第08讲直线与圆锥曲线的位置关系（高效培优讲义）

第08讲直线与圆锥曲线的位置关系目录考情探究TOC\o"13"\h\z\u 2知识梳理 3探究核心考点 6考点一直线与圆锥曲线的位置关系 6考点二圆锥曲线的弦长问题 12考点三圆锥曲线的中点弦问题 16考点四圆锥曲线的面积问题 19考点五圆锥曲线中的最值问题 32考点六圆锥曲线中的向量问题 47考点七圆锥曲线中的证明问题 57考点八圆锥曲线中的探索性问题 69考点九圆锥曲线的定点、定值、定直线问题 79考点十圆锥曲线的综合问题 118三阶突破训练 127基础过关 127能力提升 132真题感知 145一、5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2025年全国一卷，18题，17分求椭圆中的最值问题无2025年全国二卷，16题，15分椭圆中三角形（四边形）的面积无2025年天津卷，18题，15分根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围用向量解决夹角问题2024年新课标I卷：第16题，15分椭圆中三角形（四边形）的面积无2024年新课标Ⅱ卷：第10题，6分直线与抛物线交点相关问题切线长根据抛物线方程求焦点或准线无2024年新课标Ⅱ卷：第19题，17分求直线与双曲线的交点坐标由递推关系证明等比数列向量夹角的坐标表示2023年新课标I卷：第22题，12分求直线与抛物线相交所得弦的弦长由导数求函数的最值（不含参）基本（均值）不等式的应用2023年新课标Ⅱ卷：第21题，12分双曲线中的动点在定直线上问题无2023年全国甲卷（理数）：第20题，12分求直线与抛物线相交所得弦的弦长抛物线中的三角形或四边形面积问题无二、命题规律及备考策略【命题规律】近5年圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的命题呈现多考点融合的特点，涵盖椭圆的最值、面积、直线与椭圆的位置关系，抛物线的弦长、焦点准线、面积，双曲线的交点、动点在定直线上等考点，题型包含选择题、填空题、解答题，分值跨度大（417分）。考查时不仅有单一曲线的深入考查，还常涉及直线与圆锥曲线的综合，且部分题目与向量、数列、导数、不等式等知识交叉，注重对学生几何运算、逻辑推理及知识综合应用能力的考查。【备考策略】备考时需扎实掌握椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程、几何性质等核心知识点。针对各曲线的高频考点（如椭圆的面积与最值、抛物线的弦长、双曲线的交点问题）开展专项训练，同时强化直线与圆锥曲线综合题的练习，总结“设而不求（韦达定理）”“定义法”“几何法”在解题中的应用技巧，提升运算准确性和知识迁移能力，尤其关注与向量、导数、不等式结合的综合题型。【命题预测】预计未来圆锥曲线命题将继续保持综合性与创新性，考查重点仍围绕各曲线的核心性质及直线与圆锥曲线的综合应用。命题可能在曲线间的融合、与更多数学分支（如数列、函数）的结合以及实际应用场景的创设上有所突破，以此检验学生的数学建模、综合分析及创新思维能力。1.直线与椭圆的位置关系①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2.直线与椭圆的相交弦3.直线与双曲线的位置关系①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．4.直线与双曲线的相交弦5.双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.6.直线与抛物线的位置关系①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．7.直线与抛物线的相交弦8.抛物线的焦点弦问题设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：考点一直线与圆锥曲线的位置关系A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定【答案】B综上所述：B正确故选：BA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算,即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.故选：C.A．1个 B．至多一个 C．2个 D．0个【答案】C故选：CA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用交集的定义、双曲线与直线的位置关系即可判断出结果.所以直线与双曲线仅有一个公共点；故选：.A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A故选：A．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用判别式等于0来判断直线与椭圆相切，从而可得到齐次等式来求离心率.故选:B．【答案】D解法2：数形结合法故选：D.【答案】B【分析】根据双曲线的渐近线和直线方程过原点得出的范围．故选：B．考点二圆锥曲线的弦长问题【答案】A【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，从而写出直线方程，联立方程组得一元二次方程，由韦达定理得到两个的和与差，利用交点弦长公式即可求得结果.故选：A.A． B．9 C． D．6【答案】C故选：C．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【分析】设直线方程与双曲线联立，利用弦长公式解方程判断根的个数即可.故存在四条直线满足条件.故选：D【答案】A故选：A．A． B．3 C．4 D．【答案】D故选：D考点三圆锥曲线的中点弦问题A． B． C． D．【答案】D故选：D【答案】A【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可.故选：A.【答案】C【分析】利用离心率先求出参数a，再利用点差法求出直线的斜率，即可得到答案.故选：C.【答案】B故选：B【答案】C故选：CA． B． C． D．【答案】D【分析】利用点差法列方程可得解.因为线段中点的横坐标为，故选：D.A． B． C． D．【答案】D故选：D.考点四圆锥曲线的面积问题A．1 B． C．2 D．【答案】B当直线的斜率存在且不为时，当直线的斜率为时，当直线的斜率不存在时，故选：B.(1)求双曲线的方程；【分析】（1）根据实轴以及离心率求解的值，即可得解，【答案】A联立直线方程和椭圆方程为：故选：A.【答案】C【分析】结合图形特征分类讨论P点位置即可计算得出最小值.故选：C(1)求椭圆的标准方程；(1)求双曲线的标准方程；【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、通径公式以及双曲线中、、的关系列出方程组，求解出、的值，进而得到双曲线的标准方程.(1)求的方程；(2)（i）证明见解析；（ii）所以的最大值为．

(1)求的标准方程.（2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0，

(2)若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程；【答案】(1)5(3)证明见解析【分析】（1）利用直线方程与抛物线联立，结合韦达定理，通过代数运算求解向量点积.【详解】（1）(1)证明：点到和的距离相等；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据给定条件，求出抛物线方程，与直线方程联立，结合斜率坐标公式推理得证.考点五圆锥曲线中的最值问题A． B．0 C．1 D．2【答案】C故选：C.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】设过点P分别与直线平行的直线为，如图：故选：C【点睛】关键点点睛：本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，解题的关键是利用平行四边形的性质找到点的坐标之间的关系.(1)求椭圆的方程；(2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值；(2)证明见解析；【分析】（1）代入点坐标并结合离心率公式即可得到方程；

(1)若直线经过焦点，求此时线段的长度；【答案】(1)3；【分析】（1）求出点的坐标及直线的方程，与椭圆方程联立求出弦长.（2）令椭圆左焦点为，利用线段和差大小关系及椭圆定义推理求解.（3）由特殊位置确定点的位置及坐标，再就一般情况推理求解.

(1)求点M的轨迹方程C；(1)求双曲线C的方程；(2)求直线AP，AQ的斜率之和；(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值.(2)(3)【分析】（1）由双曲线顶点以及渐近线方程，建立方程，可得答案；（2）设出直线方程，联立方程写出韦达定理，利用两点斜率公式，可得答案；（3）设出直线方程，联立表示每个点的坐标，根据距离公式以及圆的性质，可得答案.设直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线的斜率的最大值为.(2).【详解】（1）即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去；同理：当直线与椭圆交于轴下方时，也舍去，（2）(1)求抛物线的方程；【分析】（1）根据焦点坐标可求参数，故可得抛物线方程；（3）设到直线的距离为，(1)求的方程；(2)求的轨迹方程；【分析】（1）首先求出点坐标，再由焦半径公式得到方程，求出，即可得解；考点六圆锥曲线中的向量问题(1)求C的方程；（2）设出直线l方程与椭圆联立，利用坐标表示出向量关系，结合韦达定理求解即可.【答案】(1)9(2)证明见解析【详解】（1）(1)求动点的轨迹的方程；(1)求动点的轨迹方程；(2)．(1)求椭圆C方程．【分析】(1)利用动点到原点的距离公式，利用二次函数结合动点取值范围，可求最值，从而可得椭圆方程；(2)利用定比分点，结合向量知识，可得交点分线段的比例，然后把三角形面积转化到交点纵坐标表示上来，最后利用韦达定理来求解即可.（2）【点睛】关键点点睛：通过分点比例把所求三角形面积转化到直线与椭圆的交点纵坐标上来，从而利用韦达定理来求解即可.(1)求双曲线的方程；(3)

考点七圆锥曲线中的证明问题(2)证明见解析(3)证明见解析(1)求的方程；(2)证明见解析(3)存在，证明见解析（2）写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点.（2）如图：

如图：

下面证明此圆符合题目条件：∴的垂直平分线与椭圆相切.(1)求的方程及离心率；(2)证明见解析.(1)求的方程；(3)证明见解析【分析】（1）由条件可得到关于的方程，解方程即可得答案.（3）利用导数求出处的切线方程，同构可得到直线的方程，再利用直线过点，可得到点坐标，进而可得到的斜率；再利用点差法可得到的斜率，即可得到答案.(1)求椭圆的方程；【分析】（1）根据已知确定椭圆参数值，即可得方程；(1)求的方程；(2)经过点的直线与交于，两点.(2)（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析（ii）先假设存在直线，使得，，均为正整数，进而推出矛盾即可求解.（2）（i）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，（ii）不存在直线，使得，，均为正整数，理由如下：假设存在直线，使得，，均为正整数，则是3的正整数倍，进而，都是3的正整数倍，所以不存在直线，使得，，均为正整数.(1)求的方程；(2)证明见解析考点八圆锥曲线中的探索性问题

(1)求椭圆的方程.（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点.当直线的斜率不存在时，结论明显成立.(1)求的方程；(2)不存在点，理由见解析同理不存在以为直角顶点的等腰直角三角形.(1)若的焦点为，且的最小值为，求的值；跟踪训练2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知中心在原点，焦点在轴上的圆锥曲线的离心率为2，过的右焦点作垂直于轴的直线，该直线被截得的弦长为6.(1)求的方程；【分析】（1）依题意设出双曲线方程，根据双曲线离心率公式、通径公式进行求解即可；（2）根据直线与双曲线相交，由弦长公式及三角形面积公式可得结果；（3）根据直线与双曲线相交，由条件得出点S的轨迹后，列不等式计算可得结果.【详解】（1）圆锥曲线的离心率为2，故为双曲线，由题意可知直线的斜率不为0，（3）若直线斜率不存在，此时直线与双曲线右支无交点，不合题意，∵直线与在轴的右侧交于不同的两点，，∴点的轨迹为线段（不含端点），(1)求双曲线E的方程；(2)不存在，理由见解析(3)证明见解析（2）不存在，理由如下：此时，直线l与E的渐近线重合，与E没有交点，与已知矛盾，【点睛】关键点睛：对于存在性问题，常假设相关条件成立，然后得到相关方程，不等式，通过判断方程，不等式是否有解来解决问题，或利用反证法；对于定值问题，常利用所设参数得到所研究数学量的表达式，随后设法消去参数来解决问题.考点九圆锥曲线的定点、定值、定直线问题(1)求椭圆的标准方程；（i）证明：直线过定点；(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）根据题意列方程组即可求出；(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线交抛物线于点，直线与相交于另一点，直线与相交于另一点．（ii）求证：直线经过定点．(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【详解】（1）如图，作出符合题意的图形，

跟踪训练1．（2025·河北保定·模拟预测）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)证明见解析.【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为．(2)过M，N分别作的两条切线，，记，的交点为P.【答案】(1)(2)（i）32

（ii）证明见详解(1)求椭圆的方程；(2)证明见解析(3).(1)求抛物线的方程；(2)证明见解析（2）

(1)求的方程；②当变化时，证明：直线与轴交于定点.(2)①1；②证明见解析（2）①通过相切可求出点到直线的距离，结合方程根据韦达定理即可求出的值；②首先求出点的坐标，然后求出直线的斜率，进而得到直线的方程，从而可求出定点坐标.(1)求的方程；(2)直线与椭圆相切，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的定义求轨迹方程即可；（2）利用点斜式方程求出直线方程，联立直线与椭圆的方程，根据解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系；直线与椭圆相切.(2)设是线段的中点，求的轨迹方程；【答案】(1)7；(3)证明见解析(1)求椭圆的方程；（2）

(1)求椭圆的标准方程；(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可；（3）分类讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线的距离及面积公式求解即可.(1)求双曲线的方程；(2)证明见解析（2）证明：如图所示：(1)求曲线的方程；(2)(3)是定值，定值为所以直线的斜率为；跟踪训练12．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线E的中心在原点，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为，其离心率为，记直线从下到上与x轴、双曲线的右支、两条渐近线、双曲线的左支依次交于点P，A，B，C，D，如图所示：(1)求双曲线E的方程；(2)证明见解析(3)是定值，理由见解析（2）如图可知直线的斜率存在且为负数，【点睛】关键点睛：对于定值问题，常见思路为用恰当参数表示所求量，随后由题目信息得到等量关系，从而消去参数，可得定值；对于面积问题，常结合两点间距离公式结合点到直线距离公式，求得三角形底边及高，从而求得面积，也可利用转化法，将所求三角形面积转化为易求三角形的面积.(1)求的标准方程；(2)求的离心率，并通过比较与C的离心率，写出一个关于“相似三角形关联椭圆”离心率的结论（写出结论即可，不要求证明）；(2)；“相似三角形关联椭圆”的离心率相等.(3)定值，.【分析】（1）先根据条件求出椭圆的方程，再根据相似比即可求出的标准方程；（2）结合（1）即可求出离心率；（2）由（1）可知的离心率为，则与C的离心率相等，结论：“相似三角形关联椭圆”的离心率相等.(1)求椭圆的标准方程；(2)证明见解析若直线与轴重合，则，为椭圆长轴的端点，(1)求椭圆C的标准方程；(2)证明见解析(1)求双曲线的方程．(3)证明见解析法一：直线的方程可化为(1)求抛物线的标准方程；(3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上．(3)证明见解析【分析】（1）代入点的坐标，即可求解抛物线方程；（3）首先利用导数求切线和的斜率，并表示切点坐标的关系，以及利用坐标表示直线和直线的方程，并联立求交点的坐标，即可证明.考点十圆锥曲线的综合问题

（i）求证：为等比数列，并求出其通项公式；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意联立方程组，利用韦达定理表示交点横坐标之和，可发现线段的中点与线段中点重合，根据线段长度的减法可证得结论；则线段的中点与线段中点重合，设为点，(1)求t的值；【答案】(1)1；(3)16.【分析】（1）由点在抛物线上，坐标代入求参数值；(1)求点的坐标；(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）利用割补法，知(2)证明：以为直径的圆过点；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)（2）

以为直径的圆过点.（3）

(1)求双曲线的标准方程；(2)证明见解析【分析】（1）根据题意得到曲线上的点，然后根据点列式计算即可；（2）设直线的方程，与曲线的方程联立，写出韦达定理，然后将直线的方程与直线的方程联立，消去，结合韦达定理计算整理可得答案.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值或定点，再证明这个值或点与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值或定点．【答案】B故选：B．A． B． C． D．【答案】A故选：A.A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】由题意，故选：B

【答案】A故选：A【答案】B【分析】先根据相切得直线方程，求出弦长后结合到的距离最大距离为直径可求面积的最大值.故选：B.A．1 B．2 C．3 D．【答案】B故选：B.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意联立直线与抛物线可求的范围，再利用命题的充分性与必要性判断即可.故选：A.【答案】A【分析】根据面积求出点的纵坐标，代入椭圆可出的坐标.故选：A(1)求C的方程；

(2)证明见解析【分析】（1）利用题干中的条件先求出椭圆的方程，再设点E的坐标，利用D点在椭圆上即可求出点E坐标，利用两点间的距离公式即可求得结果.（2）设出直线的方程，与椭圆联立得到各个点坐标，利用斜率相乘等于即可证明结论.(1)求椭圆C的方程；

(1)求椭圆的标准方程；(2)【分析】（1）求出的值，利用椭圆的定义求出的值，即可得出的值，进而可得出椭圆的标准方程；(1)求椭圆的方程；（2）如图：

(1)求椭圆的方程；(1)求椭圆的方程；【分析】（1）根据椭圆几何性质以及面积列方程组计算可得椭圆方程；

(1)当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程．(当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合)

（i）请建立适当的坐标系求出R点轨迹方程C；（ⅱ）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况求解，先求出特殊情形直线l的斜率不存在时的值，接着联立直线与椭圆方程