专题01因式分解（期中知识清单）（原卷版）八年级数学上学期新教材湘教版

专题01因式分解（6知识&8题型&3易错&4方法清单）【清单01】因式分解的概念1.把一个多项式表示成若干个多项式的形式，称为把这个多项式，也称为；2.因式分解的过程和的过程正好：前者是把一个多项式化为几个多项式的，后者是把几个多项式的化为一个.【清单02】提公因式法1.一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的，简称多项式的公因式.2.公因式的确定：(1)系数：取多项式各项整数系数的；(2)字母：取多项式各项中的字母；(3)各字母的指数：取次数的．3.定义：逆用乘法对加法的律，可以把提到括号外边，作为积的一个，这种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法.【清单03】公式法一、平方差公式：1.因式分解中的平方差公式a²b²＝(a+b)(ab)2.多项式的特征：(1)可化为2个整式；(2)两项符号；(3)每一项都是整式的.3.注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止.二、完全平方公式法：1.完全平方公式：a²+2ab+b²=()²，a²2ab+b²=()².2.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号，能写成两个整式的的形式；(3)另一项是这两整式的倍.3.注意事项：有公因式时，应先提出.【清单04】十字相乘法利用线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法xx2abxaxbax+bx=(a+b)x【清单05】分组分解法1.分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式3.添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【题型一】因式分解概念辨析【例1】（2425八年级下·四川成都·期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A．x+1x−1=xC．x2−3x−4=xx−3【变式11】下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A．x+1x−1=xC．6a2b=3【变式12】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A．a+4a−4=aC．x2−2x+2=xx−1【变式13】如果把二次三项式x2−cx−3因式分解得x2−cx−3=x−1A．3 B．−3 C．2 D．−2【题型二】提公因式法分解因式【例2】（2425九年级下·吉林·期中）分解因式：4a3【变式21】因式分解：a2−7a=【变式22】如果x+y=−3，xy=−2，那么2x2【变式23】利用因式分解计算(1)2(2)−2【题型三】平方差公式分解因式【例3】（2425七年级下·陕西咸阳·期中）若m2−n2=12，m+n=6【变式31】若x2−y2=7A．14 B．21 C．49 D．56【变式32】因式分解：9x2【变式33】因式分解：(x−y)2−4【题型四】完全平方式分解因式【例4】（2425八年级下·宁夏银川·期中）若多项式4x2−nxy+y2【变式41】运用公式a2−2ab+b2=(a−b)2A．3x B．9x C．3x2 【变式42】根据如图对算式9x2−12x+4的分析，则a=A．9x B．9x2 C．3x 【变式43】公式法分解因式：(1)m+n2(2)4a−b【题型五】综合提公因式和公式法分解因式【例5】（2425八年级下·四川成都·期中）分解因式：mx【变式51】因式分解：x3−25x=【变式52】因式分解：x2y−9y=【变式53】因式分解：−2【题型六】因式分解法的应用【例6】（2526八年级上·全国·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．(1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为a+b的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：______；(2)请用这3种卡片拼出一个面积为a2(3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S=S2−S1，当a与b【变式61】颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且m>n．(1)观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2(2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求m+n的值．【变式62】对任意一个正整数m，如果m=kk+1，其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m(1)请判断110，1560为“矩数”吗？如果是，请求出最佳拆分点，如果不是，请说明理由．(2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为Dp,q，其中p>q，Dp,q>0．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．当D【变式63】我们定义：一个整数能表示成a2+b2（例如，5是“完美数”．理由：因为5=2[解决问题]（1）已知34是“完美数”，请将它写成a2+b2（（2）若x2−6x−1可配方成x−m2+n（m、[探究问题]（3）已知x2+y（4）已知S=x2+4y2+2x−12y+k（x、y是整数，【题型一】混淆因式分解与整式乘法因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，而整式乘法是几个整式相乘得到多项式，二者是互逆的过程。【例1】下列从左到右的变形是因式分解的是（

）A．2x−2y+3=2x−y+3 C．x2−1=x+1【变式11】下列因式分解正确的是（

）A．x3−x=xxC．x2+y【变式12】下列由左到右的变形，属于因式分解的是（

）A．6ab＝2a·3b B．C．x2−4=x+2x−2【题型二】公因式提取不当1.公因式提取不彻底：提取公因式时，要把各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂都提取出来。2.忽略首项系数为负的情况：当多项式的首项系数为负数时，通常要提出一个带负号的公因式，使括号里首项不含负号。3.提公因式后漏项：多项式中某一项全提公因式后，括号里这一项应该为1，但学生容易漏掉。【例2】已知实数a满足a2−2a−3=0，则代数式a3A．−5 B．0 C．5 D．−3【变式21】因式分解：(1)5a(2)6xx−y【变式22】把下列各式分解因式：(1)4xy(2)−9m(3)(2a+1)2【变式23】将下列各式因式分解：(1)3x(2)4aa+b【题型三】公式运用错误平方差公式：运用时要注意多项式必须是两项式，且两项都要是平方的形式，并且符号相反。完全平方公式：需要满足是三项式，其中两项是平方项且同号，另一项是这两个平方项底数乘积的2倍。【例3】分解因