第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明测试·提升卷（答案及评分标准）

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷第十三章三角形中的边角关系、命题与证明·能力提升（参考答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）12345678910CBCCDDABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．2212．123°13．1114．2或3或4三、解答题（共4小题，每小题8分,共32分）15．（本题8分）已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22.求△ABC另两边的长.【答案】△ABC另两边长分别为8.5，8.5．【分析】根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质解题.【详解】∵△ABC是等腰三角形，∴不妨设AB=AC，又∵一边长为5，①设AB=AC=5，∵△ABC的周长为22，∴BC=22-5-5=12，∵5+5<12，∴不成立(舍)；（4分）②设BC=5，∵△ABC的周长为22，∴AB=AC=（22-5）÷2=8.5，∵8.5+5>8.5，符合题意，∴△ABC另两边长分别为8.5，8.5．（8分）【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质.16．（本题8分）在中，，求的度数．【答案】【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理结合角的和差和数量关系，进行求解即可．【详解】解：∵三角形内角和为，∴，∵，∴．又∵，∴．∴．（8分）17．（本题8分）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点B，C，若，求的度数．【答案】【分析】本题考查三角形的内角和定理，解决本题的关键是掌握直角三角形两锐角互余的关系．根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，∵，，∴，∵，∴，∴．（8分）18．（本题8分）如图，是内一点，连接和．(1)试说明：；(2)若，，，求的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，关键是掌握三角形三边关系定理．（1）延长交于，由三角形三边关系定理得，，即可证明；（2）由三角形三边关系定理得，因此，得到．【详解】（1）证明：延长交于，由三角形三边关系定理得：，，∴，∴；（4分）（2）由三角形三边关系定理得：，由（1）知，∴，，，，∴．（8分）四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）19．（本题10分）如图，在中，，垂足为，，．(1)求的度数；(2)若是的平分线，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．（1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．【详解】（1）解：∵在中，，∴∵∴∴（5分）（2）∵是的平分线，∴在中，∴（10分）20．（本题10分）如图，是的高线，是中点，连接交于点．(1)若的周长为．求的周长；(2)在（1）的情况下，若，求点到的距离．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了三角形的中线和高线．（1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解；（2）根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：是的中点．（5分）（2）解：过作于，如图：点到的距离为．（10分）五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）21．（本题12分）已知，，是的三边．(1)若，．求第三边的取值范围；(2)若，，第三边为奇数，判断的形状；(3)化简．【答案】(1)(2)为等腰三角形(3)【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．（）根据三角形的三边关系即可求解；（）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解；（）根据三角形的三边关系得，，，然后化简即可．【详解】（1）解：∵，，，∴；（4分）（2）解：由（）得，，∵第三边为奇数，∴，∴三边为，，，∴为等腰三角形；（8分）（3）解：∵，，，∴．（12分）22．（本题12分）在中，平分，．(1)如图，若于点，，，则的度数为______；(2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由；(3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为：______用含、的式子表示．【答案】(1)；(2)，理由见解析(3)．【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角性质，垂直的定义的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．（1）利用三角形内角和求出，结合角平分线定义求出，再结合垂直定义、以及三角形内角和求出，最后根据求解，即可解题；（2）根据题意，结合图形，用、表示出，利用角平分线，表示出，仿照第（1）题，表示出，即可得到结果；（3）结合图形，用，表示出，利用角平分线，表示出，利用是的外角，表示出，同时也是的外角，即可得到结果．【详解】（1）解：，，，平分，，，，，，故答案为：；（2分）（2）解：，理由如下：如图，，，平分，，，，，；（7分）（3）解：如图，，，，，平分，，，，，，即的度数为，故答案为：．（12分）解答题（共1小题，每小题14分，共14分）23．（本题14分）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是．（2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论．（3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析．【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，掌握题目中（1）的规律是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可作答；（2）由题意设，，再根据（1）的结论建立方程组即可；（3）设，之后同（2）根据（1）的结论建立方程组即可求解．【详解】解：（1）在中，，在中，，又，，故答案为：；（4分）（2）