矩形的性质与判定（第1课时矩形的性质）（导学案）

1.2矩形的性质与判定导学案第1课时矩形的性质第一环节自主学习温故知新：(1)什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(2)平行四边形有哪些性质？对称性：中心对称图形.边：对边平行且相等.角：对角相等,邻角互补.对角线：相交并相互平分.新知自研：自研课本第1113页的内容．【学法指导】自研课本P1112页议一议上面的内容，思考：●探究一：矩形的定义1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.（也叫作长方形）由此可见，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.练一练1.如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（B

）A．∠A=∠C B．∠A=∠BC．AB=BC D．AD=BC●探究二：矩形的性质◆1.想一想（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？矩形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.（2）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.（3）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流.猜想归纳：①矩形的四个角都是直角.②矩形的两条对角线相等.◆2.验证矩形性质已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°,对角线AC与BD相交于点O.求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD.证明：（1）∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行).∴∠ABC+∠BCD=180°.又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.（2）∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC(矩形的对边相等).在△ABC和△DCB中,∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.◆知识归纳：矩形的性质定理：定理1：矩形的四个角都是直角.几何语言：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.定理2：矩形的对角线相等.几何语言：∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.练一练2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（C）A．AB∥DCB．AC=BDC．AC⊥BDD．OA=OB●探究三：直角三角形斜边中线的性质◆1.议一议如图：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？BE与AC有什么大小关系呢？由此你能得到怎样的结论呢？猜想：BE是Rt△ABC斜边的中线，BE=12AC.即：◆2.验证猜想如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:BO=12AC证明:延长BO至D,使OD=BO,连接AD，DC.∵AO=OC,BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴BO=12BD=12◆3.知识归纳：直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.几何语言：∵△ABC为直角三角形，BO为AC的中线,∴BO=12AC练一练3.如图，在△ABC中,∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=6cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm,则AC=10cm,BD=5cm.【例题导析】自研课本P13页例1内容，回答问题：例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长.【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=12AC,根据邻补角的定义求出∠AOB，,然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB,然后求解即可【解答】例2：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF=DC.【分析】根据矩形的性质和DF⊥AE于F,可以得到∠DEC=∠AED,∠DFE=∠C=90°”,进而依据AAS可以证明△DFE≌△DCE，然后利用全等三角形的性质即可解答.【解答】证明：连接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.又∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.第二环节合作探究小组群学A.操作猜想并证明矩形性质；B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路.C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1.平行四边形、矩形、菱形都具有的性质是(B)A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是(C)A.20B.10C.5D.2.5（2题）3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是(C)A.20°B.40°C.80°D.10°4.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（D）A.2B.4C.D.（4题）(5题)5.如图：已知：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ACB＝30°，AB＝5㎝，则AC＝10㎝，BD＝10㎝.6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=2.5cm．（6题）(7题)7.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为6.8.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE,（2）若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,∴BD=2BO=2×4=8.∵∠DBC=30°,∴CD=12BD=1∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在Rt△BCD中,BC=BD2−CD2=∴四边形ABED的面积=12×(4+8)×43=2439.【解答】解：添加条件：BE＝DF（或DE＝BF或AE∥CF或∠AEB＝∠DFC或∠DAE＝∠BCF或∠AED＝∠CFB或∠BAE＝∠DCF等）.选择BE＝DF.证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF.∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）.∴AE＝CF.题型一：矩形的性质求角度1．（2425八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠ABD=36°，则∠CAE的度数是（

）A．36° B．54° C．18° D．以上都不对【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，由矩形的性质可得OA=OB，则由等边对等角和三角形外角的性质可得∠AOE=72°，据此根据三角形内角和定理即可求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABD=36°，∴∠AOE=∠OAB+∠ABD=72°，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠CAE=180°−∠AOE−∠AEO=18°，故选：C．2．（2425八年级下·山东临沂·期中）如图，在矩形ABCD中，连接BD，延长DA至点E使AE=BD，连接CE．已知∠CDB=56°，则∠ECD的度数为（

）A．72° B．73° C．74° D．75°【答案】B【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其外角性质，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．连接AC交BD于O，先根据矩形的性质得到∠CDA=90°，OD=OC，BD=AC，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠CAD=34°，∠E=∠ACE，再根据三角形的外角性质求得∠E=17°，进而利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDA=90°，OD=OC，BD=AC，∴∠OCD=∠CDB=56°，∴∠CAD=90°−∠OCD=34°，∵AE=BD=AC，∴∠E=∠ACE，∵∠CAD=∠E+∠ACE=2∠E=34°，∴∠E=17°，在Rt△CDE中，∠ECD=90°−∠E=73°故选：B．3．（2024春·黑龙江鸡西·九年级统考期中）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为______.

【答案】63°【分析】根据题意可知AE∥BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出【详解】解：如图：

∵AE∥BF，∴∠EAB=∠ABF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABF+27°=90°，∴∠ABF=63°，∴∠EAB=63°，∵AB∥CD，∴∠AED=∠EAB=63°．故答案为：63°．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．题型二：矩形的性质求线段长4．（2025·陕西·一模）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，连接OB，若BC=12,OB=132，则边AB的长为（A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意得出AC=2OB=13，进而在Rt△ABC【详解】∵四边形ABCD为矩形，O是对角线AC的中点∴∠ABC=90°，AC=2BO∵OB=13∴AC=2OB=13在Rt△ABC中，∴AB=故选：B．5．（2324八年级下·全国·期末）如图，E为矩形ABCD的边AB的中点，DF⊥CE于点F．若AB=6，BC=4，求DF的长．【答案】DF=24【分析】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理．连接DE，求得△CDE的面积为12，再利用勾股定理求得CE的长，再利用三角形的面积公式得出答案．【详解】解：连接DE，∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，∴矩形ABCD的面积为6×4=24，∵E为矩形ABCD的边AB的中点，∴△CDE的面积为12×24=12，∴CE=B∵DF⊥CE，∴12×CE×DF=12，即∴DF=24题型三：矩形的性质求周长和面积6．（2425八年级下·福建福州·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=3,BC=6，则△BCO的面积为．【答案】4.5【分析】本题主要考查矩形的性质、三角形中位线的性质等知识点，熟练三角形中线等分三角形的面积是解答的关键．根据矩形的性质和三角形中线等分三角形的面积求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OA=OC，∠ABC=90°，又∵AB=3,BC=6，∴SABC∴S△BOC故答案为：4.5．7．（2425八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知，矩形ABCD中，AB=5，OB=6.5，则矩形的面积为．【答案】60【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出OB=12BD，得出BD=2OB=13，由勾股定理求出AD=12，矩形ABCD【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OB=1∵OB=6.5，∴BD=2OB=13，∴AD=B∴矩形ABCD的面积=AD·AB=12×5=60，故答案为：60．8．（2425八年级下·江西南昌·期中）如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点，若AB=6，BC=8，则△BOE的周长为．【答案】8+2【分析】本题考查了矩形的性质以及中位线定理，直角三角形斜边的中线的性质等知识，根据三角形中位线求出OE=12CD=3，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，∴AB=CD=6，AD=BC=8，∵点O是AC的中点，E为AD的中点，∴OE=12OE在Rt△ABE中，AE=4，AB=6根据勾股定理得，BE=A在Rt△ABCAC=A∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵点O是AC的中点，∴BO=5．∴△BOE周长为5+3+213故答案为：8+2139．（2425八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE=CF．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AC⊥EF时，AE=10，AC=16，求四边形AECF的面积．【答案】(1)见解析(2)96【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由矩形的性质可得∠B=∠D=90°，AB=CD，再利用HL即可证明△ABE≌△CDF；（2）证明四边形AECF为菱形，设AC与EF交于点O，则AO=12AC=8EF=2OE【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB=CD，在Rt△ABE和RtAB=CDAE=CF∴Rt△ABE≌（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠B=∠D=90°，AB=CD，∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∵BC=AD，∴CE=AF∵CE∥AF，∴四边形AECF为平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF为菱形，设AC与EF交于点O，，∴AO=12AC=8∴OE=A∴EF=12，∴S菱形题型四：直角三角形斜边上的中线的性质10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，点E是斜边AB的中点，且CD=1，则AB的长为（

A．2 B．22 C．3 D．【答案】B【分析】根据∠ACD=3∠BCD，可以求出∠BCD=22.5°，∠ACD=67.5°，进而求出∠BCD=90°−∠B=∠BAC=22.5°的度数，根据直角三角形斜边中线的性质可以得到CE=AE=BE=12AB【详解】解：∵∠ACD=3∠BCD，∠ACB=90°=∠BCD+∠ACD，∴∠BCD=22.5°，∠ACD=67.5°，又∵CD⊥AB∴∠CDE=∠BDC=90°，则∠BCD=90°−∠B=∠BAC=22.5°，又∵点E是斜边AB的中点，∴CE=AE=BE=1∴∠ECA=∠BAC=22.5°∴∠BEC=45°∴△CDE为等腰直角三角形∴CE=CD2故选：B．【点睛】此题主要考查了直角三角形的有关性质，熟练掌握勾股定理、斜边中线等于斜边一半等性质是解题的关键．11．（2425八年级下·浙江绍兴·期中）如图，DE是三角形ABC的中位线，BF平分∠ABC，且∠AFB=90°，若AB=7,BC=11，则EF的长为.【答案】2【分析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的斜边中线定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识．由中位线定理可得DE=12BC=112，点D为AB的中点，证明出F在DE上，根据∠AFB=90°【详解】解：∵DE为△ABC的中位线，BC=11，∴DE=12BC=112，点D∵∠AFB=90°，AB=7，∴DF=BD=1∴∠DBF=∠DFB，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC，∴∠DFB=∠FBC，∴DF∥BC，∴F在DE上，∴EF=DE−DF=11故答案为：2．题型五：矩形性质的证明12．（2024春·湖北孝感·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点E在边DC上，AE=AB，过点B作BF⊥AE，垂足为F．(1)求证：BF=BC；(2)若AD=1，AF=2，求四边形BCEF的面积．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC，由“AAS”证明△ADE≌