=1).

(1)设椭圆C₁:与其-1—相关曲线C₂,点P,Q分别为曲线C₁,C₂上点，记

d=|PQm,用含d的式子表示a(直接写出结果);

(2)设椭圆C其2—相关曲线C₄,求C₄;

(3)设椭圆与其k—相关曲线,设C₅与C₆在第一象限的交点为

M,过M分别作C₅与C₆的切线L,L2,满足I⊥l₂.设C₅的左、右焦点分别为F₁,F₂,满足

,求k的值.

2025学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确

的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

题号12345678

答案DDACBCBB

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案ABCABDBD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.13.x=3或3x+4y-9=0

【11题解析】:

易得b=3,如图为轴截面，当平面与球相切时，恰为离心率最大时，

当轴截面为AE时，AG=5,OG=1,由相切得

高二数学参考答案第1页(共6页)

此时，,再由

此时，点F到底面的距离为

当轴截面为DI时，F点与H点重合，所对应的离心率,此时F点到底面的距离为

答案：BD.

【14题解析】:

法一：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则A₁(0,0,2),

N(0,1,0),C₁(0,2,2),,NC₁=(0,1,2),

设P(t,2-t,2),B(2,0,0),则BP=(t-2,2-t,2),

由题得BP,MA,NC,共面，则设BP=xMA₁+yNC,

x,2-t=y,2=2x+2y,

所以得,所I

法二：补成正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁,再平移线段，过B作BK平行于MA₁交B₁A₁于K,作BH平

行于NC₁交B₁D₁于H,连接KH交B₁C₁于P,由比例关系计算得,则

答案：

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：(1)由,又sinA>0,所以3R²=bc,……………3分

由正弦定理：,得b=2RsinB,c=2RsinC,

所以bc=4R²sinB·sinC=3R²,所以得…………6分

(2)由

所以则………9分

所

又bc=3R²=9,由余弦定理得：a²=b²+c²-2bc·cosA,

高二数学参考答案第2页(共6页)

即：9=b²+c²-bc=(b+c)²-3bc=(b+c)²-27,

得(b+c)²=36,得b+c=6,所以△ABC周长为9.……………13分

16.解：(1)(1)当时，则E为B₁C的中点，所以E为BC₁的中点，

又D为A₁C₁的中点，所以DE为△A₁BC₁的中位线，

所以DE//A₁B,又DEø平面A₁BC,而A₁Bc平面A₁BC,

所以DE//平面A₁BC.……………4分

(2)如图，设0为线段AC的中点，OB,OC,OD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角

坐标系，所以A,(0,-1,2),B(√3,0,0),C(0,1,0),D(0,0,2),B₁(√3,0,2),

所以BC=(-√3,1,0)CA₁=(0,-2,2),B₁C=(-√3,1,-2),

设平面A₁BC的法向量为m=(x,y,z),

则m·BC=-√3x+y=0,m·CA₁=-2y+2z=0

令x=1,则y=z=√3,得m=(1,√3,√3).

……9分

DE=DB₁+B₁E=(√3,0,0+(-√32,a,-22)=(√3-√32,a,-22)

设直线DE与平面DAB₁所成的角为θ,

则3(1-2λ)²=8λ²-6λ+3,化简得42²-6λ=0,则……………15分

17.解：(1)根据题意有

将上式化简得：………………4分

(2)设直线l方程为y=kx+b,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

直线1与圆相切有即b²=k²+1………6分

再联立消去y,得(1-2k²)x²-4kbx-2b²-2=0,

高二数学参考答案第3页(共6页)

1-2k²≠0且△>0,因此0≤k²<2,……………8分

……………10分

OA·OB=x₁x₂+y₁y₂=(k²+1)x₁x₂+kb(x₁+x₂)+b²≥4

…………15分

18.解：(1)设0为BC的中点，连接AC,OA,OE,由题得，AC=BC=2,

所以△ABC为正三角形，则OA⊥BC,OE⊥BC,

所以∠EOA为平面BCE与平面ABCD的夹角，

又OA=OE=√3,AE=√6,所以OA²+OE²=AE²,

所以∠EOA=90°,所以平面BCE⊥平面ABCD.

……………4分

(2)由(1)得：以0为坐标原点，OA,OB,OE所在直线为x,y,轴建立

空间直角坐标系，贝

设平面ADE的法向量为m=(x,y,z),

m·AE=-√3x+√3z=0,

令x=√3,则而=(√3,-1,√3),………………7分

平面BCE的一个法向量为n=(1,0,0),

所以平面ADE与平面BCE夹角的余弦值为………………10分

高二数学参考答案第4页(共6页)

(3)设外接球的球心为Q,则Q在AC的中垂线上，设

则,√3-t),又|QA|=|QE|,

,化简得：

所以,则外接球的半径,(直接给出点Q坐标也给分)……14分

,所以点Q到平面ADE的距离

所以点T到平面ADE距离的最大值为