13.1 三角形的边角关系（三角形中的经典模型）（解析版） 分层作业-沪科版(2024)八上

13.1三角形的边角关系（三角形中的经典模型）题型一A字模型1．（2021九年级·全国·专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为．【答案】【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．【详解】解：如图，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．2．（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．【详解】解：，，，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．3．（2021九年级·全国·专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．【答案】见解析【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．【详解】解：和是的外角，．又，．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．题型二8字模型1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系．（2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是．【答案】/度【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解；（2）根据（1）的关系式求出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解；【详解】解：（1），，又∵，；（2），，，，、分别是和的角平分线，，，又，；故答案为：（1），（2）2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：．【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了角平分线的定义．（1）根据三角形的内角和即可得到结论；（2）利用（1）中模型可得，再根据角平分线得到，，解答即可．【详解】证明：（1）在中，，在中，，∵，∴；（2）同（1）中模型可得，在相交线中，有，在相交线中，有，∴，∵，分别平分，，∴，，∴．3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）模型：如图1，，交于点．求证：．（2）模型应用：如图2，和的平分线交于点．①若，，则的度数是？②直接写出与，之间的数量关系是：（3）类比应用：如图3，的平分线与的平分线交于点．若，，（）．求的度数．（用含有，的式子表示）【答案】（1）证明见解析；（2）①；②，理由见解析；（3）【分析】（1）利用三角形内角和为180度进行证明即可；（2）①同（1）可得，进而推出，再根据角平分线的定义推出，由此即可得到结论；②同①求解即可；（3）如图所示，延长交于F，利用三角形外角的性质得到，再由角平分线的定义得到，由（1）的结论得到，由此即可得到答案．【详解】解：（1）∵，，∴；（2）①由（1）得，∴，∴，∵和的平分线交于点，∴，∴，∴；②，理由如下：同理得，，∴，∵和的平分线交于点，∴，∴，∴；（3）如图所示，延长交于F，∵，∴，∵的平分线与的平分线交于点，∴，∵，∴，∵，，∴．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理是解题的关键．4．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②．【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点．(1)如图2，，，则的度数是多少呢？易证，请你完成后续的推理过程：______，分别是，的平分线，______又，______度．(2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是：______．【类比应用】(3)如图3，的平分线与的平分线交于点．已知：，，则______．（用、表示）【答案】(1)，，(2)(3)【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键．（1）由题意易得，，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化简，最后将、代入计算即可；（2）利用（1）的相关结论即可解答；（3）如图3，延长交于点F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质可得，再代入进行化简可得,最后将、代入即可解答．【详解】（1）解：如图2，∵，，∴，∵平分，平分，∴，∴，，∴故答案为：，，；（2）解：由（1）可得，即故答案为；（3）解：如图3，延长交于F，∵，∴，∵平分，平分,∴，∵，∴，∵，，∴．故答案为．题型三飞镖模型1．（2021九年级·全国·专题练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴140°-90°=50°故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”．模型探究（1）如图1，在规形中，请探究之间的数量关系，并说明理由．实践应用（2）应用（1）中探究的结论解决下列问题：①如图2，在规形中，与的角平分线交于点E，若，则的度数是_________；②如图3，在规形中，若的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1），理由见解析；（2）①115；②，理由见解析；【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，熟练运用三角形的外角性质以及角平分线性质是解题的关键．（1）连接，并延长到点E，根据三角形的外角性质得到，两式相加即得解；（2）①由（1）知，结合角平分线性质，得到、，代入得到，再利用第（1）问结论可得，即可求解；②由（1）知，结合角平分线性质，得到，，利用三角形的外角性质得到，代入即可得解；【详解】解：（1），理由：如图1，连接，并延长到点E，则，∴，即；（2）①由（1）知，∵平分、平分，∴、，∴，∴，则；②，理由：如图3，由（1）知，∵平分，∴，∵平分，∴，∵，∴，即．3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：；【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度；【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数．【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．

【答案】建立模型：证明见解答过程；尝试应用：180；拓展创新：；提升思维：1080【分析】此题主要考查了多边形内角和，三角形内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键．建立模型：延长交于点，由三角形外角性质得，由此即可得出结论；尝试应用：设与相交于点，由“建立模型”得，则，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案；拓展创新：延长与的延长线相交于点，则，进而得，由“尝试应用”得，则；提升思维：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，据此规律即可得出答案．【详解】建立模型：证明：延长交于点，如图1所示：

由三角形外角性质得：，；尝试应用：解：设与相交于点，如图2所示：

由“建立模型”得：，，，在中，，，故答案为：180；拓展创新：解：延长与的延长线相交于点，如图3所示：

，，在中，，，由“尝试应用”得：，；提升思维：解：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：．故答案为：1080．题型四老鹰抓小鸡模型1．（23-24八年级上·重庆永川·期中）一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在的位置，若，则．【答案】【分析】本题主要考查了四边形内角和定理以及邻补角的性质，熟练掌握四边形内角和定理是解题的关键．由翻折的性质得到，根据四边形内角和定理得到，再利用邻补角的性质求出答案．【详解】解：将折叠，为折痕，A点落在的位置，若，，在四边形中，，，．故答案为：．2．（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于．【答案】【分析】本题考查三角形的内角和定理，轴对称的性质．由三角形的内角和求出，再由折叠得到，进而平角的定义即可求解．【详解】解：∵，∴，∵折叠得到，∴，，∴，∴．故答案为：3（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，求证：．（1）以下是小明给出的部分推理过程，请你帮他完成证明【推理证明】∵与分别为的两个外角，∴，，∴⋯⋯【应用】利用（1）中所证明的结论解决下列问题：（2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，，请直接写出的度数，不需要说明理由；（3）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，猜想与的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键．（1）由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证；（2）由进行变形为即可求解；（3）由角平分线的定义得，，再由三角形内角和定理得出，然后把代入即可求解．【详解】（1）证明：∵与分别为的两个外角，∴，，∴．∵，（三角形内角和定理）∴；（2）解：∵，，，∴；（3）解：∵、分别为外角、的平分线，∴，，∴，∵，∴．4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，(1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；(2)设的度数为，的度数为，那么，的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）(3)与之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律（写过程）．【答案】(1)，与、与、与是对应角(2)，(3)，证明见解析【分析】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．（1）根据翻折方法可得，进而可得出对应角；（2）根据翻折方法可得，再根据平角定义可得，；（3）首先由，，可得，，再根据三角形内角和定理可得，再利用等量代换可得．【详解】（1）解：∵把纸片沿折叠，∴，其中与、与、与是对应角；（2）∵，∴∴，；（3）．理由：∵，∴，，∴．题型一三角形折叠模型1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则°．【答案】68【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，对顶角，熟练掌握折叠的性质解题的关键．由折叠的性质得，，，根据三角形内角和，，求得，据此求解即可．【详解】解：由折叠的性质得，，，根据对顶角相等，，，，，，，，．故答案为：68．2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为．【答案】【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案．【详解】解：由折叠的性质可得，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处．【观察猜想】（1）如图①，若，则___________°；若，则___________°；若，则___________°；【探索证明】（2）利用图①，探索与的关系，并说明理由；【拓展应用】（3）如图②，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数．【答案】（1）80，110，；（2），见解析；（3）117【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由折叠的性质可得，，从而得出，，再由三角形内角和定理计算即可得解，同理求解即可；（2）由三角形外角的定义及性质得出，，整理即可得解；（3）由（2）可得，再由角平分线的定义并结合三角形内角和定理计算即可得解．【详解】解：（1）点沿折叠落在点的位置，∴，，∴，．在中，，，整理，得．同理可得：若，则．若，则．（2）．理由：∵，是的两个外角，∴，，，，即．（3），由（2），得，．平分，平分，，．4．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图（1）所示，把沿折叠，(1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律．(2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是．(3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是．【答案】(1)，证明见解析(2)(3)【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由折叠的性质可得，，由邻补角的定义可得，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解；（2）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解；（3）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解．【详解】（1）解：，证明如下：由折叠的性质可得：，，∴，，∵，∴，∴，即；（2）解：由折叠的性质可得：，，∴，，∵，∴，∴，即（3）解：由折叠的性质可得：，，∴，，∵，∴，∴，即．题型二三角形双角平分线模型（两内）1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，与的平分线交于点P，若，则．【答案】【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由题意得到，再结合角平分线的定义，得出，最后利用三角形内角和求解即可．【详解】解：，，，与的平分线交于点P，，，，故答案为：．2．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，的平分线，相交于点F，，，则．【答案】/121度【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．【详解】解：∵在中，，，∴，∵，的平分线，相交于点，∴，，∴，故答案为：．3．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，的和的平分线相交于点G，则与的数量关系是．【答案】【分析】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，以及角平分线定义得出,即可进行等量代换得解．【详解】解：和的平分线是，,,,．故答案为：．题型三三角形双角平分线模型（一内一外）1．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，和外角的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得，已知、、的和为，则．【答案】【分析】本题考查角平分线，三角形的外角的知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，根据三角形的外角和，角平分线的性质，则，，根据已知、、的和为，求出，即可．【详解】解：∵中，和外角的平分线交于点，∴，，∵，，∴，∴，∴；∵和的平分线交于点，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∵、、的和为，∴，∴，∴．故答案为：．2．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝°【答案】【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，……，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，∴，，又∵，，∴，∴，∵，∴；同理可得，……∴，∴，故答案为：；题型四三角形双角平分线模型（两外）1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点．(1)如果，求的度数；（用含的式子表示）(2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______；(3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理，外角和性质，多边形内角和等．（1）根据可得，再利用角平分线定义可得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案；（2）根据角平分线定义得出，再由四边形内角和定理可得结论；（3）先求出，后得到，，，继而得到本题答案．【详解】（1）解：∵，∴，∵与的平分线相交于点，∴，∴，∴；（2）解：∵作外角，的角平分线交于点，∴，∵与的平分线相交于点，∴，∴，∵四边形内角和为，∴，故答案为：；（3）解：∵，，∴，解得：，∴，∴，∴，∴，∴．2．（22-23七年级下·吉林长春·期末）【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题：如图①，在中，平分，平分，请你判断和间的数量关系并说明理由．刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程．解：结论：_________．理由：∵平分，平分，∴．∴_________．【模型发展】如图②，点P是的外角平分线与的交点，请你判断和间的数量关系并说明理由．【解决问题】如图③，在中，平分，平分，点Q是的外角平分线与的交点．若，则______度．

【答案】探索发现，；模型发展：，理由见解析；解决问题：28【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：探索发现：根据角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理进行求解即可；模型发展：由角平分线的定义得到，由平角的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则，进而得到；解决问题：根据前面的结论进行求解即可．【详解】解：探索发现：结论：．理由：∵平分，平分，∴．∴．故答案为：；；模型发展：，理由如下：∵点P是的内角平分线与的交点，∴，∵，∴，∴；解决问题：∵点Q是的外角平分线与的交点，∴，∵，∴，∴,∴，由模型法则知：，∴故答案为：．题型五高+角平分线模型1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点．(1)求的度数；(2)求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线和高的定义，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．（）由三角形高的定义可得，即可得，由角平分线的定义得到，再根据角的和差关系即可求解；（）利用三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，最后由三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）解：∵是边上的高，∴，∴，∴，∵是的平分线，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴．2．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）（1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数．（2）如图②所示，已知平分，交边于点E，过点F作于点D，，．①；（用含x的式子表示）②求的度数．【答案】（1）；（2）①；②【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质：（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义和高线的定义分别求出，，即可求出；（2）①根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义即可求解；②根据角平分线定义求出，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出．【详解】解：（1）∵，，∴．∵是的角平分线，∴．∵是的高，∴，∴在中，，∴．（2）①∵，，∴，∵平分，∴故答案为：；②∵平分，∴，∴，∵，∴在中，．3．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，是边上的高，是的平分线．(1)若，求的度数：(2)若，求的度数（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．（1）根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据余角的定义得到，根据角的和差即可解答；（2）同（1）思路即可解答．【详解】（1）解：∵，，∴，∵是的平分线，∴，∵是边上的高，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵是的平分线，∴，∵是边上的高，∴，∴，∴．4．（24-25八年级上·广东汕头·期中）已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线，(1)若，，求的度数；(2)若为x，为y，求与x、y的关系．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高，熟练掌握内角和定理是解本题的关键．（1）在中，由与的度数求出的度数，根据为角平分线求出的度数，由即可求出的度数；（2）仿照（1）得出与x、y的关系即可．【详解】（1）解：∵，，∴，又∵是的角平分线，∴，∵是的高，∴，则；（2）解：，理由如下：∵，，∴，又∵是的角平分线，∴，∵是的高，∴，则．1．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知在中，．在图（1）中，、的平分线交于点，则计算可得；在图（2）中，设、的三等分线相交于点，，则计算可得；在图（3）中请你猜想，当、同时等分时，等分线分别对应交于、、…，则（用含的代数式表示）．【答案】【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，n等分线的定义．根据三角形的内角和等于得出，再根据n等分的定义求出的度数，在中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：在中，，，∵和分别是的n等分线，；．故答案为：．2．（20-21七年级下·山西临汾·期末）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．（2）如图（2），分别平分，若．求的度数．（3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______；（4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证；（2）设，，解方程即可得到答案；（3）根据直线平分，平分的外角，得到，从而可以得到，再根据，得到即可求解；（4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解．【详解】解：（1）如图.

，，．，；（2）如图.

，分别平分，，设，，则有，，（3）如图.

直线平分，平分的外角，，，∴，∴∵∴∴∴，即．（4）连接

直线平分的外角，平分的外角，，，∵，∴同理得到：∴∴∵180°，∴，【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．（22-23七年级下·河南南阳·期末）(1)如图1，在△ABC中，点是和的角平分线的交点，请你判断与之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，在四边形中，点是和的角平分线的交点，请你用和表示，并说明理由；(3)如图3，在四边形中，，是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角，直接写出用和表示的结果．

【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）根据三角形内角和定理，以及角平分线的定义的；（2）根据平分，平分，可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解；（3）根据题意可得，根据三角形的内角和定理可得，进而，即可求解．【详解】解：（1）理由如下：平分，平分，，．在中，，在中，，．．

（3）．理由如下：由四边形内角和定理得．、分别平分和，．．即．

（3）．理由如下，

∵又∵是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角，∴．即．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，三角形的角平分线的性质，多边形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．4．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；②如图3，平分，平分，若，求的度数；③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．【答案】(1)，见解析(2)①；②；③【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出；（2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数．【详解】（1）解：，理由如下：如图，连接并延长．根据外角的性质，可得，，又∵，，∴，故答案为：；（2）①由（1）可得，∵，，∴；②由（1）可得，∴，∴，∴；③设，，则，，则，，解得，所以，即的度数为．【点睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．5．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）问题情境：如图1，在中，和的平分线交于点．(1)探索发现：若，则的度数为________；若，则的度数为________．(2)猜想证明：猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．(3)拓展应用：如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系．【答案】(1)，(2)，证明见解析(3)【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行求解即可；（2）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可；（3）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可；熟练掌握角平分线的定义，三角形的内角和定理是解决此题的关键．【详解】（1）解：∵，，的平分线与的平分线相交于点，，，，，∵，，的平分线与的平分线相交于点，，，，，故答案为：，；（2），理由如下：分别平分，，，，，；（3）平分平分，，，同理可得，，∴．6．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，线段与相交于点O，连接，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系．(1)请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点P，若，求的度数；(3)智慧小组在图1的基础上，分别作射线，使得，，两条射线交于点P，请直接写出之间的数量关系．【答案】(1)，理由见解析(2)(3)【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等，理解题意灵活运用题中得出的“字形”性质，是解答本题的关键．（1）根据三角形内角和对顶角相等结合等式性质即可得出结论；（2）根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解；（3）根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可得出结论．【详解】（1）解：，证明：，，又，；（2）解：平分，平分，，，由“8字形”得到，两等式相减得到，即，，；（3）解：，，，，，由“8字形”得到，，，，．7．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）他阅读下面的材料，并解决问题(1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数．如图1，如图2，；如图3，；如图4，和的三等分线相交于点，则．(2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数．【答案】(1)；；；或(2)【分析】（1）如图1，由角平分线的定义得出，，再结合三角形的内角和定理得出，计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，