第四章数列（举一反三讲义培优篇）数学人教A版选择性（原卷版）

第四章数列全章十大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇）【人教A版】题型1题型1数列的最大（小）项1．（2526高二上·江苏苏州·阶段练习）数列an的通项公式为an=n(n+1),bn满足：bA．6 B．7 C．8 D．92．（2526高二上·四川成都·阶段练习）已知数列an的通项公式为an=n−22n−15，前nA．an的最小项是a7B．当n=7时，SnC．∀n∈D．∃n∈3．（2425高二上·安徽黄山·期末）已知数列an的通项公式为an=2n2−11n+9，则4．（2425高二上·江苏·期中）已知数列an的前n项和为Sn，(1)求数列an的通项公式a(2)若数列bn满足：bn=5．（2425高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，满足(1)求数列an(2)设bn=1题型2题型2等差数列的判定与证明1．（2425高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列an是等差数列”是“数列an+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2425高三上·黑龙江·阶段练习）已知an是无穷数列，a1=3，则“对任意的m,n∈N∗，都有aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2425高二上·广东深圳·期末）若数列anA．an B．C．pan+q（p,q为常数）4．（2425高二上·河北沧州·期末）已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足a2(1)证明数列an(2)求1a5．（2425高二上·福建厦门·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，a1(1)证明数列Sn2n(2)设bn=Sn3n，若对任意正整数题型3题型3等差数列的前n项和及其最值1．（2425高二上·浙江杭州·期末）数列an是等差数列，a5=10,a9=18，记A．a3=6,SC．a3=8,S2．（2425高二上·陕西西安·期末）设等差数列an的前n项和为Sn，若a5+a8<0A．S5 B．S6 C．S73．（2526高二上·江苏·阶段练习）等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,4．（2526高二上·甘肃陇南·阶段练习）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知(1)求{a(2)求Sn，并求S5．（2526高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列an前n项和为Sn，对任意正整数n，均有S2n(1)求an及S(2)在an和Sn之间插入n−2个数，使得这nn≥3个数组成公差为d题型4题型4等比数列的判定与证明1．（2425高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列an，bn都是等比数列，则在4个数列an+bn，anA．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2425高二上·甘肃兰州·期中）已知数列an的前n项和为Sn且满足(1)求a1，a(2)证明数列an3．（2425高二上·江苏苏州·期末）已知Sn为数列an的前n项和，a1=1，且(1)证明：an+1是等比数列，并求数列(2)若bn=2nan·an+14．（2425高三下·全国·开学考试）设数列an的前n项和Sn，(1)证明：数列Sn(2)求an5．（2425高二上·山西吕梁·期末）已知数列an中，a1=72(1)证明：数列an(2)求an(3)令bn=3nan⋅an+1题型5题型5等比数列的前n项和及其最值1．（2425高二下·浙江杭州·期末）已知Sn是等比数列an的前n项和，若a2=2,aA．1022 B．1023 C．1024 D．10252．（2025·北京西城·一模）设等比数列an的前n项和为Sn，前n项的乘积为Tn．若aA．Sn无最小值，Tn无最大值 B．SnC．Sn无最小值，Tn有最大值 D．Sn3．（2526高三上·福建·开学考试）记Sn为公比大于1的等比数列{an}的前n项和，若a1+a24．（2425高二上·青海西宁·期末）在公比大于0的等比数列an中，a(1)求数列an(2)求数列an的前n项和S5．（2425高二上·广东广州·期末）记Sn为等比数列an的前n项和，且(1)求数列an的通项公式an及前n项和(2)若bn=n−1n∈N∗,c题型6题型6等差、等比数列的综合应用1．（2425高二上·甘肃定西·阶段练习）已知数列an为等比数列，若a2⋅a3=2a1，且a4与2A．12 B．2 C．142．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知递增的等比数列an的前n项和为Sn，若a3=12,a2+1是aA．21 B．21或57 C．21或75 D．573．（2425高二上·重庆·期末）若5是a与b的等差中项，3是a与b的等比中项，则a2+b24．（2425高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知等比数列{an}的公比q>1，a1+a2+a3=14，a(1)求数列{an}(2)cn=bna5．（2425高三上·北京·阶段练习）已知等差数列an中，a2=3，公差d≠0;等比数列bn中，b3=a1，b1是a(1)求数列an，b(2)求数列{an+bn(3)记cn=an⋅题型7题型7数列求和1．（2526高二上·江苏·阶段练习）数列an满足a1+2a2A．161165 B．106165 C．49662．（2425高二上·江苏淮安·期末）数列an满足nan+1=3n+1an，a1=3A．15n2+9nC．1+14n−83n−23．（2425高二上·湖北省直辖县级单位·期末）数列an中a1=2，且满足an⋅an+1=14．（2425高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列an的前n项和Sn满足(1)求an(2)若bn=14Sn−15．（2526高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列an为等差数列，公差d≠0，ann∈N∗(1)求kn(2)设数列bn满足：bn=nkn+1题型8题型8数列与不等式综合1．（2425高二上·河北唐山·期末）数列an满足a1=4,an+1=2aA．−∞,1 B．−∞,−1 C．2．（2025·陕西西安·二模）已知数列an满足a1=3，an+1−an=2，bn=−1n+11A．110,+∞ B．15,+∞3．（2425高二上·河北石家庄·期末）已知数列an满足a1+2a2+3a3+⋯+nan=2n，设bn=a4．（2526高二上·江苏·阶段练习）已知数列an满足a1=3(1)证明：数列2n−1(2)求数列an的前n项和S(3)在（2）的条件下，令bn=12Sn+125．（2526高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知正项数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)设bn=1an⋅an+1，数列(3)若不等式1an+1a题型9题型9数列与其他知识交汇1．（2526高二上·福建漳州·阶段练习）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对1+2+3+⋯+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数f(x)=2x3k+6078（k>0），则f1A．k+20253 B．2k+60783 C．2k+607862．（2425高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列an的前n项和Sn=131−ann∈N∗，若2+A．12,5C．58,73．（2425高二下·广东珠海·期末）已知非零数列an,bn=a1⋅a2⋅4．（2425高三下·上海·阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx(2)如果函数fx在0,+∞上的零点从小到大排列后构成数列an5．（2425高二上·上海·期中）已知点1,13是指数函数fx图像上一点，等比数列an的前n项和为fn−c，数列bnbn>0的首项为(1)求数列an(2)求数列bn(3)若数列1bnbn+1前n项和为Tn题型10题型10数列新定义问题1．（2526高二上·福建莆田·阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列an本身不是等差数列，但从an数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列bn（则称数列an为一阶等差数列），或者bn仍旧不是等差数列，但从bn数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列cnA．25 B．216 C．221 2．（2425高二上·广东广州·期末）设m为正整数，数列a1,a2,⋯,a3m+2是公比不为1的等比数列，若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的3m项可被平均分为m组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列a1,a2,⋯,a3m+2A．① B．①② C．①③ D．②③3．（2425高二上·山东滨州·期末）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列an是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，a1=2，则数列1an+an+14．（2425高三上·云南·阶段练习）对于数列an，若存在正整数m，使得对任意的n≥m，都有an+12−anan+2=d(1)已知数列an满足an=